山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学复习练习 第四单元 第28课时 解直角三角形及其应用.doc

山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学复习练习 第四单元 第28课时 解直角三角形及其应用知识点回顾知识点1：解直角三角形 1、解直角三角形的类型：根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：两条直角边a、b其解法：c=，用tana= ,求得a，b=90a斜边和一条直角边c、a其解法：b=，用sina= ，求得a，b=90a（2）一边和一锐角：一条直角边a和锐角a：b=90a；用tana=,求得b= ；用sina=，求得c= 斜边c和锐角a：b=90a；用siana=,求得a= ；用cosa=,求得b= 2、解直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据【友情提示】解题时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差；斜三角形问题可添加合适的辅助线转化为直角三角形问题。例1：（08年宁夏中考）如图，在中，=90，sin=，=15，求的周长和tan的值解析：应用直角三角形边角关系求出各边长，再求出周长与tana的值。解：在中, =90, =15=, 的周长为36 a=同步检测一：5米ab图31（2009湖南省益阳市）如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离ab为（ ）a. b. c. d. abc2（2008湖南益阳）ac是电杆ab的一根拉线，测得bc=6米，acb=52，则拉线ac的长为( )a. 米 b. 米 c. 6cos52米 d. 米3. (2008年乐山市)如图adcd，ab13，bc12，cd3，ad4，则sinb= bdca a、 b、答案：1b.2d3a知识点2：解直角三角形的应用（1）仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .水平线视线视线铅直线视线仰角俯角（2）方位角指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做 .如图：点a在o的北偏东30点b在点o的南偏西45（西南方向）3045boa东西北南注意：方位角是指从正北方向开始顺时针旋转后所成的角。（3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i ，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i= ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。【友情提示】在解直角三角形的应用题时，要注意以下各点：要弄清仰角、俯角、坡度坡角、方向角等概念的意义；认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角形。有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩形。选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求精确度确定答案，注明单位。x/kmy/km北东aobc图12例2：（08年河北）气象台发布的卫星云图显示，代号为w的台风在某海岛（设为点）的南偏东方向的点生成，测得台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动以为原点建立如图12所示的直角坐标系（1）台风中心生成点的坐标为 ，台风中心转折点的坐标为 ；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为点）位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？解析：过点c作cdoa于点d，构造直角三角形求出ca的长，然后根据速度求台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间。解：（1），；x/kmy/kmaobc图2d（2）过点作于点，如图2，则在中，abcd，台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时例3：（09年广东深圳）如图，斜坡ac的坡度（坡比）为1:，ac10米坡顶有一旗杆bc，旗杆顶端b点与a点有一条彩带ab相连，ab14米试求旗杆bc的高度 abcde解析：延长bc交ad于e点，构造直角三角形，由坡比为，可知cae=30，运用解直角三角形知识可求出ce、ae的长度，在rtabe中运用勾股定理，可求得be，bc=be-ce.解：延长bc交ad于e点，则cead在rtaec中，ac10， 由坡比为1可知：cae30， ceacsin30105，aeaccos3010 在rtabe中，be11 bebcce， bcbece11-56（米） 答：旗杆的高度为6米例4：（09年四川成都）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点c测得教学楼ab的顶点a的仰角为30，然后向教学楼前进60米到达点d，又测得点a的仰角为45。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)解析：由仰角的定义可知abd=45，ace=30，在rtabc中运用解直角三角形知识可以求得bc=ab，由bc-bd=cd,得ab-ab=60，ab=30（+1）米。解：如图，由已知可得acb=30，adb=45在rtabd中，bd=ab.又在rtabc中，tan30=，=，即bc=ab.bc=cdbd，ab=cdab，即（1）ab=60.ab=30（1）（米）答：教学楼的高度为30（1）米.同步检测二：1. （2009黑龙江省哈尔滨市）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在a处测得灯塔c在北偏西30方向，轮船航行2小时后到达b处，在b处测得灯塔c在北偏西60方向当轮船到达灯塔c的正东方向的d处时，求此时轮船与灯塔c的距离（结果保留根号） d乙cba甲2. （2009内蒙古包头市）如图，线段分别表示甲、乙两建筑物的高，从点测得点的仰角为60从点测得点的仰角为30，已知甲建筑物高米（1）求乙建筑物的高；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离（结果精确到0.01米）（参考数据：）3. （2009山西省）有一水库大坝的横截面是梯形，为水库的水面，点在上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡的长为12米，迎水坡上的长为2米，求水深（精确到0.1米，）gmh abcdef水深参考答案：1. 解：由题意得cab=30，cbd=60，acb=30acb=cab，bc=ab=202=40cdb=90，sincbd=，即sin60=cd=bc=40=20此时轮船与灯塔c的距离为20海里.2. 解：（1）过点作于点，d乙cba甲e根据题意，得，米，设，则，在中，在中，（米）（2），（米）3.【解析】分别过点a、d作梯形的高，图形便分为两个直角三角形和一个矩形，在直角三角形中利用锐角三角函数计算出am、dg、dh，即可求出水深.【答案】解：分别过作于于过作于则四边形为矩形在中，在中，答：水深约为6.7米随堂检测：（第1题）1. （09年福建漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）ab c dabcd150第2题h2. （09年河北）图4是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中ab、cd分别表示一楼、二楼地面的水平线，abc=150，bc的长是8 m，则乘电梯从点b到点c上升的高度h是（ ）a mb4 mc md8 m（第3题）3. (09年湖北恩施)如图5，在abc中，c=90,b=60,d是ac上一点，于,且则的长为( ) （第4题）a. 2 b. c. d. 4. （09年遂宁）如图，已知abc中，ab=5cm，bc=12cm，ac=13cm，那么ac边上的中线bd的长为 cm.5.（09年益阳） 如图7，将以a为直角顶点的等腰直角三角形abc沿直线bc平移得到，使点与c重合，连结，则的值为 .ac(b)bac（第5题）6. （09年朝阳）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点若，则_febcda（第6题图）7. （09年温州）abc中，c=90，ab=8，cosa=，则ac的长是 8. 计算 ：.9. 计算：10. （08年绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载gps（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达处，gps显示村庄在北偏西方向（1）求处到村庄的距离；（2）求村庄到该公路的距离（结果精确到0.1km）（参考数据：，）anbc（第10题图）11. （08年青岛）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，ab表示窗户，且ab2米，bcd表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线cd的最小夹角为18.6，最大夹角为64.5请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中cd的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）ab 12. （09年广东省）如图所示，、两城市相距100km现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上已知森林保护区的范围在以点为圆心，50km为半径的圆形区域内请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么？（参考数据：）a第12题图bfep453013. （09年黄冈）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记作点m）位于滨海市（记作点a）的南偏西15，距离为千米，且位于临海市（记作点b）正西方向千米处台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？amb（滨海市）（临海市）随堂检测答案：1.a 2.b 3.b 4. 5. 6. 7. 6 8. 解： 原式=29. 解：10. anbc解：过作，交于（1），即处到村庄的距离为70km（2）在中，即村庄到该公路的距离约为55.2km11. 解：设bc的长为x米，则ac的长为（2x）米，由于为18.6，为64.5，所以adc，cdb在rtacd中，ac（x2）米，acd90，adc64.5，cd 在rtbcd中，bcx米，acd90，bdc18.6，cd ，tan18.6（x2）tan64.5x即x1.5，bc1.5米， cd4.7（米） 答：遮阳蓬中cd的长是4.7米. 12. 解：过点作是垂足，p答案12题图fbcae则， tantan,， tantan=100， 答：森林保护区的中心与直线的距离大于保