高考数学一轮复习 3.5 数列的综合应用课件 文 新人教A版.ppt

3 5数列的综合应用 1 等差 等比数列以及递推数列之间的综合应用 2 紧扣等差 等比数列的定义和性质 作出合理的分析 灵巧地选择公式或性质解决问题 二 数列的实际应用问题 1 构造等差 等比数列的模型 然后利用数列的通项公式和求和公式求解 2 通过归纳得到结论 再用数列知识求解 一 数列知识范围内的综合应用 运用数列知识解决实际应用问题时 应在认真审题的基础上 认清问题的哪一部分是数列问题 又是哪种数列 等差数列 等比数列 的问题 在a d 或q n an sn中哪些量是已知的 哪些量是待求的 特别是认准项数n为多少 建立等差 比 数列 递推数列的模型 再综合利用其他相关知识来解决问题 三 数列与其他分支知识的综合应用 1 主要为数列与函数 方程 不等式 三角等高考重点知 识的综合 2 解决有关此类综合问题时 首先要认真审题 弄清题意 分析出涉及哪些数学分支内容 在每个分支中各是什么问题 其次 要精心分解 把整个大题分解成若干个小题或若干步骤 使它们成为在各自分支中的基本问题 最后 分别求解这些小题或步骤 从而得到整个问题的结论 1 已知数列 an 的通项公式an log2 n n 设其前n项和为sn 则使sn 4成立的自然数n有 a 最大值15 b 最小值15 c 最大值16 d 最小值16 解析 由已知 sn log2 log2 log2 log2 log2 log215且n n n的最小值为16 答案 d 2 某工厂的产量第二年比第一年增长的百分率是p1 第三年比第二年增长的百分率为p2 若p1 p2 m 定值 则年平均增长的百分率的最大值是 p p的百分率的最大值是 答案 解析 设年平均增长的百分率为p 可知 1 p 2 1 p1 1 p2 2 1 p 1 3 函数y x2 x 0 的图像在点 an 处的切线与x轴交点的横坐标为an 1 n n 若a1 16 则a3 a5 数列 an 的通项公式为 解析 由导数的几何意义可知 k 2x 2an 所以切线方程为y 2anx 切线与x轴交点的横坐标0 2anan 1 可得an 1 an an 1 an an 是以16为首项 为公比的等比数列 an 16 n 1 25 n 答案 5an 25 n a1 16 a2 8 a3 4 a4 2 a5 1 a3 a5 5 题型1等差数列与等比数列的综合题 例1已知正数数列 an 中 a1 2 且关于x的方程x2 x 0 n n 有相等的实根 1 求a2 a3的值 2 求证 n n 分析 因为关于x的一元二次方程有相等的实根 所以其判别式等于0 由此找出an 1与an的关系式 并对an 1与an的关系 式进行递推或转化为熟悉数列的通项问题 然后求出其通项an 再根据确定求和的类型 解析 1 由题意得 an 1 2an 1 0 得an 1 2an 1 又a1 2 所以a2 2 2 1 5 a3 2 5 1 11 2 法一 由an 1 2an 1 得an 2an 1 1 2 2an 2 1 1 22an 2 2 1 22 2an 3 1 2 1 23an 3 22 2 1 2n 2 2a1 1 2n 3 22 2 1 2n 1a1 2n 2 22 2 1 2n 3 2n 1 1 所以1 an 3 2n 1 得 所以 1 故 n n 法二 由an 1 2an 1 得an 1 1 2 an 1 因为a1 1 2 1 3 所以数列 an 1 是首项为3 公比为2的等比数列 所以an 1 3 2n 1 即得an 3 2n 1 1 以下同法一 点评 此题是以一元二次方程为载体的一道数列综合题 通过一元二次方程的判别式构建起数列通项间的递推关系是解决本题的关键 变式训练1已知等差数列 an 的前n项和为sn 公差d 0 且s3 s5 50 a1 a4 a13成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若从数列 an 中依次取出第2项 第4项 第8项 第2n项 按原来顺序组成一个新数列 bn 记该数列的前n项和为tn 求tn的表达式 解析 1 依题意得解得 an a1 n 1 d 3 2 n 1 2n 1 即an 2n 1 2 由已知得 bn 2 2n 1 2n 1 1 tn b1 b2 bn 22 23 2n 1 n n 2n 2 4 n 题型2数列与函数 方程 不等式的综合应用 例2已知二次函数f x x2 m 2 x m 2 x r 同时满足 不等式f x 0的解集有且只有一个元素 在定义域内存在x1 x2 使得x1 x2 0 但f x1 f x2 设数列 an 的前n项和sn f n 1 求f x 的表达式 2 求数列 an 的通项公式 0 再由sn可得an 解析 1 f x 0的解集有且只有一个元素 m 2 2 4 m 2 0 m 2或m 2 当m 2时 函数f x x2是一个偶函数 故不存在x1 x2 使得x1 x2 0 且f x1 f x2 当m 2时 函数f x x2 4x 4 在定义域内存在x1 x2 使得x1 x2 0 分析 由不等式f x 0的解集有且只有一个元素 可得 且f x1 f x2 故f x x2 4x 4 2 由 1 可知sn n2 4n 4 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 n2 4n 4 n 1 2 4 n 1 4 2n 5 an 知识的综合把握 符合高考在知识的交汇处命题的特点 点评 以函数知识为背景 以数列知识为主线 考查学生对 变式训练2已知函数f x 满足ax f x b f x ab 0 f 1 2 并且使f x 2x成立的实数x有且只有一个 1 求f x 的解析式 2 若数列 an 的前n项和为sn an满足a1 当n 2时 sn n成立 求数列 an 的通项公式 由f x 2x 得ax 2x b 2x 即2ax2 2x b 0有两相等的实根 4 8ab 0 由 解得a b 1 1 f x 1 且 1 0 f x x 2 解析 1 由f 1 2得2a b 2 ab 0 a 0 2 a1 当n 2时 sn n 当n 2时 sn n sn an n 2 当n 1时 s1 a1 2a1 1 2 a1 a1 也满足 式 又当n 2 n n 时 sn an n 2 则sn 1 an 1 n 1 两式相减得 2an an 1 1 n 2 2 an 1 an 1 1 即an 1 an 1 1 n 2 数列 an 1 是以为首项 为公比的等比数列 an 1 n 1 an 1 题型3数列在实际问题中的应用 例3流行性感冒 简称流感 是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病 某市去年11月份曾发生流感 据资料统计 11月1日 该市新的流感病毒感染者有20人 此后 每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人 由于该市医疗部门采取措施 使该种病毒的传播得到控制 从某天起 每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人 到11月30日止 该市在30日内感染该病毒的患者总共有8670人 问该市哪一天感染此病毒的新患者人数最多 并求出这一天的新患者人数 分析 设11月的第n日患者人数最多 根据题意可知8670是由两个等差数列的和组成的 分别用n的代数式表示两个等差数列的和可求出n的值 解析 设从11月1日起第n n n 1 n 30 日感染此病毒的新患者人数最多 则从11月1日至第n日止 每日新患者人数依次构成一个等差数列 这个等差数列的首项为20 公差为50 前n日的患者总人数即该数列前n项之和sn 20n 50 25n2 5n 从第n 1日开始 至11月30日止 每日的新患者人数依次构成另一个等差数列 这个等差数列的首项为 20 n 1 50 30 50n 60 公差为 30 项数为 30 n 30 n 日的患者总人数为t30 n 30 n 50n 60 30 30 n 65n 495 65n2 2445n 14850 依题意得sn t30 n 8670 即 25n2 5n 65n2 2445n 14850 8670 化简得n2 61n 588 0 解得n 12或n 49 1 n 30 n 12 故第12日的新患者人数为20 12 1 50 570 11月12日 该市感染此病毒的新患者人数最多 且这一天的新患者人数为570人 常量依次递增 或递减 则可建立等差数列模型 利用等差数列知识便可使问题顺利解决 点评 在实际问题中 如果某一变量是离散型的 且按某一 变式训练3某油库已储油料a吨 按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25 以后每年的进油量为上一年年底储油量的25 且每年运出b吨 设an为正式运营后第n年的储油量 1 写出an的表达式 不要求证明 2 为抵御突发事件 该油库年底储油量不得少于a吨 如果b a 该油库能否长期按计划运营 如果可以 请加以证明 如 果不行 请说明理由 取lg2 0 30 lg3 0 48 解析 1 依题意 油库原有储油量为a吨 则 a1 a b a2 a1 b 2a 1 b a3 a2 b 3a 2 1 b 猜想 an na n 1 n 2 1 b na 4 n 1 b n n 2 当b a时 该油库第n年年底储油量不少于a吨 即 na 4 n 1 a a 即 n 3 n lo3 4 8 所以不能长期运营 1 等差 等比数列是基本数列 往往结合实际问题出题 并与递推公式相联系 主要应用函数与方程 分类讨论 化归 整体等思想来解题 2 在解数列应用题时 要重视建模的方法 将实际问题转化为数列问题 结论 其二是 存在性 问题 解题思路是 假设满足条件的对象存在 在此基础上 寻找出对象存在的条件 从而肯定假设 或推导出矛盾 从而推翻假设 得出结论 3 探索型问题是高考数列题中的重要题型之一 该问题有两种形式 其一是不知结论 经过自己去探索 发现 从而得到 例设数列 an 是由正数组成的等比数列 sn是其前n项和 证明 lgsn 1 错解 sn sn 2 2qn 1 qn qn 2 q 1 2 qn0 q 0 sn sn 2 由对数函数的单调性知lg sn sn 2 lg 进而得 lgsn 1 剖析 上述过程中所用的求和公式 都是当q 1时才成立的 没有考虑q 1时的情况 因此证明过程不完整 正解 需补上q 1时的情况 事实上 当q 1时 sn na1 sn sn 2 na1 n 2 a1 n 1 a1 2 0 sn sn 2 lgsn 1 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 点pn n an n n 都在直线y x 1上 是 数列 an 为等差数列 的 a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件 c 充要条件 d 既不充分又不必要条件 件成立 若数列 an 为等差数列 则an不一定必须等于n 1 所以必要条件不成立 答案 a 解析 由已知可得 an n 1 an 是等差数列 所以充分条 2 视角拓展 某产品成本不断下降 若每隔三年价格要降低25 现在价格是640元 则12年后的价格是 a 270元 b 210元 c 202 5元 d 125元 解析 由题意可知12年后价格应降了4次 所以12年后的价格为640 1 4 640 202 5元 答案 c 3 高度提升 已知正项数列 an 中 对一切正整数n 都有 anan 4 若a3 2 a7 4 则a15的值为 a 8 b 16 c 32 d 64 解析 由条件可知an an 2 an 4构成等比数列 a3 a5 a7 a9 a11 a13 a15构成等比数列 a3 a7 a11 a15构成公比为2的等比数列 故a15 16 答案 b 4 高度提升 在二次函数f x ax2 bx c中 a b c成等比数列 且f 0 4 则 a f x 有最大值2 b f x 有最小值1 c f x 有最小值 1 d f x 有最大值 3 而a 0 所以f x 有最大值 4 3 答案 d 解析 a b c成等比数列 b2 ac 又f 0 4 即c 4 从 5 能力综合 已知数列 an bn 满足a1 1 且an an 1是函数f x x2 bnx 2n的两个零点 则b10等于 a 24 b 32 c 48 d 64 答案 d 解析 依题意有anan 1 2n 所以an 1an 2 2n 1 两式相除 得 2 所以a1 a3 a5 成等比数列 a2 a4 a6 成等比数列 而a1 1 a2 2所以a10 2 24 32 a11 1 25 32 又因为an an 1 bn 所以b10 a10 a11 64 6 视角拓展 已知等差数列 an 对于函数f x x5 x3满足 f a2 2 6 f a2013 4 6 sn是其前n项和 则s2014 解析 f x x5 x3 可知f x 是奇函数且递增 由奇函数的性质可知 其图像关于原点对称 由f a2 2 6 f a2013 4 6 a2 2 a2013 4 即a2 a2013 6 s2014 6042 答案 6042 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 高度提升 已知函数f x 2x 等差数列 an 的公差为2 若f a2 a4 a6 a8 a10 4 则log2 f a1 f a2 f a3 f a10 解析 由条件和等差数列性质得a2 a4 a6 a8 a10 2 log2 f a1 f a2 f a10 log2 log2 log2 a1 a2 a10 2 a2 a4 a6 a8 a10 5 2 2 2 10 6 答案 6 8 视角拓展 如果一个数列 an 满足an an 1 h 其中h为常数 n n 且n 2 那么称数列 an 为等和数列 h为公和 记sn是其前n项和 已知等和数列 an 中 a1 1 h 3 则a2012 s2013 解析 由an 3 an 1 得数列 an 为1 4 1 4 即an 故a2012 4 而s2013 s2012 a2013 1006 3 1 3017 答案 4 3017 9 高度提升 某学生听到 周日去爬山 的喜讯后 1h内将这一喜讯传给2个学生 这2个学生又以同样的速度各传给未听到喜讯的另外2个学生 如果每个人只传2人 这样继续下去 要把喜讯传遍一个有2047个学生 包括第一人 的学校 所需时间为 即 2046 解得x 10 答案 10h 解析 设所需的时间为xh 则依题意有2 4 2x 2046 10 视角拓展 在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n n 1 证明 数列 an n 是等比数列 2 求数列 an 的前n项和sn 三 解答题 本小题共3小题 每小题14分 所以数列 an 的前n项和sn a1 a2 an 1 4 42 4n 1 1 2 n 解析 1 由题设an 1 4an 3n 1 得an 1 n 1 4 an n n n 又a1 1 1 所以数列 an n 是首项为1 且公比为4的等比数列 2 由 1 可知an n 4n 1 于是数列 an 的通项公式为an 4n 1 n 11 高度提升 等差数列 an 的各项均为正数 a1 3 前n项和为sn bn 为等比数列 b1 1 且b2s2 64 b3s3 960 1 求an与bn 2 求 由题意有 解得或 舍去 故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 sn 3 5 2n 1 n n 2 解析 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则d为正整数 an 3 n 1 d bn qn 1 1 1 12 能力综合 甲 乙两个钢铁厂2010年的年产量均为100万吨 两厂通过革新炼钢技术 改善生产条件等措施 预计从2011年起 在今后10年内 甲厂的年产量每年都比上一年增加10万吨 以201