拉氏变换习题解答.pdf

拉氏变换习题解答 习题一 求下列函数的拉氏变换 并用查表的方法来验证结果 kt h t 2 nn l i ss 丿 I tt i i ff m6 2 t e 21 3 t t气 6 f t coshkt 7 t cos2t 4 f t sin tcost 10 f t cos2 t i1 一 如 解 l 2q 点 2 2 s 4 Re 0 kt玉 5 也e一 s k tdt 勹s 飞 IJ飞 6 奇卢 Res max k k l 6 0 t 4 3 f t e2 5o t O t 0 冗一2 t 4 J t o t cost u t sin t 解 3e st 3e s 1 I 2芯I 心s dt I一 立心fJint产dt I ei1 e i1 l 1 e一 s一i tre屯 i II l 飞i2 d1 I 心石 r r 1 1 1 1 e I e 打 I I e f S 1 e压石 s i s i l e压s2 l 言节订 4求下列各图所示周期函数的拉氏变换 2 凡 f t b zzz b 2b 3b 4b 冗 2冗 3 f t 4 八t I I I I I I I I I b 2b 3b 4b I I I I Sb a 4a Sa 1 1 解 1 由图易知八 是周期为b的函数且在一个周期内的表达式为 八 t o t e stdt 1 bs te bf l e dt 1 伪 主产 1 1 加妢 bse bs 2 1 e bs bs 罕 b S可 2 已知 f t 是周期T 冗的周期函数在一个周期内 f t sint 由公式 O t 冗 3 t 4a 由公式 4 1 I 丿户 t e s dt 1 4 s I le S d J J 1 广Sid as 2 e 心 3 es 心 e l 4 le l 2 30LS I s 动 c s T l e i 气主罕丿 主望启二 l l e 2 5 1 s l e s 1 e Zas s l e as tanhas 4 由图易知 八 是周期为2b的周期函数在一个周期内 J切 1 0 S t b I b s t 2b 由公式 屈 广 l e 2bs O f t e dt 1 e 2bs Io e sl dt 庄巾 dt 伈 e s b 2 es s b e l s 耳 l e i b b 一 s 21 SI e b I S SI e l ibs le l 2 1 l e fo l bs 2bs tanh s 1 e s 2 习题二 I 求下列函数的拉氏变换式 I f t t 2 3t 2 3 f t t 1 切 1 s 0 f 0 0 1 e一I 0 f c 特别 e r sin 2 rdr t s 3 F s 求f t s2 1 2 丿 s F 求 丿 s F 求 dt t 2 n t 2 1 nst l I t3 s 31e o e I 丿 tt ff 丿 丿 24 解rF s ds I丁f t e dtds 口 f t e s dsdt 厂罣尸dt 1 os e l 3J 312 2s2 32 2 t 4 32 1 0 T 2 r 3r t 3 1 由图易知J t 是周期为让的周期函数在一个周期内 4 10 由公式 兀 O t r r t 2 t 儿 t 均满足拉氏变换存在定理的条件 若它们的增长指数均为C 且 t J 只 s t 儿 t 卢J j 只 q 启 s q dq 其中 J c Re s J c 证由于f1队队t 均满足拉氏变换存在定理的条件以及增长指数均为c 知乘积爪t J t 也一 定满足拉氏变换存在的定理的条件且增长指数为2c 根据拉氏存在定理的证明当 J C 时 q eq1 dq 2 rr i P一ioo 而 八 t J t 寸厂J t 几 t 亡dt i厂 如二飞 q eq1dq 儿 t e stdt 11 L J ico l J 1co f F q l厂儿 t e s q dtdq I 凡 q忧 s q dq 2冗j J ioo 2冗jf ioo 2 求下列函数的拉氏逆变换 像原函数 井用另一种方法加以验证 I 2 F伈 s s Xs 1 F伈 2 2 s a a b s s c 2 2 2 3 F s Xs 2 4 F s s a a b s2 a守 l 6 F s s 1 Xs 5 F s 2 2 3 s a s a b l 8 F旬 s2 2s 1 7 F伈 4 4 s a s s 1 2 1 10 F旬 2 X s 2 9 F s 2 2 s s l s 1 s 4 1 解法1 t aJ 沪im e iat si at 2 解法1f t 2 a Res s 2 b c a e ai 气二e c a e 十三te b a c产 b a 2 ds s a s IJ a b 2 a b a b 2 解法2 八f sinatdt 1 I t3 I cos at 2a2旷 解法2八 一 f言 6 解法1 est est est Res 产2Y o Res 卢2Y ai Re 产于ai I d2 e e ai 2歹 s2 a2 o 2a如 3 2a ai 3 1 l 2 1 cosat 2a 2 a 4 八 了Xs b a Res s s Xs b b 13 7 解法1 I I 一 I 盂十a a b b a b 产 J伈 t Re s t e o Res s t e 1 1 卢厂十S扣Iest 气I 2e 2te s I 9 解法1 几 ie 2iez 2ie 2 e e ez e 2 1 却可十二十三十固丁句 丁丁丁了勹 cost cos2t 14 3求下列函数的拉氏逆变换 I 1 F s s 2 2 4 2 p伈 士 3 F s 2s l s s 1Xs 2 4 F s I s 5s2 4 5 F价 s I 9s2 6s 5 6 F s In s2 1 s 2 7 F们 s 2 s2 4s sY 8 F s I s1 2s 2 9 F s s2 4s 4 s2 4s 13f 00 F旬 2s2 s S s3 6s2 l ls 6 11 F s s 3 s3 3s2 6s 4 12 F s 2s2 3s 3 s IXs 3 3 13 F s J e心 s 2 解 i I s 0 J D J e sint 1f 9一卢l 3 s tXs 2 e 3e I Je 2 JOe 3 C 1 I f伈 t 6s 4 十 同l I 2 2 3 矿sin 3t e一 矿cos 3t e一 2 2cos石t 3 sin心 3 3 3 12 巾 J t f2伈 t1 f2 t t l 1 1 J 1 td1 t 2 t t r 尸1 11 tJ dr f 心 t3 t3 广 3 t 了 I1 t r d1 f t 扩c tn k k r L I y C 11 k I T n k心 i仁Iy c I 1111 11 1 k动k O m k I O t 2 tz 2 m 11 t 1Y C n m 11 n n t 11 I k om k I m 1Xm 2J m l n m n l 4 t e f O 11沪d r e J 佥d r e re r i 寸尸e rd r e t 1 1 I 5 sint cos sinrcos t r炉 2 i sintdr 2 isin 2r t炉 I l 1 tsint cos 2r t I tsin t 2 4 r O 2 6 sinkt sinkt f sinh sink t r炉叶 cos 2kr kt dr cosktdr I l sin kt t cos kt 2k 2 一T t T f 7 t sinht rsinh t d r f 1 e e e 广 气0 r 2 d r 了长 r心 了L奋di f e r z 1 一f er 1 sinh t t 8 sinhat smhat f sinha rsinha t r d r f I e e ar e 尸r e a r r 0 0 2 2心 17 ea i IT e at l e2 dT ea1 l e 2ard e一 l产寸 l 1 tcoshat sinhat 2 2a 9 u t a 主l t u a 八 iT 当t a时 u T a O 此时 u t a 八 0 当 a t时 u t a f t i 飞 r a f r a dr u r a J t r dr 附中 因此 u t a 飞 Jj t Jr 10 5 t a J t to r a 八t r cir 当t a时 o r a O此时 岛 a 订伈 0 当o a t时 t a O a t 战t a J t fc 飞 r a f t r如 5 a 八t r如 I 5 r a f t 扣 0 5 r a f t r dr O J 如6 a f t r dr f t r忙 f t a 因此 5 t a 才 f t 0 八t ai t a 0 a t 2 利用卷积定理 证明 s s 2 2 Fi s I a s a 2 as a 干是从t s cosat 儿 t s Fi s J t 战 分l cosarsin a t晕 i JJsin at sin 2ar at 吓 卢 isinat 卢cos 2ar at C0 it sin at 右边 4 利用卷积定理证明 一 忒 1 沪 气2dr 并求厂 sk 证设F s 上 Fi s 千是 Fs s J 1 叩 f 气2d1 5 证明卷积满足对加法的分配律 f t 儿 t 八 t J t 儿 t J t 八 t 证八 t 儿 t 八 t rri r 儿 t r J t r dr 寸 八 r 儿 t r dr J 八 r 八 t r dr 八 t 儿 t 八 t 八 t 6 证明卷积满足结合律 f t 儿 t 八 t 几 t 儿 t 1 t 仁S 证f t 儿 t 八 t 寸f s f儿 t s r 八 r d咕 I f八 r dr厂J s 儿 t r s ds f t 儿 t 八 t 0 0 习题五 1 求下列微分方程式及方程组的解 l y 4y 3y e飞y O y O l 19 2 y 3y 3y y l y O y O y O O 3 y 3y 2y u t l y O O y O l 4 y y 4sint 5cos2t y O 1 y O 2 5 y 2y 2y 2e cost y O y O O 6 y 4y Sy F t y O c1 y O c2 c c2为常数 7 y y e气y O y O y O 0 8 y 3y 3y y 6e一I y O y O y O o 9 y 2y y O IO y 4 y Ill cost I X X y e 3x y 2y 2e y O y O y O O y O 1 y 0 y 0 y 0 0 y 0 C 常数 x O y O l ll y 2z F t y z z 0 13 r2x x 9x y y 3y 0 2x x 7x y y Sy 0 y O y O z O z O 0 X Q X Q 1 y O y O O 0 0 0 zzz I yy z 11 I xyy I I xxx 夕 V 一 丿 4 l X Q 1 y Q Z Q 入 O y O z O 0 解 I 对方程两边取拉氏变换 井考虑到初始条件 得 l s2Y s s l 4sY s 4 3Y s s l 整理后解出Y s 得 Y s l s 5 s 3 s l s l s 3 I I 3 I 7 I 一一 十一 2 s l 2 4 s 3 4 s I 再取拉氏逆变换得其解为 y t 2 J c1 i c2 2c1 Y i F t e 2 1 sint c e 2 1 cost 亿 2c e 21 sint F t e 21 sin t e 21 c cost 亿 2c sint 7 对方程两边取拉氏变换得 心 s sY s I s 2 Y s 1 s 2 s厅 1 部分分式 1 A B Cs D s 2 s厅 1 s 2 s s2 1 用待定系数法得 l l 2 1 A 一 B C D 10 2 5 5 因此 y t xs j心s2 s xs i I 1 t I e cost sin t 2 2 因此原方程的解为 y t 霓飞盓骂 x s Y s s2 t z s 0 由后两个方程得Y s Z s X s s2Y s 代入第一个方程解