南京航空航天大学《高等数学》51定积分的概念.pdf

1 第五章 定积分第五章 定积分 2 定积分的定义定积分的定义 定积分存在定理定积分存在定理 几何意义几何意义 第一节 定积分的概念第一节 定积分的概念 3 实例1实例1求求曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 0 yf xf x x轴 及 轴 及以及两直线以及两直线 xaxb 所围成 求其面积所围成 求其面积 A 矩形面积 矩形面积a h ah a h b 梯形面积梯形面积 2 h ab 一 问题的提出一 问题的提出 A ba O x y yf x 4 x b ao y x b ao y 用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近 曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近 曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 四个小矩形 九个小矩形 5 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 6 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 7 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 8 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 9 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 10 曲边梯形如图所 示 曲边梯形如图所 示 1210 bxxxxxa ba nn 个分点 内插入若干在区间 个分点 内插入若干在区间 a b x y o i i x 1 x 1 i x 1 n x 1 1 iii ii xxx xx nba 长度为 个小区间 分成把区间 长度为 个小区间 分成把区间 形面积 曲边梯形面积用小矩上任取一点 在每个小区间 形面积 曲边梯形面积用小矩上任取一点 在每个小区间 i ii xx 1 iii xfA 1 近似为高为底 以近似为高为底 以 iii fxx 1 分割 分割 2 近似 近似 11 i n i i xfA 1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为 i n i i xfA lim 1 0 时 趋近于零 即小区间的最大长度当分割无限加细 时 趋近于零 即小区间的最大长度当分割无限加细 0 max 21 n xxx 曲边梯形面积为曲边梯形面积为 3 求和 求和 4 取极限 取极限 12 实例2实例2 求变速直线运动的路程 求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动 已知速度设某物体作直线运动 已知速度 tvv 是 时间间隔 是 时间间隔 21 TT上上t的一个连续函数 且的一个连续函数 且 0 tv 求物体在这段时间内所经过的路程 求物体在这段时间内所经过的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上 速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便 得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上 速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便 得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 13 1 分割 分割 212101 TtttttT nn 1 iii ttt iii tvs 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度 3 求和 求和 ii n i tvs 1 4 取极限 取极限 max 21n ttt i n i i tvs lim 1 0 路程的精确值路程的精确值 2 近似 近似 14 设函数设函数 xf在在 ba上有界 上有界 记记 max 21n xxx 如果不论对如果不论对 ba 在在 ba中任意插入中任意插入 若干个分点若干个分点bxxxxxa nn xf b a Adxxf 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 0 xf 所以所以 lnxf在在 1 0 上有意义且可积上有意义且可积 27 五 小结五 小结 定积分的实质 特殊和式的极限 定积分的思想和方法 定积分的实质 特殊和式的极限 定积分的思想和方法 分割分割化整为零化整为零 求和求和积零为整积零为整 取极限取极限精确值精确值 定积分定积分 求近似以直 不变 代曲 变 取极限 求近似以直 不变 代曲 变 取极限 28 将和式极 限 将和式极 限 n n nnn n 1 sin 2 sinsin 1 lim 表示成定积分表示成定积分 解 原式 解 原式 n n n n nnn n sin 1 sin 2 sinsin 1 lim n i n n i n 1 sin 1 lim nn i n i n 1 sinlim 1 sin 1 0 xdx i x i 思考思考 29 将和式极限 表示成定积分将和式极限 表示成定积分 22222 4 1 24 1 14 1 lim nnn