(王老师：微分法建模)第1次作业.doc

请解决文中出现的问题。血 管 分 支血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环动物的机体要提供能量。能量的一部分用于供给血管壁以营养，中一部分用来克服血液流动受到的阻力。消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经达到消耗能量最小原则下的优化标准了。我们不可能讨论整个血管系统的几何形状，这会涉及太多的生理学知识。下面的模型只研究血管分支处粗细血管半径的比例和分岔角度，在消耗能量最小原则应该取什么样的数值。模型假设1.一条粗血管在分支点处分成两条血管，分支点附近三条血管在同一平面上，有一对称轴。因为如果不在一个平面上，血管总长度必然增加，导致能量消耗增加，不符合最优原则。这是一条几何上的假设。 2.在考察血液流动受到的阻力时，将这种流动视为粘性流体在刚性管道中的运动。这当然是一种近似，实际上血管是有弹性的，不过这种近似的影响不大，这是一条物理上的假设。 3.血液对血管壁提供营养的能量随管壁内表面积及管壁所占体积的增加而增加。管壁所占体积又取决于管壁厚度，而厚度近似地与血管半径成正比。这是一条生理上的假设。根据假设1，血管分支示意图如图44所示。一条粗血管与两条细血管在点分岔，并形成对称的几何形状。设粗细血管半径分别是和，分岔处夹角是。考察长度为的一段粗血管和长度为的两条细血管和，（）的水平和竖直距离为和，如图所示。再设血液在粗细血管中单位时间的流量分别为和，显然。图44血管分支示意图假设2使我们可以利用流体力学关于粘性流体在刚性管道中流动时所受阻力的定律，即阻力与流量的平方成正比，与半径的4次方成正比。所以血液在粗细血管中流动的阻力分别为和，是比例系数。假设3比较复杂，需要作进一步简化。对于半径为、长度为的血管，管壁内表面积，管壁所占体积，其中是管壁截面积。记壁厚为，则。设壁厚近似地与半径成正比，综合考虑管壁内表面积和管壁所占体积对能量消耗的影响，可假设单位长度血管壁提供营养的能量为，是比例系数。能量的消耗与内表面积和管壁所占体积都有关系，综合起来，可设，。模型建立根据上述假设及对假设的进一步分析，血液从粗血管点流动到细血管、两点的过程中，机体为克服阻力和供养管壁所消耗的能量为（1）由图44所示的几何关系不难得到，（2）将（2）式代入（1）式，并注意到，能量可表示为、和的函数，即（3）按照最优化原则，和的取值应使（3）式表示的达到最小。由和可以得到（4）从方程（4）可解出（5）再由可得（6）将（5）式代入（6）式，则（7）（5）、（7）两式就是在能量消耗最小原则下血管分岔处几何形状的结果。取和，可以算出和的大致范围为，（8）模型检验这里只提供检验模型的一个依据。记动物的大动脉和最细的毛细血管的半径分别为和，设从大动脉到毛细血管共有次分岔，将（5）式反复利用次可得（9）的实际数值可以测出，例如对狗而言有，由（9）式可知。因为，所以按照这个模型，狗的血管应有次分岔。又因为当血管有次分岔时血管总条数为，所以估计狗应有，即条血管。这样得到的数据可以从一个方面验证模型。作业题1 请写出的推导过程。4.6 消费者的选择在2.5节实物交换模型中曾用无差别曲线族来描述人们对两种物品的满意和偏爱程度，用图形的方法确定两个人进行实物交换时应遵循的途径。本节要利用无差别曲线族的概念讨论，当一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时怎样的选择，即他应该分别用多少钱去买这两种商品。记甲乙两种商品的数量分别是和，当消费者占有它们时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，是和的函数，记作，经济学中称为效用函数（Utility Function）. (常数)的图形就是无差别曲线族，如图45，是一族单调降、下凸、互不相交的曲线。在每一条曲线上（如上的值高于上的值）。曲线下凸的具体形状反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假定消费者的效用函数，即他的无差别曲线族已经确定了。图45无差别曲线族及消费者均衡的图解法设甲乙两种商品的单价分别是和（元），消费者有（元）钱。当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，应该使效用函数达到最大，即得到最大的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者均衡。因为当消费者对两种商品的购买量分别为和时，他用的钱分别为和，于是问题归结为在条件（1）下求比例，使效用函数达到最大。图46无差别曲线族若为上凸函数这是二元函数的条件极值问题，用乘子法不难得到最优解应满足（2）当效用函数给定后，由（2）式即可确定最优比例。作业题2 请写出（2）式的推导过程。上述问题也可用图形法求解。约束条件（1）在图45上是一条直线。必与无差别曲线族中的某一条曲线相切（图中是与相切），则、的最优值必在切点处取得。（请读者说明最优值不会在与另一条曲线的交点处取得，直线也不会与两条无差别曲线相切）。图解法的结果与（2）式是一致的。因为在切点处直线与曲线的斜率相同，而的斜率是（隐函数求导法则），的斜率是，在点处，即给出（2）式。经济学中、称为边际效用，即商品购买量增加一个单位时效用函数的增量。（2）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件：条件A所确定的一元函数是单调减函数，且曲线呈下凸状。这是无差别曲线的特性（见2.5节）。条件可以用函数的更直接的条件代替。即条件B，。可以验证，当条件B成立时，条件A必成立。请读者解释条件B的实际意义。作业题3 请写出，的经济学意义，并说明“条件B成立时，条件A必成立”的理由。下面列举几个常用的效用函数，并分析消费者均衡状态，即最优比例的实际意义。1 若效用函数为，（3）根据（2）式可以求得最优比例为（4）结果表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例，与商品价格比的平方根成正比。同时与效用函数中的参数、有关：越大购买商品甲的钱越少，越大购买商品甲的钱越多。这说明在（3）式给出的效用函数中，参数和分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度。于是调整和可以改变消费者对两种商品的爱好倾向，或者说可以改变无差别曲线的具体形状。2 若效用函数为，（5）根据（2）式可以求得最优比例为（4）这表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例与价格无关，而参数和分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度。3 设效用函数为，（7）对（7）式的求解及结果分析留作习题6。应用这个模型时，可以根据上面的分析决定