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1 1矩阵的概念 由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 按照一定顺序排成的m行n列的矩阵数表 1 称为m n矩阵 或m行n列矩阵 简称 矩阵 当m 1时 当n 1时 1 1矩阵的概念 方阵 当m n时 即矩阵的行数与列数相同时 称矩阵为n阶方阵 2 主对角线 阶梯形矩阵 设A aij m n 若当i j i j 时 恒有aij 0且A中各行中第一个 最后一个 非零元素前 后 面零元素的个数随行数增大而增多 减少 称为上 下 阶梯形矩阵 简称为上 下 梯形阵 1 1矩阵的概念 特殊的矩阵 零阵 矩阵的全部元素为0 记作O或Om n 3 对角阵 n阶方阵 除主对角线上元素外其余皆为零 记作 1 1矩阵的概念 特殊的矩阵 单位阵 主对角线上元素全为1的对角阵 4 记作 数量阵 主对角线上元素全为常数k的对角阵 记作 1 1矩阵的概念 特殊的矩阵 三角阵 主对角线下 上 面的元素全为零的方阵称作上 下 三角阵 5 上三角阵 下三角阵 方阵 行和列相等的矩阵同型矩阵 行和列分别相等的两个矩阵相等矩阵 两个同型的且对应位置上的元素分别相等的矩阵负矩阵 设有矩阵A aij m n 设其负矩阵为 A aij m n 6 实矩阵 矩阵的元素都为实数复矩阵 矩阵的元素含有复数 1 2矩阵的运算 线性运算 矩阵的相等 两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数 且对应元素相等 即 7 1 同为m行n列矩阵2 对应元素相等 矩阵的加减法 矩阵的和 设同型矩阵A aij m n与B bij m n 称矩阵C cij m n aij bij m n为矩阵A和B的和 记为C A B 矩阵的差 记为A B A B 1 2矩阵的运算 线性运算 性质1 2 1 设矩阵A B C D为同型矩阵 则 A B B A 交换律 A B C A B C 结合律 A O O A AA A A A O 8 1 2矩阵的运算 线性运算 数量乘积 设A aij m n k为常数 则称 为常数k与矩阵A的的数量乘积 简称数乘 性质1 2 2 设A B为同型矩阵 k l为常数 则 k A B kB kA 对矩阵的分配律 k l A kA lA 对数的分配律 kl A k lA 1A A 1 A A 0A O 9 1 2矩阵的运算 乘法运算 定义1 2 4 设矩阵A aik m s与B bkj s n 称由元素 组成的矩阵C cij m n为矩阵A和B的乘积 记作AB 即 相乘的条件 A的列数必须等于B的行数 10 1 2矩阵的运算 乘法运算 11 定义1 2 6 设A为n阶方阵 则称 为A的多项式 1 2矩阵的运算 乘法运算 定义1 2 5 设A为n阶方阵 k为正整数 则称k个A的连乘积称为A的k次幂 记作Ak 12 1 2矩阵的运算 矩阵的转置 定义1 2 7 将矩阵A aij m n进行行列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵 记作AT 13 性质 AT T A A B T AT BT kA T kAT k是常数 AB T BTAT 1 2矩阵的运算 定义1 2 8 设A为n阶方阵 若AT A 则称A为对称矩阵 若AT A 则称A为反对称矩阵 对任一n阶方阵A 则有A AT AAT ATA都是对称阵 而是A AT反对称阵 由于 所以任一n阶方阵A 都可以写成对称阵与反对称阵的和 14 1 3方阵的行列式及其性质 三阶行列式的定义 对角线规则展开法求行列式 显然 展开法可以推广到n阶行列式 注 对角线法只用于求三阶行列式 15 1 3方阵的行列式及其性质 n阶行列式 代数余子式 在n阶行列式中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n 1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij Aij叫做元素aij的代数余子式 16 Aij 1 i jMij D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 3 方阵的行列式及其性质 性质1 3 1 方阵转置时 行列式的值不变 行列地位平等性质1 3 2 互换行列式两行 列 行列式变号 若行列式中某两行 列 对应元素相等 则行列式的值为零 性质1 3 3 用数k乘行列式某一行 列 中所有元素 等于用k乘此行列式 行列式中某一行 列 的公因子可以提出到行列式外 17 3 方阵的行列式及其性质 性质1 3 4 行列式中有两行 列 其对应元素成比例 则此行列式的值为零 行列式中某一行 列 元素与另一行 列 对应元素的代数余子式的乘积之和为零性质1 3 5 行列式中某一行 列 的所有元素都是两个数的和 则此行列式可以写成两个行列式的和 行列式中某一行 列 的所有元素都是m个数的和 则此行列式可以写成m个行列式的和 性质1 3 6 行列式的某一行 列 加上另一行 列 对应元素的k倍 行列式的值不变 18 3 方阵的行列式及其性质 性质1 3 7 设A B均为n阶方阵 k为常数 则 1 kA kn A 2 AB A B Ak A k 若 A 0 则A为非奇异方阵 反之为奇异方阵 设A aij n n 行列式 A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵A 称为A的伴随矩阵 AA A A A E 19 3 方阵的行列式及其性质 应用 行列式的应用 定理1 3 1 克莱姆法则 若方程组F的系数行列式D aij 0 则方程组有唯一解 其中Dj是将D中第j列替换为常数项而得到的行列式 20 3 方阵的行列式及其性质 应用 定理1 3 1 若线性方程组F的系数行列式D 0 则它一定有解 n元齐次方程组 F0 零解 非零解 定理1 3 2 若F0的系数行列式D 0 则其仅有零解 定理1 3 3 若F0有非零解 则其系数行列式D 0 21 1 4初等变换与矩阵的秩 定义1 4 1矩阵的第一 第二 第三种初等变换 1 对换矩阵中第i j行 列 2 用非零常数k乘以第i行 列 3 将矩阵的第j行 列 乘以常数k后加到第i行 列 定义1 4 2若对矩阵A进行有限次初等变换得到矩阵B 则称A与B等价 记作A B 1 反身性 A A 2 对称性 若A B 则B A 3 传递性 若A B且B C 则A C 22 初等变换是可逆的 1 4初等变换与矩阵的秩 矩阵的标准型 I 左上角为单位阵 其余全为零 所有矩阵都可以经过初等变换化为标准型 由 m n r 决定所有与A等价的矩阵组成的集合 称作一个等价类 每个等价类里都有一个I 23 1 4初等变换与矩阵的秩 定义1 4 3 在一个m n的矩阵A中 任取k行k列 k min m n 位于这些行列相交处的元素按原来次序所构成k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 一个m n的矩阵中的k阶子式有个 定义1 4 4 矩阵Am n中所有不等于零的子式的最高阶数称为A的秩 记为r A r Am n min m n 若A中有一r阶子式不为零 则r A r r O 0 r AT r A 24 1 4初等变换与矩阵的秩 定理1 4 1若A B 则r A r B 初等变换不改变矩阵的秩 求矩阵秩的方法 用初等变换将矩阵化为阶梯型矩阵 定理1 4 2两个同型矩阵A与B等价的充要条件是它们的秩相等 25 1 4初等变换与矩阵的秩 满秩 定义1 4 5设A为n阶矩阵 若r A n 则称A为满秩矩阵 反之为降秩矩阵 定理1 4 3满秩矩阵可经一系列初等变换化为单位阵 满秩矩阵的标准型为同阶单位阵 推论下列命题等价 A为n阶满秩矩阵 A En A 0 A是非奇异矩阵 26 1 5初等矩阵与逆矩阵 定义1 5 1对单位阵做一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵 三种初等行变换对应矩阵性质1 5 1初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵 性质1 5 2初等矩阵都是非奇异矩阵 性质1 5 3初等矩阵都是满秩矩阵 27 1 5初等矩阵与逆矩阵 定理1 5 1对m n阶矩阵A做一次初等行 列 变换 相当于用一个对应的m阶 n阶 初等矩阵左 右 乘矩阵A 定理1 5 2满秩矩阵可以表示成一组同阶初等矩阵的乘积 定理1 5 3两个m n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶满秩矩阵P以及n阶满秩矩阵Q 使得 A PBQ 28 1 5初等矩阵与逆矩阵 定义1 5 2设A为n阶方阵 若存在一个n阶方阵B满足 AB BA E则称A为可逆矩阵 B为A的逆矩阵 记为A 1 如果A存在逆矩阵 则其是唯一的 AB BA E AC CA E 则B EB CA B C AB CE C 29 定理1 5 4n阶方阵A可逆的充要条件是A为非奇异方阵 即 A 0 且 1 5初等矩阵与逆矩阵 性质1 5 4 1 若A可逆 则 2 若A可逆 则A 1也可逆 且 A 1 1 A 3 若AB E 则B A 1 4 若BA E 则B A 1 5 AT 1 A 1 T 6 若A可逆 且k 0 则kA也可逆且性质1 5 5初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的初等矩阵 求逆矩阵的方法 30 6 分块矩阵 定义1 6 1将矩阵A用若干纵横虚线分为若干小块矩阵 每一小块称为A的子块 或子阵 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵 31 A11A12A21A22 6 分块矩阵 运算 线性运算 A B分块方法相同 32 6 分块矩阵 运算 分块矩阵的乘法 33 其中Ai 1 s 的列数分别等于B 1 s j的行数 6 分块矩阵 运算 分块矩阵的转置 34 定义1 6 2设A为n阶方阵 若A的分块矩阵仅在主对角线上有非零子块 且非零子块都是方阵 即则称A为准对角阵或分块对角阵 6 分块矩阵 准对角阵 性质1 6 1 设 1 2 35 6 分块矩阵 准对角阵 3 4 其中m为正整数 36 第二章 n维向量 n维向量及其运算 定义 性质 向量组的线性相关性 相关 无关的定义 向量组的秩 极大无关组 秩的求法 向量空间 基 维数 坐标 向量组的正交性和正交矩阵 正交规范化 37 2 1n维向量及其运算 概念 定义2 1 1由n个有序的数组成的数组称为n维向量 简称为向量 38 n维行向量 n维列向量 第i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量称为复向量 2 1n维向量及其运算 概念 运算 39 2 1n维向量及其运算 概念 运算 2 2向量组的线性相关性 概念 定义2 2 1对向量 如果存在一组数使得 则称是向量的线性组合 或称可由线性表示 任一n维向量都是n维单位向量的线性组合 零向量可以由任何向量组线性表示 向量组中的任何一个向量都可以由原向量组线性表示 定义2 2 2设n维向量组 如果存在不全为零的数 使得 则称向量组线性相关 否则线性无关 41 2 2向量组的线性相关性 线性相关的判定 定理2 2 1向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示 定理2 2 2如果向量组线性无关 而向量组线性相关 则可由向量组线性表示 且表示法唯一 定理2 2 3若向量组线性相关 则向量组也线性相关 推论 线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关 42 2 2向量组的线性相关性 线性相关的判定 定理2 2 4m个n维向量线性相关的充要条件是矩阵A的秩r A n时 m个n维向量相关 推论2m个n维向量线性无关 r Am n m 推论3n个n维向量线性无关 所构成行列式不等零 43 2 2向量组的线性相关性 线性相关的判定 定理2 2 5若m个r维向量线性无关 则对应的m个r 1维向量线性无关 推论线性无关的r维向量组的每个向量添加n r个分量形成的n维新向量组线性无关 44 2 3向量组的秩 极大线性无关组 定义2 3 1设两个n维向量 若向量组 I 中每个向量都可由向量组 II 线性表示 则称向量组 I 可由向量组 II 线性表示 若向量组 I 与向量组 II 可以互相线性表示 则称向量组 I 与向量组 II 等价 等价 反身性 自身与自身等价对称性 I 与 II 等价 则 II 与 I 等价 传递性 I 与 II 等价 II 与 III 等价 则 I 与 III 等价 45 2 3向量组的秩 极大线性无关组 定义2 3 2如果向量组的一个部分向量组满足 1 部分向量组线性无关 2 原向量组可由部分向量组线性表示 则称此部分向量组为原向量组的一个极大线性无关组 性质说明 极大无关组的含义有两层 1无关性 2 极大性线性无关向量组的极大无关组就是其本身 向量组与其极大无关组等价 向量组只要有非零向量 就有极大线性无关组 同一向量组的极大无关组不惟一 但它们之间是等价的 46 2 3向量组的秩 极大线性无关组 定理2 3 1向量组线性无关 且可由向量组线性表示 则s t 推论1若向量组可由向量组线性表示且s t 则线性相关 推论2任意两个线性无关的等价向量组所含的向量个数相同 定理2 3 2一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量个数相等 47 2 3向量组的秩 向量组的秩 定义2 3 3向量组的极大无关组包含的向量个数称为向量组的秩 定义2 3 4矩阵的行向量组的秩为矩阵的行秩 列向量组的秩为矩阵的列秩 定理2 3 3矩阵的行秩等于其列秩 都等于矩阵的秩 向量组线性无关 秩 向量个数 推论 等价的向量组有相同的秩 48 2 3向量组的秩 向量组的秩 推论向量组线性无关 若可表示为 且r K s 则线性无关 且两个向量组等价 49 2 3向量组的秩 极大线性无关组的求法 根据定义求极大线性无关组 初等变换法 将向量组按列排放矩阵的形式 然后通过初等行变换化为阶梯型矩阵 求出矩阵的秩r 找出一个不为零的r阶子式 子式所对应行即为极大无关组 50 列摆行变换法 2 4向量空间 概念 定义2 4 1设V为非空向量集合 对任意以及任意实数k 都有 则称向量集合V是向量空间 向量空间 对线性运算封闭 51 定义2 2 4设有向量空间V及W 若 则称W为V的子空间 若 则称W为V的真子空间 2 4向量空间 基与维数 定义2 4 3向量空间V中 若存在m个向量满足 线性无关 V中任一向量都可由线性表示 那么就称为V的一个基 m称为V的维数 52 坐标求法待定系数法 矩阵方程法 初等变换法 53 定义1设有n维向量 令 x y x1y1 x2y2 xnyn x y 称为向 量x与y的内积 2 5内积的定义与性质 记作 x y xTy 54 1 x y y x 2 x y x y 3 x y z x z y z 4 x x 0 且当x 0时有 x x 0 设x y z为n维向量 为实数 则 根据内积定义可以证明内积有下列性质 55 二 向量的长度和夹角 1 长度的定义定义2 x 称为n维向量x的长度 向量的长度具有下列性质 2 长度的性质 令 56 1 非负性当x 0时 x 0 当x 0时 x 0 2 齐次性 x x 3 三角不等式 x y x y 当 x 1时 称x为单位向量 2 5向量组的正交性与正交矩阵 定义2 5 1若n维向量 与 的内积 为0 则称 与 正交 定义2 5 2若一组非零n维向量两两正交 则称向量组为正交向量组 定理2 5 1正交向量组线性无关 57 定义设a1 a2 ar是向量空间V V Rn 的一个基 如果a1 a2 ar两两正交 则称a1 a2 ar是V的一个正交基 定义设n维向量e1 e2 er是向量空间V V Rn 的一个基 如果e1 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 er是V的一个规范正交基 2 5向量组的正交性与正交矩阵 58 施密特正交化 正交规范化 59 综上所述 求向量空间V的一个规范正交基 的一个规范正交基 步骤3 把正交基b1 br单位化即得V 正交化 得正交基b1 br 步骤2 用施密特正交化过程把a1 ar 步骤1 求V的任意一个基a1 ar 可归为以下三步 2 5向量组的正交性与正交矩阵 定义2 5 4若方阵A满足ATA E 则A为正交矩阵 定理2 5 2方阵正交的充要条件是它的行 列 向量为单位正交向量 60 第三章 线性方程组 齐次线性方程定义及其解的性质有非零解的充要条件基础解系及其求法非齐次线性方程组线性方程组的相容性解的性质 有解的充要条件非齐次线性方程组的解法 求通解 61 3 1齐次线性方程组 62 齐次线性方程组 未知量 系数矩阵 方程的等价形式 3 1齐次线性方程组 63 如果使得方程组中的所有方程都成立 则为方程组的解 解向量 零解 平凡解 非零解向量 3 1齐次线性方程组 64 性质3 1 1设 1和 2是齐次线性方程组的两个解 则 1 2也是方程组的解 性质3 1 2设 是齐次线性方程组的解 则k 也是方程组的解 齐次线性方程组的全部解向量构成了一个向量空间 称为方程组的解空间 令也称为矩阵A的零子空间 方程同解 3 1齐次线性方程组 65 定义3 1 1若齐次线性方程组的有限个解设 1 2 n满足 1 1 2 n线性无关 2 方程组的每一个解都可由 1 2 n线性表示 则称 1 2 n为方程组的一个基础解系 所以 1 2 n的线性组合为方程组的通解或一般解 其中k1 k2 kn为常数 3 1齐次线性方程组 行最简矩阵 66 引理3 1 1设m n阶矩阵A的秩为r且A中左上角的r阶子式不为零 则A可以经过一系列初等行变换化为以下形式 行最简型矩阵 3 1齐次线性方程组 行最简矩阵 67 定理3 1 1若n元齐次线性方程组的系数矩阵 的秩为r n 则方程组有基础解系 且基础解系所含解向量的个数为n r 真未知量 对应单位子阵