ch06 数值积分.ppt

第6章数值积分 引入Newton Cotes积分公式变步长积分与Romberg求积公式Gauss求积公式数值微分 6 1引入 问题提出数值积分常见的几种求积公式代数精度 1 问题的提出 若f x 连续 则f x 存在原函数F x 据Newton Leibnits公式有 但是 很多情况下用此法求定积分有困难 F x 原函数 存在但求不出 F x 表达式很复杂f x 本身是一组离散的观测数据需要用数值方法计算定积分的近似值 2 数值积分 定积分的极限定义 设想 能否不求f x 的原函数 利用 1 去掉极限 并将 k取为具体的xk 数值积分公式In f 定义 是离散点处函数值的线性组合 即 Ak 求积系数 与f x 的形式无关 只与积分区间 积分节点有关 避免求f x 的原函数Xk 求积节点求积余项 截断误差 问题 如何评价一个求积公式的精度 如何确定求积系数Ak 使In f 精度越高 若xk可任意选择 取什么点好 3 常见的几种求积公式 中距公式 几何意义梯形公式 几何意义 Simpson公式 如何评价上述求积公式的优劣 例6 1 p189 4 代数精度 定义 若对所有不超过m次的多项式均精确成立 对至少一个m 1次多项式不精确成立 则称此求积公式 In f 数值积分 具有m次代数精度 即In f 对不高于m次的多项式f x 无误差代数精度越高 求积公式越好此定义验证麻烦 定理 求积公式具有m次代数精度的充要条件是 公式对f x xi i 0 1 2 m 精确成立 对f x xi 1不精确成立故有以下结论 此方程组为范德蒙行列式 故方程组有且仅有一解向量 解之即可确定求积公式 例1 考查 的代数精度例2 确定求积公式的系数Ai使之具有最高的代数精度思考 试确定一个至少具有2次代数精度的求积公式 积分公式的代数精度与积分节点个数的关系n 1个互异的积分节点xk k 0 1 n 则存在求积系数Ak 使得求积公式具有至少n次代数精度证明过程同于 前面充要条件的证明 6 2Newton Cotes公式 思想插值型求积公式的代数精度与截断误差Newton Cotes公式 等距节点的求积公式 截断误差 1 思想 已知一组节点 a x0 x1 xn b 及函数值f x0 f x1 f xn 构造求积公式的思想 用被积函数f x 的Lagrange插值函数Ln x 逼近f x 作定积分 近似f x 的定积分 因 故 求积系数 则数值积分公式为 2 插值型求积公式的代数精度与截断误差 1 截断误差 2 代数精度 f x 为任意次数小于等于n的多项式时 f n 1 x 0 R f 0 即In f I f 求积公式精确成立 插值型求积公式至少具有n次代数精度 若至少具有n次代数精度 则上式对任意n次多项式精确成立而是n次多项式故 所以 此即插值型求积公式 定理 插值求积公式的代数精度 求积公式 至少具有n次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 即 例题 p194 6 4 6 6例2 在区间 h h 上取节点 0 确定 及求积系数 构造代数精度尽可能高的求积公式 并确定其代数精度 3 等距节点的求积公式 Newton Cotes公式 1 构造 当a x0 x1 xn b是区间 a b 上的n等分点 插值求积公式 且 可做如下化简 故 Cotes系数 C n k 故积分公式为 为n阶Newton Cotes公式 等距节点的插值求积公式注 Cotes系数不仅与f x 无关 也与求积节点及积分区间 a b 无关 只与节点个数有关 故可先计算出Cotes系数 存放在Cotes系数表中 以备用 Cotes系数表 Cotes系数的性质 Cotes系数之和 1 即 C n k 1对称性 C n k C n n k k 0 1 n当n 8时 误差较大 故Cotes公式只用于n值较小的求积公式 2 Newton Cotes求积公式的代数精度 Newton Cotes公式的代数精度至少为n次 插值型 且当n为偶数时 公式的代数精度为n 13 几种低阶的Newton Cotes公式 N 1时 梯形公式 N 2时 抛物公式 Simpson公式N 4时 Cotes公式 将 a b 4等分 x0 a x1 b a 4 x3 a 3 b a 4 x4 b 4 截断误差 梯形公式的截断误差 Simpson公式的截断误差Cotes公式的截断误差 结论 梯形公式 Simpson公式 4阶Cotes公式的截断误差分别与区间长度的3 5 7次方成正比 故随着积分区间长度的扩大 误差将会增大如何解决 6 2 5复化求积公式 复化积分的思想复化中距求积公式复化梯形求积公式复化Simpson公式 1 复化积分的思想 T f S f C f 的截断误差分析知 求积区间 a b 越小 误差越小 区间越大 则误差越大增加插值多项式次数 n 8 时Cotes系数开始开始出现负数 可以证明Ln f f x 误差增大 相应的积分误差也大问题 如何提高积分精度 采用分段 低阶插值积分法 解决 把积分区间分成若干小区间 在各小区间上采用低阶求积公式 利用积分的区间可加性 把各区间上的积分加起来 得到复化求积公式对小区间的积分采用 T f S f C f 再累加 2 复化梯形公式 方法 将积分区间n等分 每等分区间长度为 h b a n在每个等分区间 xi 1 xi 上 采用梯形公式求小区间的数值积分累加 复化梯形公式的误差每个子区间上的误差 整个区间上的误差 若f x 的二阶导数连续 则 例题 用n 6的复化梯形公式计算积分 1 827655 4 复化Simpson公式 方法 将积分区间n等分 记子区间 xk xk 1 的中点为 xk 1 2在该子区间 xk xk 1 上采用Simpson积分 将各子区间的Simpson积分累加 复化Simpson公式的误差 例题 用的复化梯形公式计算积分 使绝对误差小于10 6 解 得 n 6 故用n 6等分的复化Simpson积分 解不等式 5 复化Cotes公式 积分区间n等分后 再将第k个子区间 xk xk 1 4等分 该内分点分别为 并对该子区间采用Cotes积分 则可推导出复化Cotes公式 例6 116 12 例 用复化梯形公式 复化Simpson公式计算 复化变步长梯形积分 复化变步长梯形积分公式 若将区间n等分达不到精度要求 则可将每个子区间再2等分 即整个区间2n等分 也即补上原来各子区间的中点处的函数值 故有 二分后新增节点 变步长Simpson积分当积分精度达不到要求时 可将各子区间再次2分为方便计算再次2分后的复化Simpson积分 先考查Simpson公式与梯形公式的递推关系 同理可得复化Cotes公式与复化Simpson公式的关系如下 6 4变步长积分与Romber公式 变步长复化积分的原理 计算定积分时 先确定初始步长h 按某种复化求积公式进行计算 如为达到精度要求则将步长折半 再次积分 反复进行至达到精度要求为止步长折半前后两次积分具有递推关系 复化Simpson公式可由T形公式二分前后两次的结果Tn T2n线性表出复化Cotes公式也可有Simpson公式再次二分前后两次的结果S2n S4n线性表出 问题 区间4n等分得到的复化Cotes公式仍然达不到精度要求 则需将区间8n等分 则Cotes公式二分前后两次的结果又可表示成什么呢 重复前面的推导过程 外推法 可得 此即Romberg公式Romberg公式是变步长T形公式3次外推的结果 3次2分 Romberg公式计算定积分的方法 将T形序列加工成Romberg序列Rn 以加快收敛速度若 R16 R8 则R16即为所求 否则继续求R32 示例 用Romberg积分法计算 要求精度为0 5 10 6 例2 已知函数的数据表为 分别用复化梯形公式 复化Simpson公式计算的近似值 6 5Gauss求积公式 补充 数值微分 定义 根据函