第一章 单调性与奇偶性.ppt

1 增函数与减函数 定义 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则函数f x 在区间D上是增函数 增函数图形 0 F x1 X1 X2 F x2 X Y 减函数图形 0 F x1 X1 X2 F x2 X Y 减函数定义 设函数f x 的定义域为I 对定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 则函数f x 在区间D上减函数 例题1已知y f x 与y g x 均为增函数 判断下列函数在公共定义域内的增减性 y 2f x y f x 2g x 解 在公共定义域内任取两个自变量x1 x2 设x1 2f x2 y 2f x 是减函数 在公共定义域内任取两个自变量x1 x2 设x1 x2 y f x g f x 均为增函数 f x1 f x2 0 g x1 g x2 0 f x1 2g x1 f x2 2g x2 f x1 f x2 2 g x1 g x2 0 f x1 2g x1 f x2 2g x2 y f X 2g x 是增函数 2 单调性和单调区间 定义 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数 就说这个函数在这个区间M上具有单调性 区间M称为单调区间 函数的单调性是函数在某个区间上的性质 这个区间可以是整个定义域 如y x在整个定义域 内是增函数 这个区间也可以是定义域的真子集 如y x 2在定义域 上不具有单调性 但在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 有的函数不具有单调性 如y 0 x为无理数 的定义域为R 但不具有单调性 再如y x 1 x z 它的定义域不是区间 也不能说它在定义域上具有单调性 利用函数的单调性可以比较函数值的大小 利用函数的单调性可以求参数的取值范围 做含有字母参数的题目 不能将字母看成正数 抽象函数的单调性 1 x为有理数 3 函数单调性的证明及判断 1 函数单调的证明证明函数的单调性只能用定义证明 其步骤为 取值 设x1 x2为该区间内任意的两个值 且x1 x2 作差变形 作差f x1 f x2 并通过通分 因式分解 配方 有理化等方法 向有利于判断差值符号的方向变形 重点 定号 确定差值符号 当符号不确定时 可考虑分类讨论 较复杂 判断 根据定义做出结论 例题1证明函数f x x在定义域上是减函数 解析 F x x的定义域为 0 设0 x1 x2 则x2 x1 0 且f x2 f x1 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x20 f x2 f x1 0 即f x2 f x1 f x x在它的定义域 0 上是减函数 2 函数单调性的判断方法 图像法 先作出函数图象 利用图像直观判断函数的单调性 直接法 就是对于我们所熟悉的函数 如一次函数 二次函数 反比例函数等 直接写出它们的单调区间 利用复合函数的单调性的判断法则 常用结论 3 常用结论 函数y f x 与函数y f x 的单调性相反 函数f x 与f x C C为常数 具有相同的单调性 当C 0时 函数f x 与Cf x 具有相同的单调性 当C 0时 它们具有相反的单调性 若f x 0 则函数f x 具有相反的单调性 若f x 0 则函数f x 与 f x 具有相同的单调性 对于函数f x g x 可以总结为 增 增 增 增 减 增 减 减 减 减 增 减 当函数f x 和g x 的单调性相同时 复合函数y f g x 是增函数当函数f x 和g x 的单调性相反时 复合函数y f g x 是减函数 1 简称为 同增异减 4 函数的最大 小 值函数最大值的定义 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对于任意的x I 都有f x M 存在xo I 使得f xo M那么 我们称M是函数y f x 的最大值 将 f x M 改为 f x M 把最大值改为最小值 就是函数f x 的最小值的定义 常结合单调性求最值 例题3求函数f x x 1在区间 2 5 上的最大值与最小值 解 任取2 x10 x1 1 0 f x2 f x1 0即f x2 f x1 f x x 1在区间 2 5 上是单调减函数 f x 最大值为f 2 2 最小值为f 5 1 25 x x2 x1 x1 x2 x 5 奇偶性 偶函数如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 奇函数如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 奇偶性如果函数f x 是奇函数或偶函数 那么就说函数f x 具有奇偶性 例如函数y x 2在区间 是偶函数 但在区间 1 2 不关于原点对称 上却无奇偶性可言 函数奇偶性必不可少的条件是 定义域在数轴上所示的区间关于原点对称 否则就不具有奇偶性 奇偶函数图象的性质 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形 反之 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 重点 图解 x y x y 0 0 如果一个函数是偶函数 则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 则这个函数是偶函数 图解 x y x y 例题4判断下列函数的奇偶性 f x x 1 f x x 3 2x 解 函数的定义域为 不关于原点对称 所以f x 既不是奇函数也不是偶函数 函数的定义域为R F x x 3 2 x 2x x 3 f x 所以f x 是奇函数 2x 2 2x x x 1 函数奇偶性的判断 定义法 判断f x 与f x 的关系 图像法 是否关于原点或y轴对称 性质法 两个奇函数的和仍为奇函数两个偶函数的和仍为偶函数两个奇函数的积是偶函数两个偶函数的积是偶函数一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数 注意 上述的函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上 选择题的快速判断 例题5已知f x 4 x 2 是 A奇函数B偶函数C既奇又偶D非奇非偶例题6下列说法中 不正确的是 A图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B奇函数的图象一定经过原点C偶函数的图象若不经过原点 则它与X轴交点个数一定是偶数D图象关于y轴对称的函数一定是偶函数 3 x 3 B A 例题7函数f x 是定义域为R的奇函数 当X 0时 f x x 1 求当x0 将 x带入f x x 1式子中 得f x x 1 f x 是定义在R上的奇函数 f x f x 即f x f x x 1 当x 0时 f x