二节 几何教学的案例.docx

二节 几何教学的案例下面我们以几何教学为例，通过案例，看一看关于围绕推理与证明能力培养的一些问题。“等腰三角形的性质”（26分16秒的视频材料）的课堂实录片断。教学过程设计问题与情境师生行为设 计 意 图情境导入：观察下列图片，你发现这些图片中的几何图形有什么特点？复习提问：1、 叫做等腰三角形。2、如图1，在ABC中，AB=AC则ABC中 三角形，是腰， 是底边;是顶角，是底角。实践探究：1、什么叫等腰三角形？知道等腰三角形你能得到什么结论？2、等腰三角形还有别的特点吗？请同学们通过动手折叠等腰三角形（纸片）进行探究。3、说说你的发现。并向大家展示一下，你是怎样发现这个结论的？4、同学们通过实践得到的结论是不是等腰三角形的性质？为什么？5、如何证明？6、猜想：（1）等腰三角形的底角是什么关系？（2）折痕是等腰三角形中的什么线段？看图，观察思考回答。完成学案第一题。学生动手折叠等腰三角形对等腰三角形性质进行探究。对折叠等腰三角形出现的种种现象进行观察，思考，归纳、猜想。回答问题，并简述理由。有实际生活引出等腰三角形，激发学生的求知欲望。 激发学生的学习兴趣，问题分层设计，满足不同层次学生的需求。通过动手，加深学生对知识形成过程的理解，发展学生的思维能力、动手操作能力和数学语言表达能力。激发学生的求知欲，培养学生的探索意识和创新精神性质证明性质1：等腰三角形的两个底角相等。1、分析命题的条件、结论。A结合图形写出已知、求证。CB思考：（1）证明两个角相等的方法有哪些？（2）在实践与探究中，你是如何得到等腰三角形两个底角相等这个结论的？ （3）在这道题中，通过什么方法证明两个角相等？（4）如何把这个等腰三角形转化为两个全等的三角形？（5）怎样作辅助线？2、小结证明过程，指出辅助线的作法不唯一性，提示这个定理还能不能通过别的方法来证明，留作课下练习。3、性质定理的符号语言强调：“等边对等角”指的是在同一个三角形中。性质2：（三线合一）1、结合定理证明过程，帮助学生证明“三线合一”的性质。2、结合图形，讲清条件、结论。3、帮助学生掌握“三线合一”的符号语言。A4、课件验证，强调“三线合一”是在等腰三角形中。等腰三角形性质的应用试一试：CB1.如图在ABC中EDAB=AC（已知） = （ ）学生思考，回答问题。总结所学知识，回顾实践与探究的过程，寻求定理的证明方法。由一名学生口述定理证明过程，教师板书。结合图形，掌握定理的符号语言。证明“三线合一”的性质。看课件演示，加深对“三线合一”性质的理解。 结合图形，积极思考，回答问题。分析并实践例题加强知识形成过程的教学，不断完善知识体系，教给学生分析问题的方法。引导学生把实践操作与逻辑证明结合起来，培养学生从实践中获取知识的能力。注重对一题多解的练习，为学习基础较好的学生留出发展的空间。逻辑证明加上课件演示，帮助学生完成了由特殊到一般这一认识过程，加深学生对知识的理解。1题短小灵活，是对所学知识的直接应用，照顾了学习有困难的学生。在ADE中AD=AE（已知） = （ ）ADB=AEC( )2.等腰三角形的顶角等于40，则它的每个底角等于 。3.等腰三角形的一个底角等于80，则它的顶角等于 。4.等腰三角形的一个角等于40 ，则它的顶角等于_.5.等腰三角形的一个角等于100 ，则它的每个底角等于 . 等腰三角形性质应用（分层测试）学生完成分层测试。教师边巡视，边指导，边批改。反馈学生完成分层测试的情况，及时进行讲解。课后小结：1、我们这节课学习了什么知识？2、我们是怎样发现等腰三角形性质的？3、通过本节课的学习，你有哪些收获？附： 学案（等腰三角形 ）完成练习，并口述理由。完成分层测试。根据问题进行小结。反思学习过程，抓住重点，加强理解，不断地总结并完善知识体系。加强师生间的沟通，树立成功者的自信。练习分层设计，照顾不同层次学生的发展为学习较好的学生留出发展的空间。通过分层测试使学生掌握等腰三角形的性质，并能初步运用。满足不同学生的需求，促进全体学生健康发展。帮助学生反思学习过程，使学生树立成功者的自信。分析：这是一节传统内容的课。谷老师也是有着19年教龄的老教师。可以说课上得非常流畅。教师经验丰富，能够很敏锐地发现学生思维上的特点。我想问几个问题，就是您是1您是如何对待新课程中传统几何内容的处理方式的？2结合这个案例，请您谈一谈在初中阶段培养学生的推理与证明能力的主要困难是什么？ 案例2：北京市十一学校，葛莉老师的“地板砖的奥秘”（17分57秒的视频材料）的课堂实录片断。教学设计设计思路创设情境 直奔主题生活中，在许多地方，我们都可以看到由各种各样的多边形拼出的漂亮的、多姿多彩的图案，其中隐藏着许多数学奥秘。这节课我们运用所学过的数学知识，探索其中的奥秘。展示学生收集到的一些精美的图案，观察拼装的特点。学生通过观察与讨论可知：选择不同的多边形按照一定的拼装要求，就可拼装出丰富多彩的图案。提出拼装具体要求：任意两块图形不能重叠，也不能留有空隙；而且，多边形的顶点只能与顶点重合。生活中最常见的是用正多边形拼装的，因此我们从正多边形开始研究。从实际生活入手，设计问题情景引发学生的思考与对本节课的兴趣， 使学生感受到生活中处处有数学，思考将现实问题数学化的过程，体验到数学的应用价值，使学生学会用数学的眼光看待多姿多彩的世界实践探索师生互动探求奥秘一拼一拼（动手）： 某广场要铺设地砖，请你根据已有知识，帮助设计按要求的铺设方案。 限用一种正多边形； 用两种正多边形组合拼装。学生四人一组分工合作，按要求拼装。二想一想（动脑）： （）为什么有的图形能铺满地面，有的图形却不能？究竟有什么规律呢？ （）如果只用一种正多边形，能否铺满地面的关键是什么？哪几种正多边形能铺满平面？能用数学知识解释吗？ （3）以正方形和正三角形组合拼图为例，引导学生思考：围绕一点周围有几个正方形和正三角形？（分别有三个正三角形和两个正方形）对于正多边形个数能用数学方法分析推导出来吗？先独立思考，然后小组进行交流、讨论，在交流中达成共识。三问题解决（交流）： （）围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形。（）用规律验证刚才的拼装结果：正三角形，在每一个顶点处应有36060=6个正三角形。正方形的每一个内角是90，因此在每一个顶点处应有36090=4个正方形。正六边形的每一个内角是120，因此在每一个顶点处应有360120=3个正六边形。正五边形的每一个内角是108，不存在正整数n，使n?108360成立，所以用正五边形不能拼出符合要求的图案。用一个数学表达式概括结论：正多边形个数正多边形内角度数=360?（）如果只用一种正多边形铺地板，能否铺满地面的关键是正多边形内角的度数是否是360?的约数。用相同的正多边形拼地板只有三种情形：正三角形、正方形、正六边形。（）用两种不同的正多边形拼：正多边形1个数正多边形1内角度数+正多边形2个数正多边形2内角度数=360?正多边形个数能用数学方法分析推导出来，即把实际问题转化为寻求二元一次方程的正整数解的问题给学生一个探索的空间，使学生能够真正地的在“做”中学数学，在做的过程中，注重学生经历了知识的形成过程、注重学生的探究学习过程，体现了学生的主体作用。认识由感性上升到理性。有效的学习不再是单纯的模仿和记忆，而是一个主动实验、积极思考、踊跃交流和富有个性的过程。在实验、交流、讨论、说理，构建模型的过程中，重点得以突出，难点得以突破引导学生用所学过的方程的知识解决这个问题思维拓展引发思考前面我们探究了用一种或两种正多边形铺地板的问题，还可以研究什么问题呢？，还可以考虑用三种不同的正多边形、用四种不同正多边形铺地板还可以从特殊到一般提出新问题：用一种任意多边形能否铺满整个平面？更上层楼（课后探究作业）：你能设计出用三种，甚至四种不同的正多边形地砖铺满地面的方案吗？由四种不同的正多边形不能铺满地面因为边数最少的四种正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角分别为60，90，108，120，它们的和为378，超过了360用形状、大小都一样的一种任意多边形能否铺满整个平面？如果能，怎样设计？“欲穷千里目，更上一层楼”。研究了用正多边形铺地板，再探索用非正多边形能否铺地板？怎样设计？是由特殊到一般的思维扩展，将学生引入更高层次的知识境界。欣赏图案激发创造欲望在实际生活中还有许多丰富多彩的图案是由不规则的基本图形拼成的欣赏几幅精美的拼图 它们是怎么铺就而成的呢？乍一看上去，这些图案令人眼花缭乱，其实都是由常规的基本图形变换而成的 演示变换过程欣赏美丽的镶嵌图案，将潜移默化的美学教育推向一个新的高潮。师生共同小结通过本节课的研究，交流，有什么收获和体会？1增长知识；学习方法：实验是发现数学规律的重要方法；数形结合的解决问题的方法（数缺形时少直觉，形少数时难入微）；从特殊到一般可以发现提出新问题；3感受过程（数学的美，数学的应用，合作探究的愉快）问题：1这节课的教学目标是什么？2这样的教学设计体现了新课程改革的什么理念？现在新课程中增加了变换几何的内容，怎样设计类似这样的教学，经常是教师面临的新问题；同时，我们在第三个专题中谈到信息技术已经被教师普遍地应用于数学教学，这在一定程度上降低了数学学习的难度，有利于更多的学生建立起数学学习的自信。下面我们再看一个案例：案例3 ：北京市昌平五中，刘海燕老师的“旋转过程中的规律探究” （20分57秒的视频材料）的课堂实录片断。教学过程设计问题与情境师生行为设计意图一引入：出示两幅图片，让学生找不同的地方二：探究规律活动1：认真观察，发现规律教师出示问题（1）：把一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板绕正方形中心旋转观察它们重叠部分的面积，你有什么发现?问题：（2）如果这个正方形的边长为a，那么重叠部分的面积是多少？(3)写出所得结论的证明过程归纳：1遇到不规则图形的问题时，常常利用添加辅助线、旋转或割补的方法转化成规则图形2 要善于观察，在变中寻找不变元素二推广活动2：展开联想，推广结论教师出示问题：非得绕正方形旋转吗？学生先观察静止状态，想象扇形转动的情况教师利用几何画板演示动态过程，学生观察，找出规律教师在演示过程中，注意让学生观察特殊位置学生回答小组讨论证明方法，叙述后进行证明找一个到两个学生的证明进行展示教师引导学生总结教师强调正方形的特点，边等角等。学生思考，找出和正方形相关的图形：正三角形，正五边形等正多边形教师用几何画板演示圆心角为直角的扇形纸板绕正三角形中心旋转时的情况，通过度量面积的方法否定结论吸引学生的注意力，激发学习兴趣培养学生想象能力为下面的证明做铺垫体现小组间的合作互助体现特殊到一般的推广教学过程设计问题与情境师生行为设计意图追问：这时的面积不等，那有没有可能改变一下条件就相等了呢？问题：圆心角为多少度的扇形纸板绕正五边形中心旋转时它们重叠部分的面积相等，是正五边形面积的多少？猜想结论：把扇形纸板绕正n边形中心旋转时，如果扇形的圆心角等于正多边形的中心角时，正n边形被纸板覆盖部分的面积等于正方形面积的1/n.总结：1从特殊情况入手，注意从特殊到一般的推广2学习知识要有拓展意识三探究实践若把圆心角为直角的扇形纸板绕正方形中心旋转时正方形的边被纸板覆盖部分有什么特点？四小结学生谈收获五作业：1你能用一条直线把一个矩形分成相等的两部分吗？2一块方角形如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分.学生小组讨论，得出探究结果教师用几何画板进行面积度量学生叙述证明方法，注意抓住特殊位置学生思考并回答学生进行结论猜想小组合作探究注意结论的推广培养学生的探究意识培养学生归纳概括能力巩固所学知识提高学生的探究意识问题：1本节课的重点是什么？2旋转的作用是什么？3怎样在几何教学中引导学生探究规律？4如何更高效地使用几何画板所制作的课件？案例4：北京市十一学校，龙文中老师的“相似三角形的应用”（21分18秒的视频材料）的课堂实录片断。教学设计：问题提出：我们学校的旗杆给同学们或来访者留下了深刻的印象，你能应用所学的知识来测量它的高度吗？一、准备阶段。本节课的主要任务是通过测量旗杆的高度，培养学生学数学的兴趣和用数学的意识。探讨测量的方法。1活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度。2活动方式：分组活动、全班交流研讨。3学生准备：有关用具（小镜子、标杆、皮尺、计算器等）；预习课本；通过咨询家长、老师或上网、查阅资料等方式获得书本以外的测量方法。4教师准备：老师事先向学生提前说明活动的目的、意义、活动要求（特别提出安全要求）。5具体要求：(1) 分组、分工：67人为一组，自由组合。各组自选组长，定时间、落实工具、测量员、记录员；(2) 小组集体讨论、进行方案设计。(3) 活动实施（利用课外时间进行户外的实际测量。这个过程小组自己定时间完成）(4) 收集数据，分析数据，通过计算得出结论（并制作成课件）。二、小组汇报（课堂展示）【学生活动】各组指派代表上台汇报。【教师活动】组织汇报并随时评价，收集案例，总结归纳测量方法,进行有机的渗透和拓展。三、课堂小结：【活动评价】(学生自我评价自己与他人):1本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)？2在运用科学知识进行实践过程中,你具有了哪些能力?你是否想到最优的方法？3把自己在与同伴合作交流中, 最满意的表现说给大家听听.4你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？四、活动引申（课外思考）“一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程”请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高。五、课后作业：选择您认为最简单、最适用的方法测量校园内的其中一棵大树的高度。 【结束寄语】数学源于生活,又反过来服务于生活.如果你无愧于数学,那数学就可以助你到达胜利的彼岸.问题：1本节课与传统相似三角形教学的区别是什么？2在这个片断中对学生解决问题的不同方法，您有什么看法吗？3关于这个教学设计，您认为还需要怎样改进将会更好地体现新课程对几何教学的新要求？初中数学的推理与证明的案例1发现问题和解决问题的教学案例 案例1-4：探索规律 发现问题：与同伴交流，探索日历中所框的9个数中，中间数与余下的其他若干数的和的倍数关系是什么？案例引入的目的是让学生体验“分类”处理问题的过程，在学习代数式表示数量关系的基础上，尝试用合并同类项、去括号等法则验证所得到的规律。提出问题和解决问题：让学生思考，日历图的套色方框中的9个数与该方框正中间的数有什么关系？这些关系在任何一年任何一个月都成立吗？你有什么依据？这些问题对部分同学来说，存在一定的难度，但是，教师应该鼓励有兴趣的学生在课后继续解决。根据学生回答问题、掌握知识的具体情况提出以下问题：日历图的套色方框中的9个数与该方框正中间的数有什么关系？这些关系在任何一年任何一个月都成立吗？你有什么依据？这些问题对部分同学来说，存在一定的难度，但是，教师应该鼓励有兴趣的学生在课后继续解决。案例分析本节的活动充分发挥学生的主体作用，利用日历创设的实际情境，激发学生的学习兴趣，使课堂充满生机。通过对数学内部和外部简单关系的探索，让学生在进行实际操作、收集、分析数据、表示规律，并用规律进行计算和推测的过程中，初步学会用字母与代数式表示事物之间的数量关系或变化规律；通过解决问题，发展符号感，增长学生对知识价值的认识，培养他们的创新意识、合作精神和实践能力。2数学推理能力的教学案例 案例1-5：探索规律 将一张长方形的纸对折可得到一条折痕继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行.连续对折六次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？长期以来，中学数学教学一直强调教学的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。波利亚等数学教育家认为，演绎推理是确定的、可靠的；合情推理则带有一定的风险性，而在数学中合情推理的应用于与演绎推理一样广泛。标准要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”培养学生的推理思维习惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，教师在教学中既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉探索性和发现性，充分发挥课堂教学的作用，通过几何、数与代数、概率与统计、实践与综合应用等教学活动来训练：第一，创设情境，引导学生观察。推理并非盲目的、漫无边际的胡乱猜想，它是以数学中某些已知事实为基础，通过选择恰当的复习结构材料创设情境，引导学生观察。欧拉曾说过：“数学这门学科，需要观察，还需要实验。”观察是人们认识客观世界的门户，观察可以调动学生的各种感官，在已有知识的基础上产生联想，通过观察还可以减少猜想的盲目性。同时，观察力也是人的一种重要能力，所以在教学中要给学生必要的时间和空间进行观察，培养良好的观察习惯，提高观察力。如下述例题:按下图方式摆放餐桌和椅子：(1)1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐 人.(2)按上图方式继续排列餐桌，完成下表：桌子张数3456n可坐人数第二，精心设计实验，激发学生的思维。高斯曾提到过，他的许多定理都是靠实验、归纳发现的，证明只是补充的手段。在数学教学中，正确地恰到好处地应用数学实验，也是当前实施素质教育的需要。著名的数学教育家波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面是欧几里德式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但是另一方面，在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳科学，”从这一点上讲，数学实验对激发学生的创新思维有着不可低估的作用。数学理论的抽象性，通常都有某种“直观”的想法为背景。作为教师，就应该通过实验，把这种直观的背景显现出来，帮助学生抓住其本质，了解它的变形和发展及其它问题的联系。数学实验是帮助学生理解和巩固数学知识的一种有效方法。学生在实验时要将课本知识与眼前现实结合起来，将实验中获得的感性认识，通过抽象思维得到对概念、定理的深入理解。第三，仔细设计问题，激发学生猜想。数学猜想是数学研究中合情的推理，是数学证明的前提。只有对数学问题的猜想，才会激发学生解决问题的兴趣，启迪学生的创造思维，从而发现问题、解决问题。数学猜想是在已有数学知识和数学事实的基础上，对求知量及其规律做出的似真判断，是科学假说在数学的体现，它一旦得到论证便上升为数学理论。牛顿有一句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”数学家通过“提出问题分析问题检验证明”，开拓新领域，创立新理论。在中学数学教学中，许多命题的发现、性质的得出、思路的形成和方法的创造，都可以通过数学猜想而得到。通过猜想不仅有利于学生牢固地掌握知识，也有利于培养他们的推理能力。第四，利用类比探讨，加深知识理解。类比推理是思维过程中由特殊到特殊的推理，是合情推理的主要形式之一，类比是对知识进行理线串点的一种手法。对于相互有联系的命题进行类比分析，有利于学生对问题的更深层次的认识，更有利于学生对问题规律的探寻。以问题和条件，题型结构或题设结论为思维起点，应用类比的方法，分析其与已有的认知结构中具有的相似特征，然后猜想其解题思维上的类似之处，从而解决问题。第五，利用数学归纳，巩固从特殊到一般的思维。归纳推理是思维过程中从特殊到一般的推理，也是合情推理的主要形式之一。勾股定理的发现都是应用归纳推理的典型例证。在学习运用归纳的过程中，学生才不断地体会到“分析”、“假设”、“结论”等多种数学环节。此外，用数学归纳法来证题，也有助于训练学生用数学符号表达自己的数学思想。第六，利用演绎证明，揭露蕴涵性质。演绎推理又称论证推理，是思维过程中从一般到特殊的推理，其前提和结论间具有蕴涵关系，是必然性推理。它的每一步推理都是可靠的、无可置疑和终决的，因而可以用来肯定数学知识，建立严格的数学体系。把一般结果应用到特殊中，能为归纳、类比等得到的猜想加以证实，从而培养学生的推理能力。逻辑推理和合情推理是数学思维的两翼，两者相辅相成，互相补充，缺一不可。从功能上来看，逻辑推理是论证的手段，合情推理是“发现”的工具；从阶段上来看，合情推理是逻辑推理的前奏，逻辑推理是合情推理的升华；逻辑推理能力越强，合情推理就越活跃，推理结果也越可靠，因此也可以说逻辑推理是合情推理的基础。正如数学教育大师玻利亚所说：“我们靠论证推理来肯定我们的数学知识，而靠合情推理来为我们的猜想提供依据。”演绎法被广泛用来建立定理命题和证明推论的正确性，先前已证明的结论、事先做出的假设或设定的概念等都可以直接用来推证新的结论。应当指出培养学生的演绎推理能力不仅要注意层次性，而且要关注学生的差异性。如“用火柴棒按下图方式搭三角形”的第二问，并不是每个学生在教师的引导下都能够总结出规律的。用火柴棒按下图方式搭三角形：(1)填写下表：三角形个数12345火柴棒根数(2)照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？要使每一个学生都能体会证明的必要性，从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求，克服“为了证明而证明的盲目性；又要注意推理论证量的控制，以及要求的有序、适度”。1.1等腰三角形的性质和判定（1）学习目标 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。重点、难点 等腰三角形的性质及其证明。学习过程一、知识回顾：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。1、用的过程，叫做证明。经过称为定理。2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）;（2）;（3）.3、推理和证明的依据有哪几类？、。4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。此外，还有和也都看作是基本事实。5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。二、情景创设：以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题：1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）2、等腰三角形有哪些性质？；。3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？。三、探索活动：1、合作与讨论 证明：等腰三角形的两个底角相等。2、思考与讨论 怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。定理：，（简称：）定理：，（简称：）4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？（请完成下表）文学语言图形符号语言等边对等角在ABC中；。三线合一在ABC中，ABAC（1）BADCAD，。（2）BDCD，。（3）ADBC，。5、思考与探索如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？要求：（1）写出它的逆命题：。 （2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：。四、体会与交流1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。（1）；（2）；（3）。2、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性。 课题：1.1等腰三角形的性质和判定（2）学习目标在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。学习过程一、知识回顾上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。等腰三角形性质定理：（1）；（2）。等腰三角形判定定理：。二、典例分析1、已知：如图EAC是ABC的外角，AD平分EAC，且ADBC。ABCDE求证：ABACABCDE2、在上图中，如果ABAC，ADBC，那么AD平分EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？ABCDE3、在上图中，你还能得到其他的结论吗？与同学交流。三、思考与交流1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”）2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60。（2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 四、体会与交流本节课，我们又证明了哪些定理？（请写出来）你掌握了吗？ 课题：1.2直角三角形的全等判定（1）学习目标 掌握了直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明方法。重点、难点 1、直角三角形的判定定理。2、直角三角形和其它相关知识的证明方法。学习过程一、知识回顾我们已经学习过有关直角三角形的相关知识和全等三角形的判定方法，请你写出这些定理。直角三角形的定义：；全等三角形判定定理：（1）。简写（ ）（2）。简写（ ）（3）。简写（ ）（4）。简写（ ）二、情景创设：1请大家要求作图：（同桌各作一个，别一个同学用表示，以示区另，其它相同）画PCQ在射线CP上取线断CA4厘米，画弧交射线CQ于B使AB5厘米。连接AB2请同桌之间所画直角三角形是否全等？由此得到什么结论？三、典例分析 1、证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“H L”）已知，在ABC和ABC中，ACB=ACB=90，AB= AB，AC= AC，求证：ABCABC图（1）图（2）2.如图，在ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BDDE于D，CEDE于E（1）若BC在DE的同侧（如图）且AD=CE，说明：BAAC（2）若BC在DE的两侧（如图）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由 三、思考与交流在上面的图（2）中，如果BAC=30，那么BC=AB吗？并用文字语言叙述出来。四、随堂练习如图，在ABC和ABD中，C=D=90，若利用“AAS”证明ABCABD，则需要加条件 _或 ； 若利用“HL”证明ABCABD，则需要加条件 或 1. 如图在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且DEDF，求证ABC是等腰三角形。3 如图ADDB，BCCA，AC、BD相交于点O，如果ADBC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明。（DBAC就不要证明了）五、体会与交流本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？分解组合将困难问题转化为可行性问题（转化思想） 课题：1.2直角三角形的全等判定（2）学习目标 运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。重点、难点1、角平分线的性质和判定。2、角平分线的性质和判定的证明和运用。学习过程一、知识回顾我们已经学习过有关直角三角形全等的判定方法，请你写出这些定理。直角三角形全等的判定定理：定义：；（1）。简写（ ）（2）。简写（ ）（3）。简写（ ）（4）。简写（ ）（5）。简写（ ）二、典例分析1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。思考与表达：怎么想 怎么写 要证PD=PE 只需证PODPOE 已知POD=POE OP=OP 只要证PDO=PEO已知，OC是AOB的平分线，点P在OC上PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，求证：PD=PE2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知，如图，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证：点P在AOB的平分线上。三、思考与交流1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？（反证法）2、如图，ABC的角平分线AD、BE相交于点O，点O到ABC各边的距离相等吗？点O在C的平分线上吗？定理：三角形的3条角平分线交于一点。四、随堂练习1、如图在ABC中，C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC求B的度数。2、(2004四川)如图，已知点C是AOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。 OCP= OCP ； OPC= OP C；PC=PC ；PP OC3、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 五、体会与交流本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？课题：1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）时间：2007.8课型：新授 执笔：周铭 审核：周铭 班级 姓名 总 课时 第 5 课时学习目标 1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力教学重、难点 重点：平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性难点：分析 综合 思考的方法教学过程一、情境创设根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表：平行四边形矩形菱形正方形对边平行对边相等四边相等对角相等4个角是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直两条对角线平分两组对角从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？如图，图中有_个平行四边形。二、合作交流活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么?活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AO=CO，BO=DO思考与表达怎样想 怎样写要证AO=CO，BO=DO只需证AOBCOD只需证AB=CD只需证ABCCDA由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理： 平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。三典型例题：例1 ：已知：如图， ABCD中，E、F分别是DC、AB的中点。求证：AE=CF若将例1中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE=AD，CF=BC”，是否还能得到同样的结论？例2、 证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。例3如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交于AD点E求证：(1)CDEFAE(2)当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：F=BCF点评： 平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段、相似三角形创造了条件，也就为利用相似解决问题带来了方便. 四、小结：1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。3、平行线之间的距离处处相等。 课题：1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）时间：2007.8课型：新授 执笔：周铭 审核：周铭 班级 姓名 总 课时 第 6 课时教学目标：1.使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决有关问题,进一步培养学生的逻辑推理能力。 2. 能将矩形的判定定理和性质定理综合应用,激发学生的探索精神教学重点：矩形的本质属性教学难点：矩形性质定理的综合应用教学过程：一、知识回顾：1、 _叫矩形，(八上P117)由此可见矩形是特殊的_因而它且有上节课我们证明过的平行四边形性质_这三个性质 。2、证明： 矩形的四个角都是直角 如图：已知_求证：_ 图形：画在下面方框内2、 证明 ： 矩形对角线相等如图：已知_求证：_ 图形：画在下面方框内二、探索活动：如图 矩形ABCD，对角线相交于E，图中全等三角形有哪些？准备说说看。将目光锁定在RtABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质 吗？现在我们借助于矩形来证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。”（如何证明？）例1图例1 、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.求证：AOB是等边三角形 本题若将“AC=2AB”改为“BOC=120”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？ 例2、如图 在矩形ABCD中，BE平分ABC，交CD于点E，点F在边BC上， 如果FEAE，求证FE=AE。如果FE=AE 你能证明FEAE吗？练习：1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD120，AB4cm，求矩形对角线的长？2、如图 BD，CE 是ABC的两条高，M是BC的中点，求证 ME=MD 四、小结从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。课题：1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）时间：2007.8课型：新授 执笔：周铭 审核：周铭 班级 姓名 总 课时 第 7 课时教学目标 1、会归纳菱形的特性并进行证明；2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性教学重、难点 重点：菱形的性质定理证明难点：性质定理的运用 生活数学与理论数学的相互转化教学过程：一、 情境创设1将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形