《高等数学》第06章 向量代数与空间解析几何习题详解.doc

第六章 向量代数与空间解析几何习题详解第六章 向量代数与空间解析几何习 题 6-11、在平行四边形ABCD中, 设=a, =b. 试用a和b表示向量、, 其中M是平行四边形对角线的交点. 解： 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a+b, 即 -(a+b), 于是 (a+b). 因为, 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a). 由于, 所以(a-b). 2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证： ,，与 平行且相等, 结论得证.3、 求起点为，终点为的向量与的坐标表达式.解：=, =4、 求平行于=1，1，1的单位向量.解：与平行的单位向量为.5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ 解： A:; B:; C:; D:.6、 求点与轴，平面及原点的对称点坐标.解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）.解：分别为.8、过点分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z轴的直线上面的点的坐标：；平行于xOy面的平面上的点的坐标为 .9、求点P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为，到x轴的距离为，到y轴的距离为,到z轴的距离为.10、 求证以、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：,，即，因此结论成立.11、 在yoz坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标.解：设yoz坐标面所求点为，依题意有，从而，联立解得，故所求点的坐标为.12、 z轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点.解：设所求z轴上的点为，依题意：，两边平方得，故所求点为.13、 求使向量与向量平行.解：由得得.14、 求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式.解： =.15、求与向量=1，5，6平行，模为10的向量的坐标表达式.解：,故 .16、 已知向量，试求：（1）； （2）解：（1） ;（2）.17、已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角解： 因为, 所以,从而,.18、设向量的方向角为、若已知其中的两个角为，求第三个角解： ,由得.故或.19、 已知三点，求：（1）与及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）与同向的单位向量.解：（1）由题意知故 .（2）因为所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：，方向角为：.（3）与同向的单位向量为：.20、 设在x轴上的投影和在y轴上的分向量.解：.故向量在x 轴上的投影，在y轴上的投影分量为.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A的坐标.解：设点A为（x, y, z）,依题意有：， 故，即所求的点A（-5， 4，-12）.22、 已知向量的两个方向余弦为cos= ,cos=, 且与z轴的方向角是钝角.求cos.解：因，又是钝角，所以.23、设三力作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解： 合力，因此，合力的大小为合力的方向余弦为因此习 题 621、 ，求，及，.解：依题意，故，.，.2、 ，求及 .与的夹角余弦.解：（1）, .3、 已知 ，求解：， .4、 证明下列问题：1）证明向量与向量垂直. 2） 证明向量与向量垂直.证：1）,，即与垂直.2） .5、 求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与、轴之间的夹角分别为，则, . , , .6、 求与平行且满足的向量.解：因, 故可设，再由得，即，从而.7、求与向量，都垂直的单位向量.解：， 8、 在顶点为、和的三角形中，求三角形的面积以及边上的高.解：,三角形的面积为 9、 已知向量，证明.解 10、 证明：如果，那么，并说明它的几何意义.证： 由, 有, 但，于是,所以.同理 由, 有 ,从而 .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、 已知向量和，计算下列各式：（1） （2） （3） （4）解： （1）.(2) ，故.（3）.（4）由（3）知.习 题 631、已知，求线段的垂直平分面的方程.解：设是所求平面上任一点，据题意有化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则 亦即 从而所求的轨迹方程为.3、 求下列各球面的方程：（1）圆心，半径为； （2）圆心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与解：（1）所求的球面方程为：（2）由已知，半径，所以球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以 解之得所求的球面方程为.4、将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解：(旋转抛物面) .5、将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解： 绕轴旋转得 绕轴旋转得.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）；（2）（3）；（4）解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而成；或者 平面上椭圆绕轴旋转而成（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者 平面上的直线绕轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.习 题 641、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）；（2）；（3）解：（1）是平面与相交所得的一条直线；（2）上半球面与平面的交线为圆弧；（3）圆柱面与的交线.图形略.2、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.3、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：； .4、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）；（2）解：（1）原曲线方程即：，化为；（2）.6、求螺旋线 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：；.7、指出下列方程所表示的曲线（1） （2）；（3）； （4）； （5）.解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：，是位于平面上的抛物线，在面上的投影曲线为9、 求曲线 在坐标面上的投影.解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.10、 求抛物面与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为，（1）消去得投影（2）消去得投影，（3）消去得投影.习 题 651、写出过点且以为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为.2、求过三点的平面方程.解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.3、求过点且与平面平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为 即 .4、求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解：平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, 即A=0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B-C=0, 或C=-3B . 将其代入所设方程并除以B (B0), 便得所求的平面方程为y-3z=0.5、求过点，且垂直于平面和的平面方程.解： 取法向量所求平面方程为化简得: 6、6 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.解： 设所求解 设平面为由平面过点知平由平面过原点知， ，所求平面方程为7、写出下列平面方程：（1）平面；（2）过轴的平面；（3）平行于的平面；（4）在，轴上的截距相等的平面.解：（1）,（2）（为不等于零的常数）,（3） (为常数), （4） .8、 求平行于而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为 由所求平面与已知平面平行得化简得令代入体积式 或所求平面方程为或.9、分别在下列条件下确定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使与表示二平行平面；（3）使与表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：，解之得 ，.（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：，所以，.（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以： .10 、求平面与的夹角；解：设与的夹角为，则 .11、 求点到平面的距离.解：利用点到平面的距离公式可得.习 题 661、求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2） 过点且与直线平行的直线.（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.（5）通过点且与两直线和垂直的直线；（6）通过点且与平面垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：即：，亦即.（2）依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为.（3）所求直线的方向向量为：，故直线方程为：.（4）因为直线和轴垂直相交, 所以交点为取所求直线方程（5）所求直线的方向向量为：，所以，直线方程为：.（6）所求直线的方向向量为：，所以直线方程为： .2、求直线的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点,取 解.所求点的坐标为,取直线的方向向量,所以直线的点向式方程为： 令则所求参数方程: 3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）与；（2）与.解：（1）将所给的直线方程化为标准式为： 二直线平行.又点与点（7，2，0）在二直线上，向量平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：，从而平面方程为：，即 .（2）因为，所以两直线不平行，又因为，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为，二直线所决定的平面的方程为：.设两直线的夹角为，则.4、判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.解（1），而，所以，直线与平面平行.（2）,所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点，显然点在也在平面上（因为），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为，直线与平面相交但不垂直.5、验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角.解： 直线与平面相交.又直线的参数方程为：设交点处对应的参数为，从而交点为（1，0，-1）.又设直线与平面的交角为，则：，.6、确定的值，使：（1）直线与平面平行；（2）直线与平面垂直.解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：即.（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：，所以：.7、求下列各平面的方程：（）通过点，且又通过直线的平面；（）通过直线且与直线平行的平面；（）通过直线且与平面垂直的平面；（4）. 求过点与直线垂直的平面方程.解：（）因为所求的平面过点和，且它平行于向量，所以要求的平面方程为：, 即.（）已知直线的方向向量为，平面方程为：,即（）所求平面的法向量为，平面的方程为：，即.（4）.所求平面的法向量为，则平面的方程为：, 即 .8、求点在平面上的投影.解： 过点作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量，所以垂线方程为，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程，代入平面方程求得，故投影为.9、求点到直线的距离.解：直线的标准方程为：所以p到直线的距离 .10、设是直线外一点，是直线上一点，且直线的方向向量为 ，试证：点到直线的距离为.证：设与的夹角为，一方面由于；另一方面，所以.11、求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面： （1）通过原点； （2）与轴平行；（3）与平面垂直.解： （1）设所求的平面为：欲使平面通过原点，则须：，即，故所求的平面方程为 即：.（2）同（1）中所设，可求出.故所求的平面方程为 即：.（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：从而，所以所求平面方程为.12、求直线 在平面上的投影直线的方程 解：应用平面束的方法设过直线的平面束方程为即这平面与已知平面垂直的条件是,解之得代入平面束方程中得投影平面方程为，所以投影直线为.13、请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式. 证：设是平面：外的一点，下面我们来求点到平面的距离.过作平面的垂线：，设与平面的交点为，则与之间的距离即为所求.因为点在上，所以，而在平面上，则，故.习 题 67 飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行轴正向的方向流动，一架飞机在平面沿与轴正向成的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设为飞机相对于空气的速度，为空气的流动速度，那么就是飞机相对于地面的速度.所以, 千米小时.图6-1 空所流动与飞机飞行速度的关系复习题A一 、判断正误:1、 若且，则； ( )解析 =0时，不能判定或例如，有，但2、 若且，则； ( )解析 此结论不一定成立例如，则，但3 、若，则或； ( )解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零4、 ( )解析 这是叉积运算规律中的反交换律二、选择题:1 、 当与满足（ D ）时，有； (为常数)； ； 解析 只有当与方向相同时，才有(A)中，夹角不为0，(B)，(C)中，方向可以相同，也可以相反2、下列平面方程中，方程( C )过轴；(A) ； (B) ； (C) ； (D) 解析 平面方程若过轴，则，故选C3 、在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面解析 对于曲面，垂直于轴的平面截曲面是椭圆，垂直于轴或轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面4、空间曲线在面上的投影方程为( C )； (A)； (B)； (C) ；(D)解析 曲线与平面平行，在面上的投影方程为5 、直线与平面的位置关系是( B )(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为解析 直线的方向向量=2，1，-1，平面的法向量=1，-1，1，=2-1-1=0，所以，直线与平面平行三、填空题:1、若，则 ， 0 ；解 =，=02、与平面垂直的单位向量为 ；解 平面的法向量 =1，-1，2与平面垂直，其单位向量为=，所以，与平面垂直的单位向量为3、过点和且平行于轴的平面方程为 ；解 已知平面平行于轴，则平面方程可设为 ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有 得 ，即 4、过原点且垂直于平面的直线为；解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 =0，2，-1平行，取直线方向向量=0，2，-1，由于直线过原点，所以直线方程为 5、曲线在平面上的投影曲线方程为 解: 投影柱面为 ，故 为空间曲线在平面上的投影曲线方程四、解答题:1、 已知，计算(a) ； (b) ； (c) ；解: (a) =.(b) ，所以(c) ，所以2、已知向量的始点为，终点为，试求：(1)向量的坐标表示； (2)向量的模；(3)向量的方向余弦； (4)与向量方向一致的单位向量解: (1) ；(2)；(3) 在三个坐标轴上的方向余弦分别为；(4)3、设向量，求与和都垂直的单位向量.解： 令，故与、都垂直的单位向量为.4、向量垂直于向量和，且与的数量积为，求向量解： 垂直于与，故平行于，存在数使 因，故， .5、求满足下列条件的平面方程： (1)过三点，和；(2)过轴且与平面的夹角为解 (1)解1： 用三点式所求平面的方程为，即解2： 用点法式，由题设知，所求平面的法向量为，又因为平面过点，所以所求平面方程为，即解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量，再根据点法式公式写出平面方程也可因为，所以解得，于是所求平面方程为，即 （2）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即这样它与已知平面所夹锐角的余弦为 ，所以），令，则有，由题设得，解得或，于是所求平面方程为或6、 一平面过直线且与平面垂直，求该平面方程；解法1： 直线在平面上，令=0，得 ，=4，则（0，-，4）为平面上的点设所求平面的法向量为=，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 =1，5，1，=1，0，-1，则直线的方向向量=-5，2，-5，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即 =-5，2，-5=0，因为所求平面与平面垂直，则=0，解方程组 所求平面方程为 ，即解法2： 用平面束（略）7、求既与两平面和的交线平行，又过点的直线方程.解法1：，从而根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法2：设，因为，所以；又，则，可解，从而根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法3：设平面过点，且平行于平面，则为的法向量，从而的方程为，即同理，过已知点且平行于平面的平面的方程为故所求直线的方程为8、 一直线通过点，且垂直于直线，又和直线相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为，因垂直于，所以；又因为直线过点，则所求直线方程为 ，联立由，令，则有代入方程有可得，代入解得， 因此，所求直线方程为9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) ；(b) ；(c) ；(d) ；(e) ； (f) 解： (a) 绕轴旋转的旋转椭球面(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面 (c) 绕轴旋转的锥面(d) 母线平行于轴的两垂直平面：， (e) 母线平行于轴的双曲柱面 (f) 旋转抛物面被平行于面的平面所截得到的圆，半径为，圆心在（0，0，2）处10、求曲面与所围立体在平面上的投影并作其图形解： 将所给曲面方程联立消去，就得到两曲面交线的投影柱面的方程，所以柱面与平面的交线所围成的区域即为曲面与所围立体在平面上的投影(图略)复习题B1、设，求以和为邻边的平行四边形的面积.解： .2、设，求.解： 由已知可得：，即 ，这可看成是含三个变量、及的方程组，可将、都用表示，即 ，从而，.3、求与共线，且的向量解 由于与共线，所以可设，由，得，即，所以，从而4、 已知，求，使且解法1: 待定系数法设，则由题设知及，所以有由得 ，由得 ，将和代入得，解得，于是 或解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为，所以设是不为零的常数，则，因为，所以，解得，所以或解法3: 先求出与向量方向一致的单位向量，然后乘以，故与方向一致的单位向量为于是，即或5、求曲线的参数式方程.解： 曲线参数式方程是把曲线上任一点的坐标都用同一变量即参数表示出来，故可令，则6、求曲线在面上及在面上的投影曲线的方程解： 求在面上的投影的方程，即由的两个方程将消去，即得关于面的投影柱面的方程则在面上的投影曲线的方程为同理求在面上的投影的方程，即由的两个方程消去，得关于面的投影柱面的方程，则在面上的投影曲线方程为7、已知平面过点和直线，求平面的方程解法1： 设平面的法向量为，直线的方向向量，由题意可知，是直线上的一点,则在上，所以,故可取则所求平面的点法式方程为 ，即为所求平面方程解法2： 设平面的一般方程为，由题意可知，过点，故有, （1）在直线上任取两点，将其代入平面方程，得 , （2） , （3）由式（1）、（2）、（3）解得,故平面的方程为.解法3： 设为上任一点由题意知向量、和共面，其中为直线上的点，为直线的方向向量因此，故平面的方程为，即为所求平面方程8、求一过原点的平面，使它与平面成角，且垂直于平面解： 由题意可设的方程为，其法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，由题意得，即 （1）由，得，将代入（1）式得,解得或，则所求平面的方程为 或 9、求过直线：且平行于直线：的平面的方程解法1： 直线的方向向量为，直线的对称式方程为