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课后答案网 分析力学作业讲解 第一章低速宏观运动的基本原理 课后答案网 包括12349101112题 课后答案网 设质点在势能场U r 中运动 在笛卡尔坐标系中写出其拉格朗日方程 解 拉格朗日方程为 L为拉格朗日函数 笛卡尔坐标中的坐标变量为 那么 课后答案网 所以 带入那格朗日方程得到 带入拉格朗日方程 课后答案网 即有 这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程 课后答案网 已知柱坐标与笛卡尔坐标的关系是 如图1 设质点在轴对称势能场中运动 写出其那格朗日方程 解 由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知 等式两边同时除以dt 那么 系统的动能为 课后答案网 那么 系统的拉格朗日为 所以 带入拉格朗日方程 则有 课后答案网 长度为l的细绳系一小球 悬挂点按照方式运动 如图所示 小球被限制在平面内运动 时悬线竖直向下 a 求悬线和竖直线偏离所对应的虚位移 b 已知在这一时刻的角速度为 求经过时间后的位移 问 当时 与有何差别 a 在任意时刻 约束所容许的位移为虚位移 途中的小球 受到细绳的和自身重力的约束 在这个时刻 解 课后答案网 小球只能围绕O点作圆周运动 当偏离角为时 对应的虚位移为 b 小球经过时间后的位移 可以看作有两部分组成 1 小球绕O点作圆周运动所产生的位移 2 小球随O点一起作简谐运动所产生的位移 所以 小球的位移为 和的区别如图所示 课后答案网 虚位移和实际位移的主要区别在于虚位移之和约束有关 实际位移除了和约束有关以外 还和物体当前的运动状态有关 课后答案网 长度同为l的轻棒四根 相互连接成一个可以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD AB和AD两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a的两根钉上 BD之间用一根轻质棒连接 在连接点 B和D处 各棒之间可以无摩擦的转动 C点上系有一重物W C点和重物受到约束 只能上下运动 设A点两棒之间的夹角为 试用虚功原理求平衡时联结棒BD 中的张力 讨论的方向与的大小的关系 问 在什么情况下有 说明其意义 4 课后答案网 虚功原理 解 我们考虑当A处的夹角增加 只有B D和C处的约束力的虚功不为零 那么 利用近似方法可得 课后答案网 将上面的近似式代入虚功方程可得 即有 杠对B的作用力向外 杠对B的作用力向内 杠对B无作用力 课后答案网 9 质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面上滑动 斜面上无摩擦地放一滑块m 如图所示 写出拉格朗日方程 并求斜面的加速度和滑块相对于斜面的加速度 解 系统的拉格朗日函数为 课后答案网 即有 解之得 带入拉氏方程 课后答案网 10 直接用拉格朗日方程 1 1 2 2 21 式 证明 由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数的两个拉格朗日函数L 和L 1 1 3 3 13 式 得到的运动方程相同 证明 L和L 相差一个广义坐标和时间的全微分 那么 课后答案网 带入拉格朗日方程 那么 由L 和L得到的运动方程相同 课后答案网 经过伽利略有限速度变换的拉氏量为 11 证明一维运动自由质点的拉格朗日函数 1 1 4 4 10 式 满足有限相对速度变换下伽利略相对性原理的要求 解 由 4 10 可得自由质点的拉格朗日函数为 课后答案网 L 和L相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数的两个拉格朗日函数 由上题知 他们满足相同的拉格朗日方程 所以自由质点的拉格朗日函数 4 10 式满足有限相对速度变换下伽利略相对性原理的要求 注意 解决此类问题的关键是弄懂题意 在作业中我发现很多同学没有弄清题目要求证明什么 要证明拉格朗日函数满足有限相对速度变换下伽利略相对性原理的要求 就要先搞清楚什么是伽利略相对性原理 所有惯性系 对研究机械运动规律是等效的 那么我们要证明的是在两个惯性系中 拉格朗日函数满足相同的运动规律 要注意拉格朗日量本身是没有物理意义的 重要的是他满足的函数形式和满足的运动方程 课后答案网 12 已知一维运动自由质点的拉氏量是 a 证明 当按真实运动方式运动时 作用量是 b 设 求 并任意假定一种非真实的运动方式 计算相应的作用量 验证 解 按真实情况运动时 自由质点作匀速直线运动 速度为常数 将带入得到 课后答案网 将带入得到 b