第7章__参数估计.ppt

第7章参数估计 统计方法 描述统计 推断统计 假设检验 7 1参数估计 1 用样本统计量去估计总体参数 2 估计量 用来估计总体参数的统计量估计值 一个具体样本计算出的统计量的数值 参数估计的方法 点估计 区间估计 二战中的点估计 德军有多少辆坦克 二战期间 盟军非常想知道德军总共制造了多少辆坦 德国人在制造坦克时是墨守成规的 他们把坦克从1开始进行了连续编号 在战争过程中 盟军缴获了一些敌军坦克 并记录了它们的生产编号 那么怎样利用这些号码来估计坦克总数呢 在这个问题中 总体参数是未知的坦克总数N 而缴获坦克的编号则是样本 假设我们是盟军手下负责解决这个问题的统计人员 制造出来的坦克总数肯定大于等于记录的最大编号 为了找到它比最大编号大多少 我们先找到被缴获坦克编号的平均值 并认为这个值是全部编号的中点 因此样本均值乘以2就是总数的一个估计 当然要特别假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本 N的另一个点估计公式是 用观测到的最大编号乘以因子1 1 n 其中n是被俘虏坦克个数 假如你俘虏了10辆坦克 其中最大编号是50 那么坦克总数的一个估计是 1 1 10 50 55 此处我们认为坦克的实际数略大于最大编号 从战后发现的德军记录来看 盟军的估计值非常接近所生产的坦克的真实值 记录仍然表明统计估计比通常通过其他情报方式作出估计要大大接近于真实数目 统计学家们做得比间谍们更漂亮 点估计 含义 从总体中抽取一个样本 根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计 1 点估计的可靠性用标准误差来衡量 2 点估计无法衡量估计值接近总体未知参数程度 区间估计 含义 在点估计的基础上 给出总体参数估计取值的一个区间范围 1 置信区间 由样本统计量对总体参数进行估计时的估计区间 在某种程度上确信置信区间中包含总体参数的真值 2 置信水平 置信度 置信系数 包含总体参数真值的置信区间占所有置信区间的比例 常用1 表示置信水平 a 总体参数的真值是未知的 固定的 构造出的置信区间可能包含真值 也可能不包含真值 b 设置信水平为95 则说明有95 的置信区间包含总体真值 有5 的置信区间不包含总体真值 练习题 1 一个95 的置信区间是指 A总体参数有95 的概率落在这一区间内B总体参数有5 的概率落在这一区间内C在用同样方法构造的总体参数的多个区间中 有95 的区间包含该总体参数D在用同样方法构造的总体参数的多个区间中 有95 的区间不包含该总体参数 2 根据一个具体的样本求出的总体均值的95 的置信区间 A以95 的概率包含总体均值B有5 的可能性包含总体均值C一定包含总体均值D要么包含总体均值 要么不包含总体均值 常用置信水平的临界值 Z 2值 评价估计量的标准 1 无偏性2 有效性对同一总体参数的两个无偏估计量 标准差越小的估计量估计效果越好 称估计量越有效 3 一致性随着样本量的增大 点估计量的值越来越接近被估总体的参数 E 7 2一个总体参数的区间估计 7 2 1总体均值的区间估计 总体均值的置信区间 样本均值 边际误差总体是否为正态分布总体方差是否已知样本是大样本还是小样本 1 正态总体 方差已知2 分布未知 方差未知 大样本3 正态总体 方差未知 小样本 1 正态总体 方差已知样本均值X N 2 n 总体均值 在1 的置信水平下的置信区间为 例 某厂成批生产某种金属棒 其长度服从正态分布 标准差为0 06厘米 对一个由25根棒组成的随机样本进行了测量 平均长度为7 48厘米 求这批金属棒平均长度 的置信度为95 的置信区间 解 总体服从正态分布 方差已知 置信度为95 则z0 025 1 96 在置信度为95 水平下 金属棒的平均长度在7 456 7 504厘米之间 2 方差未知 大样本 n 30 总体均值 在1 的置信水平下的置信区间为 例 一家保险公司收集到由36位投保人组成的随机样本 他们的平均年龄为40岁 标准差为5岁 求这家保险公司的所有投保人的平均年龄在90 的置信水平下的置信区间 解 总体的分布未知 总体方差也未知 但所抽样本容量36为大样本 因此 求总体均值的置信区间可用样本标准差代替总体标准差置信区间为 则投保人平均年龄在90 的置信度下的置信区间为38 63岁 41 37岁 3 正态总体 方差未知 小样本用样本方差s2代替总体方差 2样本均值经标准化处理后服从自由度为 n 1 的t分布 总体均值 在1 的置信水平下的置信区间为 例 某时装店的管理人员想估计其顾客的平均年龄 随机抽取了16位顾客进行了调查 得到样本均值为32岁 样本标准差为8岁 假定顾客的年龄近似服从正态分布 求该店全部顾客平均年龄在置信度为95 的置信区间 解 因为总体近似服从正态分布 方差未知 所抽样本为小样本 则总体均值的置信区间为 因此 有95 的把握估计全部顾客平均年龄在27 738至36 262之间 不同情况下总体均值的区间估计 7 2 2总体比例的区间估计 当样本为大样本时 样本比例p近似服从正态分布 当总体比例 已知时 总体比例 在1 置信水平下的置信区间为 实际情况中 值是未知的 要被估计的 所以需要用样本比例p来代替 则总体比例的置信区间为 例 某所大学想要了解应届毕业生在大四找到工作的学生中女生所占的比例 随机抽取了100名找到工作的应届毕业生 其中42人为女生 试以95 的置信水平估计该校找到工作的应届毕业生中女同学的比例的置信区间 解 已知n 100 z 2 1 96 p 42 100 0 42 因此 该校找到工作的应届毕业生中女同学的比例为0 37 0 47 7 3两个总体参数的区间估计 7 3 1两个总体均值之差的估计 1 假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都服从正态分布若不是正态分布 可以用正态分布来近似 n1 30和n2 30 两个独立样本均值之差的抽样分布服从正态分布 其期望值为 其标准误差为 使用正态分布统计量Z 当两个总体方差和已知时 两个总体均值之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 例 一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数 他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本 样本均值如下 银行A 4500元 银行B 3250元 设已知两个总体服从方差分别为 A2 2500和 B2 3600的正态分布 试求 A B的区间估计 1 置信度为95 2 置信度为99 B A 解 已知XA N A 2500 XB N B 3600 xA 4500 xB 3250 A2 2500 B2 3600nA nB 25 1 A B置信度为95 的置信区间为 2 A B置信度为99 的置信区间为 5 当两个总体方差和未知时 可用两个样本方差和来代替 这时 两个总体均值之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 例 为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度 分别独立地给两位职员随机安排了49位顾客 并记录下为每位顾客办理账单所需的时间 单位 分钟 相应的样本均值和方差分别为 x1 22 2 s12 16 63 x2 28 5 s22 18 92 假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布 试求两位职员办理账单的服务时间之差的95 的区间估计 解 已知X1 N 1 2 X2 N 2 2 x1 22 2 x2 28 5 s12 16 63 s22 18 92 n1 n2 49 1 2置信度为95 的置信区间为 因此 两位职员办理账单的服务时间之差的95 的置信区间为4 634分钟 7 966分钟 1 假定条件两个总体是独立的两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似2 两个总体比例之差 1 2在1 置信水平下的置信区间为 7 3 2两个总体比例之差的区间估计 例 某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较 它们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人 其中看过广告的比例分别为p1 0 18和p2 0 14 试求两城市成年人中看过广告的比例之差的95 的置信区间 1 2置信度为95 的置信区间为 我们有95 的把握估计两城市成年人中看过该广告的比例之差在0 79 7 21 之间 7 4样本量的确定 样本量 置信水平 置信区间三者的关系 估计总体均值时样本量的确定 边际误差 总体均值的置信区间为 样本量 圆整法则 样本量与置信水平 总体方差 边际误差的关系样本量与置信水平成正比 在其他条件不变的情况下 置信水平越大 所需的样本量越大 样本量与总体方差成正比 在其他条件不变的情况下 总体的差异越大 所需的样本量越大 样本量与边际