C2SXF941(正方形).doc

年 级初二学 科数学版 本人教实验版内容标题特殊的平行四边形正方形编稿老师安廷玲【本讲教育信息】一、教学内容：特殊的平行四边形正方形1. 掌握正方形的定义，弄清楚正方形和平行四边形、矩形、菱形的关系. 2. 掌握正方形的性质和判定方法. 二、知识要点：1. 正方形（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （2）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. 正方形各边的性质：四条边相等，对边平行. 正方形各角的性质：四个角都是直角. 正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角. 正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴. （3）正方形的识别：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；一个内角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系三、重点难点：本讲重点是正方形的性质，难点是平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的共性，特性及从属关系. 【典型例题】例1. 如图所示，已知正方形ABCD，点E是AB延长线上一点，连结EC，作AGEC于G，AG交BC于F，求证：AFCE. 分析：AF、CE分别在RtABF与RtCBE中，可考虑证明它们全等，而四边形ABCD为正方形，有相等的直角和相等的边，为证全等提供了条件. 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABBC，ABCCBE90. 因为AGCE，所以CGF90，所以BCECFG90，BCEE90，所以CFGE，又因为CFGAFB，所以EAFB. 所以ABFCBE（SAS）. 所以AFCE. 例2. 把一张矩形纸片像图中那样折一下，再沿CD剪下，则纸片ABCD是什么样的四边形？说明理由. 分析：根据矩形的性质和图形折叠前后的变化规律判断四边形ABCD的形状. 解：正方形. 理由如下：因为这是一张矩形纸片，所以BADB90. ADC是ABC折叠得到的，即ABCADC. 所以ADCB90，所以四边形ABCD是矩形. 又ABAD，所以纸片ABCD是正方形. 例3. 如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EFBC，EGCD，垂足分别是F、G. 试说明AEFG. 分析：由EFBC，EGCD可得矩形EFCG，则FGEC，再证ABECBE，得AEEC，即可得到AEFG. 解：连结EC，因为四边形ABCD是正方形，EFBC，EGCD，所以四边形EFCG为矩形. 所以FGCE. 因为BD是正方形ABCD的对角线. 所以ABECBE. 又BEBE，ABCB，所以ABECBE. 所以AEEC，所以AEFG. 评析：用CE沟通AE和FG之间的联系. 例4. （1）下列命题中正确的是（ ）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形（2）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是_（只填一个条件即可）. （3）如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，D90，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是_. （写出一种情况即可）分析：（1）这个问题可以这样考虑：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 故选A. （2）这个问题实际上是问什么样的菱形是正方形？有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，考虑角可补充的条件是BAD90或ADAB；考虑对角线补充：ACBD. （3）本题应考虑和角相关的矩形的识别方法，有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形. 可添加的条件是A90或B90，ADBC，ABCD等. 解：（1）A（2）BAD90（或ADAB，ACBD等）（3）A90或ADBC或ABCD例5. 如图所示，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，菱形AEFC，EHAC，垂足为H，求证：EHFC. 分析：要证EHFC，EH在矩形OBEH中，得EHOBBD，而FC是菱形AEFC的边，CFACBD，所以EHFC，问题的关键是要证四边形OBEH是矩形. 证明：由正方形ABCD得ACBD，ACBD，BOC90. 又因为EHAC，所以EHOB. 又因为四边形AEFC是菱形，得ACCF，ACEF，所以OHBE. 因此四边形OBEH是矩形，因此EHOBBDACFC. 评析：综合考查了正方形、菱形的性质和矩形的判定方法. 【方法总结】正方形是特殊的平行四边形，是特殊的矩形，是特殊的菱形. 它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 分清楚这几种图形的从属关系，从关系图中确定它们性质的相同点和不同点. 【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 下列选项中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A. 四边都相等B. 四角都相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2. 正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离是（ ）A. aB. aC. D. 2a3. 正方形是轴对称图形，那么它的对称轴的条数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）A. ACBD，ABCDB. ADBC，ACC. AOBOCODO，ACBDD. AOCO，BODO，ABBC5. 下列命题中，真命题是（ ）A. 两条对角线相等的四边形是矩形B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形6. 已知四边形ABCD中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A. D90B. ABCDC. ADBCD. BCCD*7. 如图1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A. 34cm2B. 36cm2C. 38cm2D. 40cm2 二. 填空题1. 具有平行四边形、矩形和菱形性质的四边形是_. 2. 已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC12cm，则BO_cm，OAB_度. 3. 任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到_度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到_时，就变成了菱形；当它的两条对角线变到_时，就变成了正方形. 4. 矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如：_（填一条即可）. 5. 正方形的面积为49，则它的边长为_，对角线长为_. *6. 如图所示，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过E作EFBC于F，EGCD于G，若正方形ABCD的周长是a，则四边形EFCG的周长为_. *7. 如图所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE1，F为AB上的一点，AF2，P为AC上的一动点，则当PFPE为最小值时，PFPE_. 三. 解答题 1. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OEOF，求证：OCFOBE. 2. 如图所示，在ABC中，C90，CD平分ACB，DEBC，DFAC，垂足分别为点E、F. 求证：四边形CFDE是正方形. *3. 如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长线交DA的延长线于G，试探索：（1）DF与CE的位置关系；（2）MA与DG的大小关系. *4. 如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AEDG于E，CFAE交DG于F. （1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AEFC+EF. 【试题答案】一. 选择题1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B二. 填空题1. 正方形 2. 6，45 3. 90，相等，垂直且相等 4. 对边平行、对角线互相平分、对角相等等 5. 7，7 6. a 7. 三. 解答题1. 提示：证明OCFOBE可得2. 先证四边形DECF是矩形，又DEDF，四边形CFDE是正方形3. （1）DFCE 提示：先证EBCFCD，得ECBFDC，根据互余的关系，求出CMF90即可. （2）由GAECBE得GACB，再根据直角三角形斜边上