数学人教版八年级上册学习探究.docx

活动三学习探究（1） 提出问题（2） 分析问题（3） 解决问题问题1：如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐篷B问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？（河流的宽度忽略不计） AB师：能将这个实际问题抽象为数学问题吗？生：马棚A、帐篷B抽象成两个定点A、B，将河流抽象为直线l，找AB两点的最短距离。师：你的做法是什么？为什么？生：直接连接AB两点,因为“两点之间线段最短”。师：非常好，这个问题我们利用“两点之间线段最短”轻而易举地解决了。（随着季节的变化，游牧民族的帐篷要搬到河对岸）【合作探究】老师引导学生运用几何画板验证“两点之间线段最短”，从而加深印象.问题2：如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐篷B问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？ 师：要解决这个实际问题，我们应该先怎么做？生：先将实际问题转化为数学问题。师：对，具体的应该怎么说？跟问题1一样吗？生：不一样。还是将马棚A、帐篷B抽象成两个定点A、B，将河流抽象为直线l，在直线l上找一点C，使得AC+BC最小。师：好，自己先在学案上画图，之后请用几何画板作图看看能否找到合适的C点，为了更好地说明问题，老师已经设定好点A，B，直线l的位置，（已经设置好AC+BC最小值为10）同学们在作图过程中不要动了它们的位置。生:在作图过程中，出现比较经典的三个错误：错误1：过点A作直线l的垂线，垂足为C，则AC+BC最小数据说明：错误2：作线段AB的中垂线，与直线l的交点为点C数据说明：错误3：过点A作直线l的垂线，垂足为M，过点B作直线l的垂线，垂足为N，数据说明：师：这三个方法对吗？生：不对。师：问题在哪？生：第一个作法只能说明点A到直线l最短距离是AC；第二个作法只能说明AC=BC；第三个做法只能说明点A到直线l最短距离是AM，点B到直线l最短距离是BN，还有CM=CN，三个都不能说明AC+BC最小。师：对！不错！我们其实还可以通过什么来说明这不是最小距离？我们还可以通过观察什么呢？生：数据，11.17，10.62，10.17都不是最小的，我们有找到10的。师：怎么找到10是最小距离？我们一起探讨一些。生：好！师：大家重新看看问题1和问题2最大的不同是什么？生：问题1是直线异侧两点，问题2是直线同侧两点。师：那我们能把同侧两点化为异侧呢？比如把点A从直线上方翻到下方？生：嗯师：可以通过什么变换达到吗？而且还要保持线段AC的长度不变？生：哦，轴对称变换！师：对，很好！就是用我们回顾知识中的轴对称变换！现在可以找到作图步骤了吗？生：（1）作点B(或A)关于直线L的对称点B(或A)（2）连接AB(或BA)与直线L相交于点C，则AC+BC最短师：不错！师：下面请同学们在几何画板上作出正确作图，并小组讨论利用几何画板验证它的正确性。生：怎么验证？师：就是说明作轴对称点后的连线与直线l的交点就是最佳点，可以怎么操作？小组讨论。最后师生共同探讨出验证方法：1 作点C，2 作线段AC，BC3 测量AC，BC，AC+BC的距离4 作点A关于直线L的对称点A5 作线段AC，测量AC，AC+BC，AB的距离，6 拖动点C，观察AC，AC的关系7拖动点C，观察C在什么位置时AC+BC最小？（A，B，C三点共线时）8 如何证明三点共线？（AC+BC=AB）师：这是几何画板可以从数据上说明这个作法的正确性，你能用所学的知识严格证明你的结论吗？教师引导在直线l上任取一点C，师生共同分析，并给出证明过程：证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC在ABC中， AC+BCAB， AB= AC+BC= AC+BC AC+BC AC+BC即AC+BC最短 【合作探究】1小组讨论交流，利用做对称点（轴对称变换）将直线同侧两点的情况转化为较为简单的直线异侧两点的情况，利用“两点之间线段最短”可以将“折”的线转化为“直”的线，从而寻找符合条件的点。2 利用几何画板验证轴对称变换作图的正确性,使得学生更好地掌握严格的证明方法！师：我们一起来总结一下问题2的解决方法：”.以实际生活中的方案选择引起学生的学习兴趣.学生运用几何画板动手探究，验证“两点之间线段最短问题2寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充.引导学生独立思考，尝试运用几何画板作图，把错误的作图方法截取出来，让学生自行找出原因，还可以通过数据大小来说明问题，否定了三种错误的作图方法。（展示错误的作图方法，学生会更能印象深刻地理解最短路径问题）通过数据的比较可以排除错误的作图方法老师一步一步地引导学生探索正确的作图方法，把直线同侧两点的问题转化成异侧两点的问题，再把问题转化为“两点之间，线段最短”引导学生利用几何画板验证轴对称找最短路径的正确性，从数据