2019年高考数学一轮总复习 专题25 三角函数模型及应用检测 理.doc

专题25 三角函数模型及应用本专题特别注意：1.方向角与方位角2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形与立体几何的练习 5.圆锥曲线中的焦点三角形问题6.三角形与向量的综合【学习目标】能够运用正、余弦定理等知识解决一些测量距离问题、高度问题、角度问题、面积问题、方向问题等【方法总结】利用正弦定理或余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.1.在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时不可将正弦定理和余弦定理割裂开来，有时需要综合运用两个定理才能使题目获得解决.2.在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.3.在画图与识图过程中，要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角、方向角，以防出错. 高考模拟：一、单选题1如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由ACB与BAC，求出ABC的度数，根据sinACB，sinABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 求解三角形应用题的一般步骤：分析：分析题意，弄清已知和所求；建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；求解：正确运用正、余弦定理求解；检验：检验上述所求是否符合实际意义.2我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，所对的边分别为，面积为，则“三斜求积公式”为.若，则用“三斜求积公式”求得的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 可得，由 可得，整理计算有：，结合三角形面积公式可得： .本题选择D选项.3中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=y,解得x=3,y=4,故得到.故答案为：D. 4已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的150公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则( )A. B. 80 C. 100 D. 125【答案】C【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，在点东西向和是平行的，内错角相等，将已知角都转移到中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形.5南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有周长为且的，则其面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 6某新建的信号发射塔的高度为，且设计要求为：29米29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部在同一水平面内的两个观测点，测得， ， 米，并在点处的正上方处观测发射塔顶部的仰角为30，且米，则发射塔高（ ）A. 米 B. 米 C. 米 D. 米【答案】A【解析】过点E作，垂足为，则米，在中，由正弦定理得： 米.在中，（米）.所以（米），符合设计要求. 故选A.7为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB =60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（ ）A. (1+)米B. 2米C. (1+)米D. (2+)米【答案】D【解析】设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y0.5)米，当且仅当时，取“=”号，即时,y有最小值.本题选择D选项.8如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球距地面的高度是，则河流的宽度等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C 9如图，为测量河对岸塔 的高，先在河岸上选一点 ，使 在塔底 的正东方向上，在点 处测得 点的仰角为 ，再由点 沿北偏东 方向走 到位置 ，测得 ，则塔 的高是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设BC=x，AC=2x，在三角形BCD中， 由正弦定理得到在直角三角形ABC中，角BCA=，进而得到AB= .故答案为：D.102018赣州模拟如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 40海里【答案】A 11如图，在中， ， ， 是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A考点：1.空间异面直线位置关系；2. 空间想象能力.12已知在海中一孤岛的周围有两个观察站，且观察站在岛的正北5海里处，观察站在岛的正西方.现在海面上有一船，在点测得其在南偏西60方向相距4海里处，在点测得其在北偏西30方向，则两个观察站与的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出如下示意图由题意可得， ，又，所以A,B,C,D四点共圆，且AC为直径、在中， ,由余弦定理得，（其中为圆的半径） 选D13如图，海中有一小岛，一小船从地出发由西向东航行，望见小岛在北偏东，航行8海里到达处，望见小岛在北偏东，若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛的距离为（ ）A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里【答案】C点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果. 14一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的处测得水柱顶端的仰角为，沿向北偏东方向前进后到达处，在处测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度试（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 15海洋中有三座灯塔.其中之间距高为，在处观察,其方向是南偏东，观察,其方向是南偏东,在处現察,其方向是北偏东, 之的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意可知， 中，A=30,B=105,C=45,且，由正弦定理： 可得： .本题选择D选项.16九章算术“勾股”章有一题:“今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了多少步? ” 请问乙走的步数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C17我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角所对的边分别为，面积为，则 “三斜求积”公式为.若则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A【解析】由正弦定理得，且，代入面积公式得.点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论.18如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴的值,需要先利用切线性质求出,再利用相似求出长,即为,短轴长为底面半径,故比较容易求出,根据椭圆中的关系式,得出值,进而求出离心率.19如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由已知得ACB45，从而在ABC中求得AC，再在ACM中求得MC，最后在MNC中求得MC.点睛：本题考查解三角形的实际应用，首先要掌握测量中的俯角、仰角等概念，其次掌握解三角形的常用定理，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解直角三角形等知识，特别要能够通过分析已知条件、隐含条件选用正确的公式求解.20甲船在岛的正南方处，千米，甲船以每小时千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟【答案】A【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=104x，BD=6X，CBD=120CD2=BC2+BD22BCBDcosCBD=（104x）2+36x2+2（104x）6x=28x220x+100当x=小时即分钟时距离最小故选：A点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用二、填空题21为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，就可以计算出两点的距离为_【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理，求得；再正弦定理，可直接求得AB的长度。点睛：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于简单题。22九章算术中记载了一个“折竹抵地问题:今有竹高二丈,末折抵地,去本六尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高二丈(1丈=10尺),现被风折断尖端落在地上,竹尖与竹根的距离六尺,折断处离地面的高为多少尺_【答案】1【解析】分析：根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解.详解：如图，已知（尺），（尺）， ，解得，因此，解得，故折断后的竹干高为尺. 点睛：本题属于解三角形中的简单题型，主要考察解三角形的实际应用问题，关键在于读懂题意，根据题设做出图形.23如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从下山，甲沿匀速步行，速度为米/分钟.在甲出发分钟后，乙从乘缆车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到.已知缆车从到要分钟， 长为米，若，.为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，则乙步行的速度（米/分钟）的取值范围是 _【答案】【解析】分析：由题意结合正弦定理余弦定理首先解三角形，然后结合实际问题得到关于速度的不等式，求解不等式即可求得最终结果.详解：在ABC中解三角形：已知，则：，由正弦定理可得：，由余弦定理有：，解得：，点睛：解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.24如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点， 测得山顶的仰角分别为， ，且该两点间的距离是米，则此山的竖直高度为_米（用含， ， 的式子表达）【答案】【解析】如图在中有，则在中， ，则故高度： 故答案为： 点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确仰角、俯角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用25我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为里， 里， 里，假设里按米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为_米.【答案】【解析】点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题。本题关键是阅读理解，在题目中找出对解答本题有用的信息来。26某港口停泊两艘船，大船从港口出发，沿东偏北60方向行驶2.5小时后，小船开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇，最少需要的时间是_小时【答案】3.5【解析】27数书九章三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以， ， ， 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜； ， ， 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则 .若在中， ， ，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为_【答案】【解析】根据题意可知： ，故设，由 代入可得，由余弦定理可得cosA=，所以由正弦定理得三角形外接圆半径为28如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据： ， ， ， ， ， ， ，则、两点之间的距离为_（其中取近似值）【答案】故答案为： 点睛：解决测量问题的注意事项(1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用29达喀尔拉力赛（The Paris Dakar Rally )被称为世界上最严酷、最富有冒险精神的赛车运动，受到全球五亿人以上的热切关注.在如图所示的平面四边形中，现有一辆比赛用车从地以的速度向地直线行驶，其中， , .行驶1小时后，由于受到沙尘暴的影响，该车决定立即向地直线行驶，则此时该车与地的距离是_ (用含的式子表示）【答案】点睛：本题主要考查解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到正弦定理和余弦定理，以及直角三角形中的勾股定理的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中合理选择三角形，在三角形中正确应用正、余弦定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.30据气象部门报道，台风“天秤”此时中心位于地，并以千米每小时的速度向北偏西的方向移动，假设距中心千米以内的区域都将受到台风影响.已知地在地的正西方向， 地在地的正西方向，若小时后， 两地均恰好受台风影响，则的取值范围是_【答案】【解析】小时后台风“天秤”中心位于地，则 三、解答题31如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要 当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论. （2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要当时， ， 即，解得，又所以， 时长为小时 当时， 即，解得，又所以， 时长为3小时3（小时） 答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题.32如图，一山顶有一信号塔（所在的直线与地平面垂直），在山脚处测得塔尖的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达处，测得的仰角为.（1）求的长；（2）若， ， ， ，求信号塔的高度.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：（1）在中， ， ， ，由正弦定理可得；（2）结合（1），在三角形中，利用正弦定理化简求解即可. 详解：（1）在中， ， ， .由正弦定理， ；点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.33如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），是等腰三角形，（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？【答案】（1）不能（2）能【解析】试题分析：（1）由题意结合图形，根据正弦定理可得，求得的长，又，可求出快递小哥从地到地的路程，再计算小哥到达地的时间，从而问题可得解；（2）由题意，可根据余弦定理分别算出与的长，计算汽车行驰的路程，从而求出汽车到达地所用的时间，计算其与步小哥所用时间相差是否有15分钟，从而问题可得解.试题解析：（1）（公里），中，由，得（公里）于是，由知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到处 点睛：此题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理在实际生活中的应用，以及关于路程问题的求解运算等方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在此类问题中，总是正弦定理、余弦定理，以及相关联的三角函数的知识，所以根据题目条件、图形进行挖掘，找到与问题衔接处，从而寻找到问题的解决方案.34某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为，距离为15海里的处，并测得渔船正沿方位角为的方向，以15海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.【答案】舰艇靠近渔船所需的最少时间为1小时,舰艇航行的方位角为.【解析】分析: 设所需时间为小时，利用余弦定理列出含有t的方程，再解方程得到t的值.再利用正弦定理求出，即得舰艇航行的方位角为.详解：如图所示，设所需时间为小时，则.在中，根据余弦定理，则有， 点睛：解三角形的应用，先要画图，把各个已知条件标记到图形中，再把实际问题转化成数学问题，再利用余弦定理和正弦定理解答,最后回到实际问题回答实际问题.35如图所求扇形的半径为1，圆心角为， 是扇形弧上的动点， 是扇形的内接矩形，记.（1）当时，求的值；（2）记矩形的面积为，求最大值，并求此时的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由，得，再由，求得，利用二倍角公式求出；（2）利用， 分别表示出，求出面积表达式，得到最大值。（2），所以所以当，即， 。36如图， 是两条平行直线， 之间的一个定点，且点到， 的距离分别为， ，设的另外两个顶点， 分别在， 上运动， ， ， ，且满足 .（）求；（）求的最大值.【答案】（）；（） .【解析】试题分析：（）设，由正弦定理及余弦定理得，从而，由此能求出；（）设，可得， ， ，由此能求出的最大值.（）设在Rt中， 即.由（）知，故， 在Rt中， ，即.， 当，即时， 的最大值为.37如图所示，某镇有一块空地，其中， ， 。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在的周围安装防护网.（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定 的大小；（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）防护网的总长度为（2）【解析】试题分析:(1)首先根据直角三角形中,得到,结合,由余弦定理可求得的值,利用勾股定理证得,由此证得三角形为等边三角形,从而求出周长.(2) 设,根据的面积是堆假山用地的面积的倍列方程,求得的值,在中利用正弦定理求得值,两个值相等,由此求得的值.(3) 在中，利用正弦定理求得的值,利用三角形面积公式写出面积的表达式,并利用三角函数值域来求面积的最小值. 试题解析:（1）在中， ， ， ， ，在中， ，由余弦定理，得， ，即， ，为正三角形，所以的周长为，即防护网的总长度为. （3）设，由（2）知，又在中