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乘法原理 我之所以比笛卡尔看得远些,是因为我站在巨人的肩上。 牛顿 我们先看下面的问题: 由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条(图5-1)。从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法? 这里,从A村到B村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又有2种不同的走法。因此,从A村经B村去C村共有3x2=6(种)不同的走法。 一般地,有如下原理: 乘法原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有 N =mlm2mn 种不同的方法。 应用乘法原理的关键是分步,即将一个复杂的过程分解为若干个接连进行的简单过程。分步时要注意其合理性,各步骤顺次完成后就完成了原事件。 应用乘法原理的解题步骤是: 例1 某条铁路上共计有八个车站。 (1)问:这些车站间共有多少种普通客票? (2)假如任两站间的票价互不相同,问:这八站之间有多少种票价? 分析与解 (1)将计算火车票的种数看做一项工作,而一种票的区分,主要是起点站与终点站,这样,将这项二作分为两步完成: 第一步确定起点站,第二步确定终点站。 第一步确定起点站,因有八个车站,就有8种选择。 第二步确定终点站,因为第一步确定一个车站后,只剩下7个车站,就只有7种选择方法,这样完成这项工作共有87=56(种)方法,那么共有56种车票。 下面用简图来进一步说明,如A为起点站,有7种车票,同理B为起点站,有7种车票,H为起点站,有7种车票,这样共有87=56(种)火车票。 (2)A站到B站的车票与B站到A站的车票不同,这是有顺序问题,但A站到B站的票价与B站到A站的票价是一样的,这是无顺序问题,所以共872=28(种)票价 问题(2)相当于:直线上有8个点,共有l+2+7=28(条)线段。 例2 如图5-2,从A经P到B,沿着最短路线走,共有多少条不同路线? 分析与解在图5-2上添上M、N两点,如图5-3所示,从A经P到B的最短路线也就是从A经M、N到B的最短路线。这条路线可分三段:第一段从A到M(最短路线),有3条;第二段从M经P到N,仅有唯一的l条;第三段从N到B(最短路线),有4条,根据乘法原理,共有314=12(条)不同路线。 例3有五张卡片,分别写着数字l,2,4,5,8。现从中取出3张卡片,并排放在一起,组成一个三位数,如1,5,2。问:可以组成多少个不同的偶数? 分析与解分三步取出卡片,首先因组成的三位数是偶数,个位数字只能是偶数,故先选取最右边的卡片,有2,4,8三种不同选择;第二步在其余的4张卡片中任取一张,放在最左边位置上,有4种不同的选法;最后从剩下的3张卡片中选取一张,放在中间的位置上,有3种不同选择。根据乘法原理,可以组成343=36(个)不同的三位偶数。 例4某沿海城市管辖7个县,这7个县的位置如图5-4现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色,要求任意相邻的两个县染不同颜色,共有 不同的染色方法。 解:把地图上的7个县分别编号为A,B,C,D,E,F,G(如图5-5)为了便于观察,可以把图5-5改画成图5-6(相邻关系不改变)。我们不妨按A,B,C,D,EF,G的顺序,用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色,根据乘法原理,共有5433333=4860(种)不同的染色方法。这里为了避免遗漏或重复,适当选择染色顺序,但应注意这里所说的“适当选择染色顺序”,并不是说染色方法与染色顺序有关,而是要防止某种染色次序混乱造成遗漏或重复而算错结果。例5由35个单位小正方形组成的长方形中,如图5-7所示有两个“”,问:包含两个“”在内的,由小正方形组成的长方形(含正方形)共有多少个? 解法1 如图5 -8将含有两个“”的横行放在一起,看成一行(A),将含两个“”的纵列放在一起,看成一列(B)。凡含这两个“”的长方形,要么由A向上或向下数行,要么由B向左或向右数列。由A行向上数有2种方法;由A行向下数有3种方法;由B列向左数有3种方法;由B列向右数有4种方法。 总计组成含两个“”在内的长方形(含正方形)共有:2334 =72(个)。解法2按行划分,含有这两个“”的行共有6种,即|2|,|l,2|,|2,3|,|2,3,4|,|l,2,3|,|l,2,3,4|;按列划分,则共有12种,即|三,|二、三|,|一、二、三|,|三、四|,|三、四、五|,|三、四、五、六|,|二、三、四|,|二、三、四、五|,|二、三、四、五、六|,|一、二、三、四|,|一、二、三、四、五|,|一、二、三、四、五、六|。由于每1种行划分对应着12种列划分,所以含有两个“”在内的长方形(含正方形),共有612 =72(个)。 例6今有壹角币1张,贰角币l张,伍角币l张,壹元币4张,伍元币2张,用这些纸币任意付款,可以付出不同数额的款项共有多少种? 分析与解为了付某数额的款项,壹角币可以不取或取l张,有两种取法;同样,贰角币、伍角币也各有两种取法;壹元币可以不取,或取l张、2张、3张、4张,有5种取法;同理,伍元币有3种取法。由乘法原理,并除去都不取的情况,不同数额的款项有22253-1=119(种)用类似的想法,结合质因数分解定理可求出自然数n的因数的个数。 1书架上有6本不同的画报、10本不同的科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有 种不同的取法。 2七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个。不同的放法有 种。 3用O,l,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数。 4.4个人站成一排合影留念,有 种不同的排法。5有两个点可以连成一条线段,三个点可以连成三条线段。4个点可以连成六条线段,五个点可以连成 条线段,六个点可以连成 条线段。 6学雷锋小组的一次集会,参会的人每两人握手一次,共握手36次,这个小组共有 人。 7数出图5-9中长方形(包括正方形)的总个数是 。 8用9枚钉子组成3x3方阵,用橡皮筋勾在3枚钉子上,组成一个三角形,共可组成 个三角形。9有5人参加的学雷锋小队上街宣传交通规则,他们站成一排,其中2名队长不排在一起,一共有 种排法。 10如图5 -10所示的3n方格(n是自然数),给每一列中的3个方格分别用红、白、蓝三种颜色任意染色(每列中三格的颜色各不相同),最少需要 列才能保证至少使两列染色的方式相同。 11.在图5-11中放四个棋子“兵”,使得每一列有一个“兵”,每一行至多有一个“兵”。问:有多少种不同的放法? 12.某种奖券的号码有9位,如果奖券至少有两个非0数字,并且从左边第一个非0数字起,每个数字小于它右边的数字,就称这样的号码为“中奖号码”,如000000015,000001257。问:“中奖号码”有多少个? 13一个自然数,如果它顺着数和倒过来数都
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