北师大版初二数学上章节总结.doc

北 师 大 八年级数学（上册） 第一章 勾股定理1.如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 常见勾股数(1) （3， 4， 5）, （6， 8，10） (2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41） (3) (8，15，17), (12，35，37) 2、钝角三角形：a2 +b2c23水池芦苇问题（关键是芦苇的长度不变）； 楼梯地毯问题（地毯拉开）；4、蚂蚁怎样走最近：三种路线（长方体中、缺一不可、均要考虑）、圆柱体一种路线 展开图5.斜高公式 斜高等于直角边的乘积除以斜。6勾股常见的折叠问题1、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想，此时EC有多长？2如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）A3B4 C D5 3已知：如图，在ABC中，C=90，B=30，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm求AC的长4、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为 5、如图，在矩形中，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为 。第 二 章 实 数1、无限_不循环小数叫做无理数2、有理数与无理数的主要区别：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；整数和分数统称有理数任何有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能3、两个无理数的和不一定是无理数（对）4、算数平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“”读作“根号a”.这就是.特别地规定0的算术平方根是0，即=0.5、，算术平方根的性质.：算术平方根有什么特点.正数或0定义中的a和x都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为(a0)为非负数5、的算术平方根为_ (1.44)2的算术平方根为_.6一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍根号a.7、对于任意数a，一定等于a吗？当a0时，=a 当a0时，=a8立方根、定义“若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.9、立方根的性质：正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.10、平方根与立方根的区别与联系 ：联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不同 正数a的平方根表示为，a的立方根表示为.(4)被开方数的取值范围不同 中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.求下列各式的值11、你能估算的大小吗？(误差小于1).(1)先确定位数 因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数.(2)确定个位上数字. 因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9.估算下列数的大小：(1)(误差小于0.1) 应为3.6或3.7. (2)(误差小于1)应为9或10.12实数比较大小的基本方法与技巧在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。怎样比较实数与实数之间的大小呢?比较两个实数的大小通常有以下几种方法：一、求差法求差法设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b0时，a0时，ab.”来比较a与b的大小.例1.比较大小：(1)与；(2)1-与1-解：(1)=0, 0, 1-1-二、求商法求商法设a，b为任意正两个实数，先求出a与b的商，再根据“当1时，a1时，ab.”来比较a与b的大小. 例2比较大小：(1)与；解：(1) =-11，.三、倒数法倒数法设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当b；当时，ab.”来比较a与b的大小.例3比较与的大小. 解：=,=, 又, . 四、估算法估算法设a，b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某部份的取值范围，再进行比较. 例4比较大小：(1)与 ；(2) +3与4解：(1)34, -31, . (2) -4-5, -1+3-2； 又-6-7, -244.五、平方法平方法比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a0，b0时，可由a2b2得到ab”比较大小.也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。例5.比较与的大小.解：（）2=45 ，（）2=75 , 又4575, 0, b0时，若要比较形如与的两数的大小，可先把根号外的正因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。例6.比较与的大小.解：=，= , 又4575,.七、近似值法在比较含有无理数的两个数的大小时，也可以先用计算器求出它们的近似值，不过取它们的近似值时，要保持精确度相同，再通过比较有理数的大小，即比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。例7. 比较大小：(1)与；(2) 与；(3)与-4.解：(1)3.142，3.162，. (2)3.1416，3.1629，-0.6834,-4. 两个实数的大小比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。13、1)相反数：a与a互为相反数，0的相反数是0.(2)倒数：若a0，则a与互为倒数.(3)绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即a= 实数的两种分类.(1)按大小分为：正实数，0，负实数.(2)按定义分为：有理数和无理数.14、.在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义仍然和在有理数范围内的意义相同.15、.实数和数轴上的点是一一对应的.16、.根据实数在数轴上的位置比较实数的大小17 .18、化简：(1)； (2)4；(3)(1)2；(4)；(5).化简：(1)；(2)；(3)(1+)(2)；(4)()2.第三章 图形的平移与旋转1、平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移注意：“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”，意味着“图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离平移有什么特征呢？ 平移不改变图形的形状和大小.2、经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等.这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小.3、旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.4、注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征.5、旋转的基本性质经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.对应点到旋转中心的距离相等.要确定一个三角形旋转后的位置的条件为：(1)三角形原来的位置.(2)旋转中心.(3)旋转角.这三个条件缺一不可.只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角形绕点旋转后的位置，进而作出它旋转后的图形.第四章 四边形性质探索12平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。表示：平行四边形用符号“ ”来表示。平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积等于底和高的积，即SABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。特殊的平行四边形矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等矩形的对角线相等且互相平分。特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形具有平行四边形的一切性质矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）性质：菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。菱形的判定方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形正方形:定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。梯形：定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。直角梯形：有一个角是直角的梯形是直角梯形等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线所在的直线是对称轴，等腰梯形同一底边上的两个角相等。等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形的判定定理同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形的判定方法：先判定它是梯形，再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。解决梯形问题常用的方法：1、“平移腰”把梯形分成一个平行四边形和一个三角形2、“作高”：使两腰在两个直角三角形中3、平移对角线：使两条对角线在同一个三角形中4、延腰构造具有公共角的两个三角形5、等积变形：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。第五章 位置的确定平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个点（如图4所示），方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？ 根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；以已知线段中点为原点；以两直线交点为原点；利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。图形“纵横向伸缩”的变化规律: A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在横向：当n1时，伸长为原来的n倍；当0n1时， 伸长为原来的n倍；当0n0）或向左(a0）或向下(b0），所得的图形与原图形相比，形状不变；当n1时，对应线段大小扩大到原来的n倍；当0n0时,y随x的增大而增大; 当k0时，y随x的增大而(增大)。（3）当k0，b0 k_0，b_0 k_0 k0，b0图像过第一、二、三象限 一、三、四 一、二、四 二、三、四5、函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系当k1 k2，两直线相交；当k1 k2，b1=b2时，两直线相交于y轴上同一点；当k1=k2，b1b2时，两直线平行。6、关于确定函数的解析式（1）根据已知条件写出含有待定系数的解析式（定型）（2）将x，y的几对值或图象上点的坐标代入上述解析式，得到以待定系数为未知数的方程或方程组，并解方程（组），得到待定的系数的值 （定系数）3）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中，得到所求函数的解析式 （求一次函数的解析式，只要确定k和b两个常数即可；求正比例函数或反比例函数的解析式，只要确定k一个系数即可。一次函数图象的应用第七章 二元一次方程组（一）基本概念1.二元一次方程： 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.(1)含有两个未知数 (2)含未知数的项（单项式）的次数是1 (3)是整式方程2.二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解. 一个二元一次方程有无数个解.3.二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.4.二元一次方程组的解： 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.方程组的解法基本思想或思路常用方法代入肖元法和加减根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法.用代入法解二元一次方程组的步骤：(1).求表达式：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用含x的代数式表示;(2).把这个含x的代数式代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；(3).解一元一次方程，求出x的值;(4).再把求出的x的值 代入变形后的方程，求出y的值.用加减法解二元一次方程组的步骤：(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知