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第八章曲线积分与曲面积分 习题课 一 主要内容 二 线 面积分的基本计算法 一 对弧长的曲线积分的概念 1 定义 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 2 存在条件 3 推广 注意 二 对弧长的曲线积分的性质 三 对坐标的曲线积分的概念 1 定义 类似地定义 2 存在条件 3 组合形式 4 推广 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 四 对坐标的曲线积分的性质 五 对面积的曲面积分的定义 1 定义 六 对面积的曲面积分的性质 基本概念 观察以下曲面的侧 假设曲面是光滑的 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的分类 1 双侧曲面 2 单侧曲面 典型双侧曲面 莫比乌斯带 典型单侧曲面 播放 曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题 七 对坐标的曲面积分的定义 被积函数 积分曲面 类似可定义 存在条件 组合形式 物理意义 八 对坐标的曲面积分的性质 九 曲线积分的计算法 1 基本方法 曲线积分 第一类 对弧长 第二类 对坐标 1 选择积分变量 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 2 确定积分上下限 第一类 下小上大 第二类 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 注意 特殊情形 推广 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 由对称性 知 对坐标的曲线积分的计算 定理 特殊情形 例5计算 其中L为摆线 上对应t从0到2 的一段弧 提示 例6计算 其中 由平面y z截球面 提示 因在 上有 故 原式 从z轴正向看沿逆时针方向 十 曲面积分的计算法 1 基本方法 曲面积分 第一类 对面积 第二类 对坐标 二重积分 1 选择积分变量 代入曲面方程 2 积分元素投影 第一类 始终非负 第二类 有向投影 3 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 定理 设有光滑曲面 f x y z 在 上连续 存在 且有 对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 例7 解 若 则有 若 则有 前正后负 右正左负 对坐标的曲面积分计算 一投 二代 三定号 上正下负 则有 若 解 把 分为上下两部分
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