山东省冠县武训高级中学高中数学上学期321《几种不同增长的函数模型》课件 新人教A版必修1.ppt

几类不同增长的函数模型 教学目标 结合实例体会直线上升 指数爆炸 对数增长等不同增长的函数模型意义 理解它们的增长差异性 教学难点 建立实际问题的函数模型 教学重点 通过图象对指数函数 对数函数 幂函数模型的增长速度对比 让学生理解直线上升 指数爆炸 对数增长等增长的含义 问题 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克 需要支付y元 把y表示成x的函数 问题 正方形的边长为x 面积为y 把y表示成x的函数 问题 某保护区有1单位面积的湿地 由于保护区努力 湿地每年以5 的增长率增长 经过x年后湿地的面积为y 把y表示成x的函数 1 分别用表格 图象表示上诉函数 2 指出它们属于哪种函数类型 3 讨论它们的单调性 4 比较它们的增长差异 y x 它们分别属于 y kx b 直线型 从表格和图像来看它们都是增函数 在不同区间增长速度不同 随着x的增大 的增长速度越来越快 另外还有与对数函数有关的函数模型 形如 叫做对数型函数 1 三种重要的增长模型直线上升 y kx b 当k 0时为增函数 当k 0时为常数函数 当k 0时为减函数 指数爆炸 n为基础数值 p为增长率 y为经过x次增长的数值 0 p 1时 1 p 1为增长问题 1 p 0时 0 1 p 为减少问题 对数增长 当a 1时为增函数 0 a 1时为减函数 例题 例1 假设你有一笔资金用于投资 现有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案呢 思考 比较三种方案每天回报量 2 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多 我们就在那段时间选择该方案 分析 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 再通过比较它们的增长情况 为选择投资方案提供依据 解 设第x天所得回报为y元 则方案一 每天回报40元 y 40 x n 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 y 10 x x n 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 y 0 4 2x 1 x n 图112 1 从每天的回报量来看 第1 4天 方案一最多 第5 8天 方案二最多 第9天以后 方案三最多 有人认为投资1 4天选择方案一 5 8天选择方案二 9天以后选择方案三 累积回报表 结论 投资8天以下 不含8天 应选择第一种投资方案 投资8 10天 应选择第二种投资方案 投资11天 含11天 以上 应选择第三种投资方案 某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加 若在某个时刻这种细菌的个数为200个 按照每小时成倍增长 如下表 问 实验开始后5小时细菌的个数是多少 练习 解 设实验时间为x小时 细菌数为y个 依题意有 200 200 20 400 200 21 800 200 22 1600 200 23 此实验开始后5小时 即x 5时 细菌数为200 25 6400 个 从而 我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式 即y 200 2x x n 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且资金y 单位 万元 随着销售利润x 单位 万元 的增加而增加 但资金数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型能符合公司的要求呢 解 借助计算机作出函数的图象 观察图象发现 在区间 10 1000 上 模型的图象都有一部分在直线的上方 只有模型的图象始终在的下方 这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求 下面通过计算确认上述判断 它在区间 10 1000 上递增 而且当时 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 由函数图象 并利用计算器 可知在区间内有一个点满足 由于它在区间 10 1000 上递增 因此当时 因此该模型也不符合要求 对于模型 它在区间 10 1000 上递增 当时 因此该模型不符合要求 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万 对于模型 对于模型 令 利用计算机作出函数的图象由图象可知它是递减的 因此即所以当时 说明按模型奖金不会超过利润的25 再计算按模型奖励时 奖金是否不超过利润的25 即当时 是否有成立 综上所述 模型确实能很符合公司要求 1 四个变量随变量变化的数据如下表 练习 1 005 1 0151 1 0461 1 1407 1 4295 2 3107 5 155 130 105 80 55 30 5 33733 1758 2 94 478 5 4505 3130 2005 1130 505 130 5 30 25 20 15 10 5 0 练习 2 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的 如果某台计算机感染上这种病毒 那么每轮病毒发作时 这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染 问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染 10 探究 一 特殊幂 指 对函数模型的差异 对于函数模型 y 2x y x2 y log2x其中x 0 思考2 对于函数模型y 2x和y x2 观察下列自变量与函数值对应表 当x 0时 你估计函数y 2x和y x2的图象共有几个交点 思考3 在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何 请画出其大致图象 思考4 根据图象 不等式log2x 2x x2和log2x x2 2x成立的x的取值范围分别如何 思考5 上述不等式表明 这三个函数模型增长的快慢情况如何 课堂小结 解函数的应用问题 一般地可按以下四步进行 第一步 阅读理解 认真审题 第二步 引进数学符号 建立数