广东省高考数学 12.2证明不等式的基本方法配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节证明不等式的基本方法 三年3考高考指数 1 能够运用平均值不等式求一些特定函数的极值 2 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 1 以一次函数 二次函数 指数函数 对数函数等知识为背景考查不等式的常用证明方法 2 与数列等知识综合考查不等式的其他证明方法 1 三个正数的算术 几何平均值不等式 1 如果a b c r 那么a3 b3 c3 3abc 当且仅当 时 等号成立 2 如果a b c 那么 当且仅当 时 等号成立 即 三个正数的算术平均值 它们的几何平均值 a b c r a b c 不小于 3 对于n个正数a1 a2 an 它们的算术平均值 它们的几何平均值 即 当且仅当 时 等号成立 不小于 a1 a2 an 即时应用 1 思考 满足不等式成立的a b c的取值范围分别是什么 提示 a b c的取值范围分别为a 0 b 0 c 0 2 若a 2 b 3 则的最小值为 解析 a 2 b 3 a 2 0 b 3 0 当且仅当a 3 b 4时等号成立 答案 8 2 比较法 1 作差比较法 理论依据 a b a b a b 证明步骤 作差 变形 判断符号 得出结论 a b 0 a b 0 a b 0 2 作商比较法 理论依据 b 0 1 b 0 1 b 0 1 a b 证明步骤 作商 变形 判断与1的大小关系 得出结论 a b a b 即时应用 1 思考 作差 作商 比较法的实质是什么 提示 是把两个数或式子的大小判断问题转化为第三个数 或式子 与0 或1 的大小关系 2 若x r且x 1 则x6 1与x4 x2的大小关系为 解析 x6 1 x4 x2 x6 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 1 x4 1 x2 1 2 x2 1 x r且x 1 x2 1 2 x2 1 0 x6 1 x4 x2 答案 x6 1 x4 x2 3 设a b 0 则x y的大小关系是x y 填 解析 方法一 a b 0 x 0 y 0 a b 0 故x y 方法二 a b 0 x y x y 答案 3 综合法 1 定义 从 出发 利用 公理 性质等 经过一系列的推理 论证而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫 或由因导果法 2 思路 综合法的思索路线是 由因导果 也就是从一个 组 已知的不等式出发 不断地用必要条件代替前面的不等式 直至推导出要求证明的不等式 已知条件 定义 定理 顺推证法 即时应用 1 判断下列命题是否正确 请在括号内填 或 若a b 0 则 若a b 0 则 若a b 0 则 已知x r 则 2 设0 x 1 则 b 1 x 中最大的一个是 3 设则a b c之间的大小顺序是 解析 1 作差可得 而a b 0 则此式错误 a b 0 则 进而可得 所以可得正确 故 错误 当取等号时 即此时需x2 2 1 显然不成立 因此取不到等号 故 错误 2 由a2 2x b2 1 x2 2x a2 a 0 b 0得b a 又得c b 知c最大 3 方法一 a 2 0 c 0 再由b2 c2 得bb a 方法二 由已知得a0 c 0 又 2 1 即bb a 答案 1 2 c 3 c b a 4 分析法 1 定义 从 出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至所需条件为 或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种 的思考和证明方法 要证的结论 已知条件 执果索因 2 思路 分析法的思索线路是 执果索因 即从要证的不等式出发 不断用充分条件来代替前面的不等式 直至找到已知不等式为止 即时应用 1 若 x b 则 完成下列证明过程 证明 b m 0 b 0 要证原不等式成立 只需证明b a m 0 只需证明b a 由已知显然成立 原不等式成立 解析 1 要比较 1 xy 与 x y 的大小 只需要比较 1 xy 2与 x y 2的大小 1 xy 2 x y 2 1 xy 2 x y 2 1 2xy x2y2 x2 2xy y2 1 x2y2 x2 y2 1 x2 1 y2 又 x 0 即 1 xy 2 x y 2 0 1 xy x y 2 b a m 2 bm am 5 反证法 1 定义 先假设 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和 矛盾的结论 以说明 不正确 从而证明 成立 这种证明方法称为反证法 2 思路 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明 要证的命题不成立 命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实 等 假设 原命题 即时应用 1 用反证法证明命题 如果a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容是 2 用反证法证明命题 设二次函数f x x2 px 1 则 f 1 f 1 中至少有一个不小于2 时 反设应为 解析 1 至少有一个能 的反面为 都不能 2 至少有一个不小于2 的反面为 都小于2 答案 1 a b都不能被5整除 2 f 1 f 1 都小于2 6 放缩法 1 定义 证明不等式时 通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从而达到证明的目的 这种证明方法称为放缩法 2 思路 分析证明式的形式特点 适当放大或缩小是证题关键 即时应用 1 设a 0 b 0 m n 则m与n的大小关系是 2 设m 则m与1的大小关系为 3 已知 a b 则m n之间的大小关系是 解析 1 a 0 b 0 n m m n 2 210 1 210 210 2 210 211 1 210 m 1 3 因为 a b a b 所以 1 即m 1 又因为 a b a b 所以 1 即n 1 所以m 1 n 答案 1 m n 2 m 1 3 m n 用比较法证明不等式 方法点睛 1 用作差比较法证明不等式的一般步骤 1 作差 将不等式左 右两边的式子看作一个整体进行作差 2 变形 把差式进行变形 或变形为一个常数 或变形为若干个因式的乘积 或变形为一个或几个平方的和等 3 判号 根据已知条件 结合上述变形结果 判断差式的符号 4 结论 肯定所求证的不等式成立 2 作商比较法证明不等式的一般步骤 1 作商 将不等式左右两边的式子 进行作商 2 变形 化简商式得到最简形式 3 判断 判断商与1的大小关系 就是判断商大于1或小于1或等于1 4 结论 提醒 1 当被证的不等式 或变形后 两边都是正数且为乘积形式或幂指数形式时 一般使用作商比较法 此时要注意说明分母的符号 2 当被证的不等式两端是整式 多项式 分式或对数式时 一般使用作差比较法 例1 1 求证 当x r时 1 2x4 2x3 x2 2 求证 当a 0 b 0时 3 2012 武汉模拟 已知a b 求证 a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 解题指南 第 1 3 小题的不等式 可以采用作差比较法 而第 2 小题是幂指数型的不等式 两端都是正数 可考虑采用作商比较法 规范解答 1 方法一 1 2x4 2x3 x2 2x3 x 1 x 1 x 1 x 1 2x3 x 1 x 1 2x3 2x x 1 x 1 2x x2 1 x 1 x 1 2 2x2 2x 1 x 1 2 2 x 2 0 1 2x4 2x3 x2 方法二 1 2x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x4 2x2 1 x 1 2 x2 x2 1 2 0 1 2x4 2x3 x2 2 a 0 b 0 aabb 0 当a b时 当a b 0时 当b a 0时 综上可知 当a 0 b 0时 3 a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 a4 2a2b2 b4 4ab a2 2ab b2 a2 b2 2 4ab a b 2 a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 a2 2ab b2 4ab a b 2 a b 2 a b 4 a b a b 4 0 由此可知原命题成立 互动探究 在保持本例 2 的条件下 若a b 试比较 a2 b2 a b 与 a2 b2 a b 的大小 解析 a2 b2 a b a2 b2 a b a b a2 b2 a b 2 2ab a b 又 0 a b 2ab 0 a b 0 2ab a b 0 即 a2 b2 a b a2 b2 a b 反思 感悟 1 变形 是作差比较法证明不等式的关键 变形 的目的在于判断差的符号 一般通过因式分解或配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式 当差是二次三项式时 有时亦可用判别式来判断符号 若遇到结果符号不能确定的情况 这时要对差式进行分类讨论 2 1 作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明 2 作商比较法主要适用于积 商 幂 对数 根式形式的不等式证明 要注意分母的符号 变式备选 1 设f x 2x2 1 p与q同号且p q 1 求证 对任意a b r 有pf a qf b f pa qb 成立 证明 pf a qf b f pa qb p 2a2 1 q 2b2 1 2 pa qb 2 1 2 pa2 qb2 2 pa qb 2 p q 1 2 p 1 p a2 2pqab q 1 q b2 2pq a b 2 0 p与q同号 pq 0 pf a qf b f pa qb 2 若a b c 求证 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 证明 a b c a b 0 b c 0 a c 0 于是 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 a2b a2c b2c b2a c2a c2b a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 c b b a c2 a b a2 b c b2 b c c2 a b b2 a b b c a2 b2 a b c2 b2 b c a b a b a b c b c b b c a b a b c b b c a b a c 0 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 3 已知a b是正实数 n是正整数 求证 a b an bn 2 an 1 bn 1 证明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn anb bn 1 2an 1 2bn 1 abn anb an 1 bn 1 a bn an b an bn a b bn an 当a b 0时 bn an0 此时 a b bn an a 0时 bn an 0 a b0时bn an 0 a b 0 此时 a b bn an 0 综上所述 a b an bn 2 an 1 bn 1 0 即 a b an bn 2 an 1 bn 1 用综合法证明不等式 方法点睛 1 综合法证明的框图表示用p表示已知条件或已有的不等式 用q表示所要证的结论 则综合法可用框图表示为p q1 q1 q2 q2 q3 qn q 2 利用 综合法 证明不等式的常用结论 1 a 0 a2 0 a b 2 0 a b r 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab a b r 当且仅当a b时取等号 3 a 0 b 0 当且仅当a b时取等号 4 a 2 a 0 2 ab 0 2 ab 0 例2 1 2012 南通模拟 已知x y z均为正数 求证 2 已知a b c都是实数 求证 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 3 设a b c 求证 解题指南 第 1 3 小题 从已知出发 借助不等式的性质 定理 根据基本不等式 经过逐步的逻辑推理 推导出要证明的结论 第 2 小题 以a2 b2 2ab a b r 为根据 利用综合法证明 规范解答 1 因为x y z均为正数 所以同理可得当且仅当x y z时 以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加 并除以2 得 2 a b r a2 b2 2ab b c r b2 c2 2bc c a r c2 a2 2ca 将以上三个不等式相加得2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 在不等式 的两边同时加上 a2 b2 c2 得3 a2 b2 c2 a b c 2 即a2 b2 c2 a b c 2 在不等式 的两边同时加上 2 ab bc ca 得 a b c 2 3 ab bc ca 即 a b c 2 ab bc ca 由 得a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 3 方法一 a c a b b c 又a b c 则a b 0 b c 0 a c 0 因此有 a b b c 方法二 设a b x b c y a b c x 0 y 0 a c x y 0 原不等式即 原不等式成立 反思 感悟 1 用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础 再运用不等式的性质推导出所要证的不等式 但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质 2 含有条件的不等式的证明问题 要将条件和结论结合起来 寻找变形的思路 构造出基本不等式的形式 以正确使用基本不等式 3 通过等式或不等式的运算 将待证的不等式化为明显的 熟知的不等式 从而使原不等式得到证明 反之 亦可从明显的 熟知的不等式入手 经过一系列的运算而导出待证的不等式 前者是 执果索因 后者是 由因导果 证明时往往联合使用分析法与综合法 两面夹击 相辅相成 达到证明不等式的目的 变式训练 2012 大庆模拟 已知a b x y均为正数 且求证 证明 a b x y均为正数 且 则 当且仅当时 等号成立 变式备选 1 已知a b 0 且a b 1 求证 1 a2 b2 2 3 解题指南 题中不等式的左边都含有 或隐含有 ab或 因此只要利用a b 1得出ab及的范围 就能够证出题中不等式 解析 由 得 1 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 1 2 a2 b2 当且仅当a b时取等号 2 当且仅当a b时取等号 3 由 1 2 的结论 知 当且仅当a b时取等号 2 已知a b c 0 且a b c 1 求证 1 2 3 证明 1 方法一 a b c 1 a b c均为正实数 即当且仅当a b c时等号成立 方法二 a b c 1 以下证明同方法一 2 a b c 0 a b c 1 同理由于上述三个不等式两边均为正 可以同向相乘 当且仅当a b c时取等号 3 a b c 0 两边同加a b c得3 a b c 又a b c 1 用分析法证明不等式 方法点睛 用分析法证明不等式的方法技巧当证题不知从何入手时 有时可以运用分析法而获得解决 特别是对于条件简单而结论复杂的题目 往往更是行之有效 另外对于恒等式的证明 也同样可以运用 提醒 用分析法证明不等式时 不要把 逆求 错误地作为 逆推 分析法的过程仅需要寻求充分条件即可 而不是充要条件 也就是说 分析法的思想是逆向思维 因此在证题时 应正确使用 要证 只需证 这样的连接 关键词 例3 设a b c 0 且ab bc ca 1 求证 1 a b c 2 解题指南 本题是条件不等式 从已知式和待证式的结论较难用比较法证明 因此可利用分析法证明 规范解答 1 要证a b c 由于a b c 0 因此只需证明 a b c 2 3 即证 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需证明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即证 a2 b2 c2 ab bc ca 而这可以由ab bc ca a2 b2 c2 当且仅当a b c时等号成立 证得 原不等式成立 2 在 1 中已证a b c 因此要证原不等式成立 只需证明即证即证 而 ab bc ca a b c 时等号成立 原不等式成立 反思 感悟 1 分析法是证明不等式的重要方法 当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 2 分析法易于寻找解题思路 其步骤中相应的语言叙述不可少 比如 要证 只需证 即证 否则是错误的 有时也用 代替语言叙述 3 分析法执果索因 利于思考 综合法由因导果 宜于表达 适合人们的思维习惯 凡是能用分析法证明的不等式 一定可以用综合法证明 因此 我们做题时 通常先用分析法探求证题途径 在解答问题时用综合法书写 变式训练 已知a b 0 且a b 1 求证 证明 要证即证即证 a b 1 从而只需证即证只需证ab 而a 0 b 0 1 a b ab 显然成立 故原不等式成立 变式备选 已知a 0 b 0 2c a b 求证 证明 分析法 要证即要证即要证即要证 a c 20 所以只要证a 2c b 即要证a b 2c 由已知条件知 上式显然成立 所以原不等式成立 用反证法证明不等式 方法点睛 1 反证法的主要适用情形 1 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 2 如果从正面证明 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明 只研究一种或很少的几种情形 2 反证法的证明步骤 1 假设 作出与命题结论相反的假设 2 归谬 在假设的基础上 经过推理 导出矛盾的结果 3 结论 肯定原命题的正确性 提醒 1 用反证法证明不等式 在否定了原命题的不等关系后 所得的数量关系一般不止一种情形 因为 的反面是 而不单是 在证明时切勿遗漏 2 证明过程一定要用 假设 否则不叫反证法 3 常用在直接证明比较困难或所证结论涉及 不可能 不是 至少 至多 唯一 等字眼时的题目 例4 已知a b c r f x ax2 bx c 若a c 0 f x 在 1 1 上最大值为2 最小值为 求证 a 0且 解题指南 直接证明a 0且比较困难 可考虑从反面入手 运用反证法 导出矛盾 从而证得结论 规范解答 由a c 0得c a f x ax2 bx a 假设a 0或 1 由a 0得 f x bx 依题意知b 0 又f x 在 1 1 上是单调函数 f x 的最大值为 b 最小值为 b 于是 b 2 b 显然矛盾 故a 0 2 由得 且a 0 故f x 在 1 1 上单调 其最大值为 b 最小值为 b 由 1 知 这是不可能的 所以不成立 综合 1 2 可知 假设不成立 故a 0且 反思 感悟 适宜用反证法证明的数学命题 结论本身以否定形式出现的一类命题 关于唯一性 存在性的命题 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 变式训练 已知f x x2 px q 求证 1 f 1 f 3 2f 2 2 2 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 证明 1 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 2 用反证法证明 方法一 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 则有 f 1 2 f 2 f 3 2 而 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 8 4p 2q 2出现矛盾 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 方法二 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 则有 p q 2p q 3p q 由 得 4 p 2 由 得 6 p 4 这不可能 假设不成立 从而 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 变式备选 已知函数f x 是 上的增函数 a b r 1 若a b 0 求证 f a f b f a f b 2 判断 1 中命题的逆命题是否成立 并证明你的结论 解析 1 a b 0 a b 由已知f x 的单调性得 f a f b 又a b 0 b a f b f a 两式相加即得 f a f b f a f b 2 命题 1 的逆命题为 若f a f b f a f b 求证a b 0 逆命题成立 下面用反证法证之 假设a b 0 那么 a b 0 a b f a f b a b 0 b a f b f a f a f b f a f b 这与已知矛盾 故有 a b 0 逆命题得证 用放缩法证明不等式 方法点睛 1 放缩法证明不等式时 常见的放缩依据或技巧主要有 1 不等式的传递性 2 等量加不等量为不等量 3 同分子 母 异分母 子 的两个分式大小的比较 缩小分母 扩大分子 分式值增大 缩小分子 扩大分母 分式值减小 全量不少于部分 每一次缩小其和变小 但需大于所求 每一次扩大其和变大 但需小于所求 即不能放缩不够或放缩过头 同时放缩有时需便于求和 2 放缩法的常用措施 1 舍去或加上一些项 如a2 a 1等 2 将分子或分母放大 缩小 如等 3 利用绝对值不等式的性质 如 a b a b 等 提醒 放缩法在不等式的证明中几乎处处存在 放 和 缩 均有一个度 放 和 缩 的方向与 放 和 缩 的量的大小是由题目的条件和结论分析得出的 例5 设a b是不相等的正数 且a3 b3 a2 b2 求证 14ab等不等式将已知等式进行放缩 规范解答 a 0 b 0且a b a3 b3 a2 b2可化为a2 ab b2 a b a b 2 a2 2ab b2 a2 ab b2 a b a b 1 又 a b 2 4ab a b a2 b2 ab a b 2 ab a b 2 a b 2 即 a b 2 a b a b 1 a b 反思 感悟 1 放缩法证明不等式 就是利用不等式的传递性进行证明不等关系 即要证a b 只需先证明a p 且p b 其中p的确定是最重要 也是最困难的 要凭借对题意的深刻分析 对式子巧妙变形的能力 以及一定的解题经验 2 利用放缩法证明不等式 就是舍掉式中一些正项或负项 或者在分式中放大或缩小分子 分母 还可把和式中各项或某项换以较大或较小的数 从而达到证明不等式的目的 放大或缩小时注意要适当 必须目标明确 合情合理 恰到好处 且不可放缩过大或过小 谨慎添或减是放缩法的基本策略 3 不等式的证明方法很多 要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明 解题时既要充分利用已知条件 又要时刻瞄准解题目标 即不仅要搞清是什么 还要搞清干什么 只有兼顾条件与结论 才能找到正确的解题途径 变式训练 1 2012 宿迁模拟 设f x x2 x 13 实数a满足 x a 1 求证 f x f a 2 a 1 解析 f x x2 x 13 f x f a x2 x a2 a x a x a 1 x a 1 又 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2a 1 2 a 1 f x f a x a 1 2 a 1 2 设m是 a b 和1中最大的一个 当 x m时 求证 证明 由已知m a m b m 1 又 x m x a x b x 1 成立 变式备选 已知 n n 求证 证明 综上得 满分指导 不等式证明的规范解答 典例 12分 2012 广州模拟 设二次函数f x ax2 bx