利用辅助圆解决直线型问题.docx

课题: 利用辅助圆解决直线型问题 -初三几何复习授课教师： 海淀北部新区实验学校 刘晓燕 授课时间： 2017年4月24日教学目标:1、 通过品一道常规旧题,学会挖掘图形间的内在联系,识清题目的本质。2、 经历多角度、多方法的分析题目，能借助题目中共端点的等线段及直角条件构造辅助圆，达到优化解决直线型问题的方法。3、 学会对题目的解题过程进行及时的总结、归类、拓宽、演变。“品尝”解法的独特性、技巧性和关键点。教学重点：能理清万变不离其宗的问题本质，品数学思维，玩味解题方法，并会将解题思想自主地运用于解决新问题的过程中。教学难点: 学会分析、归纳、变式，学会类比，从而自动生成新的问题，逐步形成问题意识，同时提高解决问题的能力。教学过程：一：品旧引入,延承思路问题：如图:在三角形ABC中，AB=AC, BDAC于D , 探究1与BAC的数量关系。分析： 题目条件中AB=AC，说明ABC是等腰三角形，等腰三角形中的底角和顶角可以互相转化，可用其中一个量表示另一个量。而另一个条件BDAC得出了ABD和BDC是直角三角形，于是在直角BDC中，1和C建立了互余关系，从而1和C可以互相表示。而C是联系1和BAC两角的纽带，借助C可以探究出BAC是1的二倍关系。当然学生还可能借助等腰三角形的“三线合一”性质，或者利用等腰三角形的轴对称性翻折三角形，构造与1相等的角等等。预设学生的解法方法一：1+C=又2C+BAC=，易导出BAC=21方法二：取BC的中点E，连接AE,利用等腰三角形三线合一的性质可得出AEBC,再通过等角的余角相等导出BAC=21。方法三：把BDC沿着BD或者CD边翻折，构造新的等腰三角形，从而推出BAC=21。 设计意图：利用初二时探究过的旧题，通过学生品条件，品图形结构，后独立思考，最后展示解法，帮助学生梳理解决等腰三角形的相关问题的常规思路，抓住图形间元素的内在联系，认清图形关系的本质，最终触类旁通内化为解决这一类问题的思想方法。二：品新探究，挖掘内涵继续探究这个问题，引导学生发现等腰三角形、直角与圆的紧密关系。从圆的定义可知，连接圆的任意两条半径都会构建一个等腰三角形；还有直径所对的圆周角是直角。逆向思维要解决具有等腰三角形或直角的几何图形的问题，我们能否构造一个辅助圆帮助问题的解决呢？ 方法4： 以A为圆心，AB为半径画圆，利用圆中同弧所对的圆心角和圆周角的关系，很容易解决了 BAC=21的关系。方法5： 以AB中点O为圆心OA为半径画圆，圆O交BC于点P。易证点P是BC的中点,根据圆心角 和圆周角的关系导出BAC=21的关系。 等腰三角形的性质 等腰三角形（共端点的等线段）小结： 1构造辅助圆，利用圆中角与角丰富的关系 直角三角形的外接圆圆心是斜边中点圆的性质及定理。直角三角形直径所对的圆周角是直角2. 三：品比新旧，巩固提高（老题新解法）1、四边形ABCD中，ABACAD，已知：BDC=40o，求BAC的大小。 1题图 2题图分析：读完条件BDC=40o，题中有一个角的度数已知，此时学生寻找的解决思路多半是借助等腰倒角建立关系，去解决问题。但是在倒角中发现直接建立起BAC与BDC的数量关系比较困难。转变思路从另一个角度认识条件，三条共端点的等线段ABACAD，说明点B、C、D在以A点为圆心，AB为半径的圆上。辅助圆的建立，很容易找到了所求的角与已知角的数量关系。2、如图：PA=PB=PC,AC与PB交于点D,且PB=4，PD=3,求ADDC的值。分析:从图上观察，AP与BC平行，可得ADP与BDC相似，通过相似得到对应边的比例关系，从而易求ADDC的值。但是这两个三角形相似的判定条件缺一个，从题中的条件间接的也得不出ADP与BDC相似的另一个条件，所以这条解决思路行不通，只能另辟蹊径，仍然借助条件PA=PB=PC，构建辅助圆解决。3、(备用) 平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（2，0），若点C在一次函数的图象上，且ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个分析：题中存在不确定条件直角三角形ABC的直角不确定，因此此题进行分类讨论，以四：中考链接: 1、（2015年）28. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移，使点D移动到点C，得到，过点Q作于H，连接AH，PH. (1) 若点P在线段CD上，如图1. 依题意补全图1； 判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；(2) 若点P在线段CD的延长线上，且，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路. （可以不写出计算结果）ABCDPABCD图1备用图分析：第一问在前面复习中已经解决，第二问点A、P、D、H满足四点共圆,构建辅助圆解决求DP长比用直线型的方法解决容易。五:课后巩固1、在直角梯形ABCD中，AB12，BC9，DC13，问在AB边上是否存在点P，使得PCD为直角三角形？ 2、(东城二模)如图，在ABC中，BA=BC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与O的切线AF交于点F（1）求证：ABC=2CAF；（2）若AC=，求BE的长3、如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且OPB=45o, PA:PB=5:14，求PB的长。 总体设计思路：在某些数学习题中，借助辅助圆解（证）题是比较生疏的一种解题方法，但同时又是一种行之有效、事半功倍的一种方法。解（证）平面几何题，最棘手的莫过于添加辅助线，常见的辅助线，有连结、延长、平移或翻折、旋转，这些都是对直线而言的，利用辅助圆解（证）平面几何题，虽远不如直线那么为人所熟知，但如果辅助添加合理，同样可使分散的条件集中，隐蔽的条件明朗，同样为沟通条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用。因此，本节课从等腰三角形中的一道常规题解决方法入手，引导学生品条件和结论间的关系，找到条件和结论之间的内在联系，从而找到解决问题的多种方法。从品题中的条件，结合圆的对称性和旋转不变性，再次引导学生将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三方面结合起来认真分析、思考，即可发现，适当的添加圆，并利用圆的有关性质，就能巧妙的找到解决问题的途径，构造合适的辅助圆，搭桥铺路，轻松解决问题。引导学生小结后，紧接着回归书本，把人教社九年级上册88页书练习