最大利润问题.doc

最大利润问题一、图象型例1（2008年南宁市）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）图2图1（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？分析：本题第（1）个问题是已知一次函数和二次函数的图像，求函数的解析式，观察两个函数的图像可知，前者是正比例函数，后者是二次函数，顶点是（0，0），利用待定系数法，先设两个函数的解析式，再将P（1，2），Q（2，2）代入相应的解析式求出参数即可；第（2）个问题是已知自变量的取值范围求二次函数的最值，属于二次函数的条件最值问题 解：（1）设=,由图1所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图2所示，函数=的图像过（2，2），所以，故利润关于投资量的函数关系式是；（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得：=+=当时，的最小值是14；因为，所以，所以，所以，所以，即，此时，当时，的最大值是32评注：这类试题一般先将函数解析式配方，将函数解析式变成顶点形式，找出顶点坐标和对称轴方程，结合自变量的取值范围，画出函数图像（抛物线的一部分），根据抛物线的对称性、开口方向，确定函数的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，这种解题方法体现了数学中的数形结合的思想，它的优点是直观形象，避免死记公式二、表格型例2(2008年扬州市)红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）1361036日销售量m（件）9490847624未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a4）给希望工程公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围解：(1)将和代入一次函数m=kx+b中，有，m=2x+96，经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，故所求函数解析式为m=2x+96. (2)设前20日销售利润为P1元，后20日销售利润为P2元，由P1=(2x+96)(t+5)=t2+14t+480=(t14)2+578. 1t20且t为整数 当t=14时，P1有最大值578元. 由P2=(2x+96)(t+20)=t288t+1920= (t44)216 ，21t40且对称轴为t=44，函数P2在21t40上随t的增大而减小，t=21时，P2有最大值为(2144)216=513元，578513，故第14天时，销售利润最大为578元(3) P1=(2x+96)(t+5a)= t2+(14+2a)t+48096 a，对称轴为t=14+2a. 1t20， 当t=14+2a20即a3时，P1随t的增大而增大，又a4，3a4三、文字型例3（2008年凉山州）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售（1）设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？（利润销售总额收购成本各种费用）分析：首先理解好该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；所以野生菌的市场价格，在理解好且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售，根据销售总额=单价销售量，可知：，可获得最大利润实际是根据利润销售总额收购成本各种费用，求出W与x的函数关系式解：由题意得与之间的函数关系式（，且整数）由题意得与之间的函数关系式由题意得当时，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元（也可以用抛物线的顶点坐标公式求最值）点评：本题主要考查的应用二次函数的建模思想解决实际问题，在配方求二次函数的最大值，注意判断巩固练习：1.（2008年泰安市）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系图1x/元501200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值2（2008恩施自治州）为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:=280.设这种产品每天的销售利润为(元).(1)求与之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?参考答案：1解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为：（元）（2）由题意可设与的函数关系为，将代入上式得：，得，所以种植亩数与政府补贴的函数关系为同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为（3）由题意所以当，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元2提示：（1）根据利润=销售量（销售价-成本价）；（2）由（1）知y是x的二次函数；（3）由（2）构建一元二次方程可求出销售价应定为多少解: y(x20) w(x20)(2x80)2x2120x1600，y与x的函数关系式为：y2x2120x1600 y2x2120x16