高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.5 椭圆学案 文.doc

85椭圆知识梳理1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2)集合语言：pm|mf1|mf2|2a，且2a|f1f2|，|f1f2|2c，其中ac0，且a，c为常数注：当2a|f1f2|时，轨迹为椭圆；当2a|f1f2|时，轨迹为线段f1f2；当2ab0)1(ab0)图形续表3直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到ax2bxc0的形式(这里的系数a一定不为0)，设其判别式为：(1)0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)b0)上任意一点p(x，y)，则当x0时，|op|有最小值b，p点在短轴端点处；当xa时，|op|有最大值a，p点在长轴端点处(2)已知过焦点f1的弦ab，则abf2的周长为4a.诊断自测1概念思辨(1)平面内与两个定点f1、f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)方程mx2ny21(m0，n0且mn)表示的曲线是椭圆()(3)椭圆上一点p与两焦点f1，f2构成pf1f2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修a11p35例3)已知椭圆的方程是1(a5)，它的两个焦点分别为f1，f2，且f1f28，弦ab过点f1，则abf2的周长为()a10 b20 c2 d4答案d解析因为a5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a22542，解得a.由椭圆的定义知abf2的周长为4a4.故选d.(2)(选修a11p42a组t6)已知点p是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点p及焦点f1，f2为顶点的三角形的面积等于1，则点p的坐标为_答案或解析设p(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则f1(1,0)，f2(1,0)，由题意可得点p到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，p点坐标为或.3小题热身(1)(2014大纲卷)已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点为f1，f2，离心率为，过f2的直线l交c于a，b两点若af1b的周长为4，则c的方程为()a.1 b.y21c.1 d.1答案a解析由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，c的方程为1，故选a.(2)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由已知得直线y(xc)过m，f1两点，所以直线mf1的斜率为，所以mf1f260，则mf2f130，f1mf290，则mf1c，mf2c，由点m在椭圆上知：cc2a，故e1.题型1椭圆的定义及应用已知椭圆1上一点p到椭圆一个焦点f1的距离为3，则p到另一个焦点f2的距离为()a2 b3 c5 d7应用椭圆的定义答案d解析根据椭圆的定义|pf1|pf2|2a10，得|pf2|7，故选d.条件探究若将典例中的条件改为“f1，f2分别为左、右焦点，m是pf1的中点，且|om|3”，求点p到椭圆左焦点的距离？解由m为pf1中点，o为f1f2中点，易得|pf2|6，再利用椭圆定义易知|pf1|4.(2018漳浦县校级月考)椭圆y21上的一点p与两焦点f1，f2所构成的三角形称为焦点三角形(1)求的最大值与最小值；(2)设f1pf2，求证：sf1pf2tan. (1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明解(1)设p(x，y)，f1(，0)，f2(，0)，则(x，y)(x，y)x2y23x22，x20,4，x222,1的最大值为1，最小值为2.(2)证明：由椭圆的定义可知|pf1|pf2|2a，|f1f2|2c，设f1pf2，在f1pf2中，由余弦定理可得：|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|(1cos)，可得4c24a22|pf1|pf2|(1cos)|pf1|pf2|，即有f1pf2的面积s|pf1|pf2|sinf1pf2b2b2tantan.方法技巧椭圆定义的应用技巧1椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等2通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题见典例2.冲关针对训练1已知a，b是圆2y24(f为圆心)上一动点，线段ab的垂直平分线交bf于点p，则动点p的轨迹方程为_答案x2y21解析如图，由题意知|pa|pb|，|pf|bp|2.所以|pa|pf|2且|pa|pf|af|，即动点p的轨迹是以a，f为焦点的椭圆，a1，c，b2.所以动点p的轨迹方程为x2y21.2已知abc的顶点a(4,0)和c(4,0)顶点b在椭圆1上，则_.答案解析由题意知，a，c为椭圆的两焦点，由正弦定理，得.题型2椭圆的标准方程及应用(2018湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为坐标原点，f1、f2为它的两个焦点，离心率为，过f1的直线l交椭圆c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么椭圆c的方程为_在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论答案1或1解析由椭圆的定义及abf2的周长知4a16，则a4，又，所以ca2，所以b2a2c21688.当焦点在x轴上时，椭圆c的方程为1；当焦点在y轴上时，椭圆c的方程为1.综上可知，椭圆c的方程为1或1.(2017江西模拟)椭圆1(ab0)，f1，f2为椭圆的左、右焦点，且焦距为2，o为坐标原点，点p为椭圆上一点，|op|a，且|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等比数列，求椭圆的方程用待定系数法，根据已知列出方程组解设p(x，y)，则|op|2x2y2，由椭圆定义，|pf1|pf2|2a，|pf1|22|pf1|pf2|pf2|24a2，又|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等比数列，|pf1|pf2|f1f2|24c2，|pf1|2|pf2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，即5c22a2，整理得，又2c2，c，a28，b25.所求椭圆的方程为1.方法技巧求椭圆标准方程的步骤1判断椭圆焦点位置2设出椭圆方程3根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a2b2c2的应用4根据焦点写出椭圆方程见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为ax2by21(a0，b0，且ab)可简记为“先定型，再定量”冲关针对训练已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2.p为椭圆上的一点，pf1与y轴相交于m，且m为pf1的中点，spf1f2.求椭圆的方程解设p(x0，y0)m为pf1的中点，o为f1f2的中点x0c，y0.pf2y轴，pf1f2是pf2f190的直角三角形，由题意得，解得所求椭圆的方程为y21.题型3椭圆的几何性质(2016全国卷)已知o为坐标原点，f是椭圆c：1(ab0)的左焦点，a，b分别为c的左、右顶点p为c上一点，且pfx轴过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为()a. b. c. d.用方程思想a，m，e三点共线，b，n，m三点共线答案a解析由题意知过点a的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为yk(xa)，当xc时，yk(ac)，当x0时，yka，所以m(c，k(ac)，e(0，ka)如图，设oe的中点为n，则n，由于b，m，n三点共线，所以kbnkbm，即，所以，即a3c，所以e.故选a.f1，f2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点p，使f1pf290，则椭圆的离心率的取值范围是_由f1pf290，求出x后，利用x0，a2求解答案解析设p(x0，y0)为椭圆上一点，则1.(cx0，y0)，(cx0，y0)，若f1pf290，则xyc20.xb2c2，x.0xa2，01.b2c2，a22c2，e1.条件探究将典例2中条件“f1pf290”改为“f1pf2为钝角”，求离心率的取值范围解椭圆上存在点p使f1pf2为钝角以原点o为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc，如图，由bc，得a2c2c2，即a2，又0eb0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f2的直线交椭圆于p，q两点，且pqpf1.(1)若|pf1|2，|pf2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|pf1|pq|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，有2a|pf1|pf2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知pf1pf2，得2c|f1f2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)连接qf1，由椭圆的定义，|pf1|pf2|2a，|qf1|qf2|2a.从而由|pf1|pq|pf2|qf2|，有|qf1|4a2|pf1|.又由pf1pq，|pf1|pq|，知|qf1|pf1|，因此，4a2|pf1|pf1|.|pf1|2(2)a，从而|pf2|2a|pf1|2a2(2)a2(1)a.由pf1pf2，知|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)2，因此e .题型4直线与椭圆的综合问题角度1利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质(2014全国卷)设f1，f2分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直直线mf1与c的另一个交点为n.(1)若直线mn的斜率为，求c的离心率；(2)若直线mn在y轴上的截距为2，且|mn|5|f1n|，求a，b.本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解解(1)根据c及题设知m，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故c的离心率为.(2)由题意，得原点o为f1f2的中点，mf2y轴，所以直线mf1与y轴的交点d(0,2)是线段mf1的中点，故4，即b24a.由|mn|5|f1n|得|df1|2|f1n|.设n(x1，y1)，由题意知y1b0)的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点(1)求e的方程；(2)设过点a的动直线l与e相交于p，q两点当opq的面积最大时，求l的方程直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求opq的面积解(1)设f(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|pq|x1x2|.又点o到直线pq的距离d，所以opq的面积sopqd|pq|.设t，则t0，sopq.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以，当opq的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1合理消元，消元时可以选择消去y，也可以消去x.见角度1典例2利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来3构造基本不等式或利用函数知识求最值见角度2典例4涉及弦中点的问题常用“点差法”解决冲关针对训练(2015陕西高考)已知椭圆e：1(ab0)的半焦距为c，原点o到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆e的离心率；(2)如图，ab是圆m：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆e经过a，b两点，求椭圆e的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点o到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)由(1)知，椭圆e的方程为x24y24b2.依题意，圆心m(2,1)是线段ab的中点，且|ab|.易知，ab与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|ab|x1x2| .由|ab|，得 ，解得b23.故椭圆e的方程为1.1.(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()a. b. c. d.答案b解析椭圆方程为1，a3，c.e.故选b.2(2017河北衡水中学二调)设椭圆1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在椭圆上，且满足9，则|pf1|pf2|的值为()a8 b10 c12 d15答案d解析由椭圆方程1，可得c24，所以|f1f2|2c4，而，所以|，两边同时平方，得|2|22|2，所以|2|2|22161834，根据椭圆定义得|pf1|pf2|2a8，所以342|pf1|pf2|64，所以|pf1|pf2|15.故选d.3(2018武汉调研)已知直线mn过椭圆y21的右焦点f，与椭圆交于m，n两点直线pq过原点o且与直线mn平行，直线pq与椭圆交于p，q两点，则_.答案2解析解法一：由题意知，直线mn的斜率不为0，设直线mn：xmy1，则直线pq：xmy.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(x3，y3)，q(x4，y4).(m22)y22my10y1y2，y1y2.|mn|y1y2|2.(m22)y220y3y40，y3y4.|pq|y3y4|2 .故2.解法二：取特殊位置，当直线mn垂直于x轴时，易得|mn|，|pq|2b2，则2.4(2015安徽高考)设椭圆e的方程为1(ab0)，点o为坐标原点，点a的坐标为(a,0)，点b的坐标为(0，b)，点m在线段ab上，满足|bm|2|ma|，直线om的斜率为.(1)求e的离心率e；(2)设点c的坐标为(0，b)，n为线段ac的中点，点n关于直线ab的对称点的纵坐标为，求e的方程解(1)由题设条件知，点m的坐标为，又kom，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线ab的方程为1，点n的坐标为.设点n关于直线ab的对称点s的坐标为，则线段ns的中点t的坐标为.又点t在直线ab上，且knskab1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆e的方程为1. 重点保分 两级优选练a级一、选择题1(2018江西五市八校模拟)已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的焦点坐标为()a(，0) b(0，)c(，0)或(，0) d(0，)或(，0)答案b解析因为正数m是2和8的等比中项，所以m216，则m4，所以圆锥曲线x21即为椭圆x21，易知其焦点坐标为(0，)，故选b.2(2017湖北荆门一模)已知是abc的一个内角，且sincos，则方程x2siny2cos1表示()a焦点在x轴上的双曲线b焦点在y轴上的双曲线c焦点在x轴上的椭圆d焦点在y轴上的椭圆答案d解析因为(sincos)212sincos，所以sincos0，结合(0，)，知sin0，cosb0)的左、右顶点分别为a1，a2，且以线段a1a2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则c的离心率为()a. b. c. d.答案a解析由题意知以a1a2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e .故选a.5已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为()a. b. c. d.答案c解析因为椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，所以c2a2b2m2n2.因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2am,2n22m2c2，所以m2，n2，所以c2，化为，所以e.故选c.6(2017荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为()a2千米 b.千米c2mn千米 dmn千米答案a解析某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心f2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点a距地心为ac，远地点b距地心为ac.acmr，acnr，ar，c.又b2a2c222mn(mn)rr2(mr)(nr)b，短轴长为2b2千米，故选a.7(2017九江期末)如图，f1，f2分别是椭圆1(ab0)的两个焦点，a和b是以o为圆心，以|of1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且f2ab是等边三角形，则该椭圆的离心率为()a. b. c.1 d.答案c解析连接af1，f1f2是圆o的直径，f1af290，即f1aaf2，又f2ab是等边三角形，f1f2ab，af2f1af2b30，因此，在rtf1af2中，|f1f2|2c，|f1a|f1f2|c，|f2a|f1f2|c.根据椭圆的定义，得2a|f1a|f2a|(1)c，解得ac，椭圆的离心率为e1.故选c.8(2018郑州质检)椭圆1的左焦点为f，直线xa与椭圆相交于点m，n，当fmn的周长最大时，fmn的面积是()a. b. c. d.答案c解析设椭圆的右焦点为e，由椭圆的定义知fmn的周长为l|mn|mf|nf|mn|(2|me|)(2|ne|)因为|me|ne|mn|，所以|mn|me|ne|0，当直线mn过点e时取等号，所以l4|mn|me|ne|4，即直线xa过椭圆的右焦点e时，fmn的周长最大，此时sfmn|mn|ef|2，故选c.9如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线ac，bd，设内层椭圆方程为1(ab0)，若直线ac与bd的斜率之积为，则椭圆的离心率为()a. b. c. d.答案c解析设外层椭圆方程为1(ab0，m1)，则切线ac的方程为yk1(xma)，切线bd的方程为yk2xmb，则由消去y，得(b2a2k)x22ma3kxm2a4ka2b20.因为(2ma3k)24(b2a2k)(m2a4ka2b2)0，整理，得k.由消去y，得(b2a2k)x22a2mbk2xa2m2b2a2b20，因为2(2a2mbk2)24(b2a2k)(a2m2b2a2b2)0，整理，得k(m21)所以kk.因为k1k2，所以，e2，所以e，故选c.10(2018永康市模拟)设椭圆c：1(ab0)和圆x2y2b2，若椭圆c上存在点p，使得过点p引圆o的两条切线，切点分别为a，b，满足apb60，则椭圆的离心率e的取值范围是()a0e b.e1c.e1 d.eb0)焦点在x轴上，连接oa，ob，op，依题意，o，p，a，b四点共圆，apb60，apobpo30，在直角三角形oap中，aop60，cosaop，|op|2b，b|op|a，2ba，4b2a2，由a2b2c2，即4(a2c2)a2，3a24c2，即，e，又0e1，e1，椭圆c的离心率的取值范围是eb0)，a，b为椭圆上的两点，线段ab的垂直平分线交x轴于点m，则椭圆的离心率e的取值范围是_答案解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x2，则即所以(x1x2)(xx)，所以x1x2.又ax1a，ax2a，x1x2，所以2ax1x22a，则2a，即.又0e1，所以eb0)的右焦点，直线y与椭圆交于b，c两点，且bfc90，则该椭圆的离心率是_答案解析由已知条件易得b，c，f(c,0)，由bfc90，可得0，所以20，c2a2b20，即4c23a2(a2c2)0，亦即3c22a2，所以，则e.b级三、解答题15(2018安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆c：x2y24x2y0的圆心c.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆c相切，求直线l的方程解(1)圆c方程化为(