(精品)2009年普通高校招生统一考试数学试卷分类汇编——5.4解斜三角形.doc

中学数学免费网 中学数学免费网第五章 平面向量四 解斜三角形【考点阐述】正弦定理余弦定理斜三角形解法【考试要求】（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形【考题分类】（一）选择题（共4题）1.（福建卷文7）已知锐角的面积为，则角的大小为A. 75 B. 60 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B. 45 D.30解析解析 由正弦定理得，注意到其是锐角三角形，故C=，选B2.（广东卷理6）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 6 B. 2 C. D. 【解析】，所以，选D.3.（广东卷文7）已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b= A.2 B4 C4 D【答案】A【解析】由a=c=可知,所以,由正弦定理得,故选A4.（重庆卷理7）设的三个内角，向量，若，则=（ ）ABCD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】C【解析】（二）填空题（共3题）1.（湖南卷文14）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: 设由正弦定理得由锐角得，又，故，2. （天津卷文11）如图，相交与点O, 且，若得外接圆直径为1，则的外接圆直径为_. 【答案】2【解析】由正弦定理可以知道，,所以的外接圆半径是外接圆半径的二倍。【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用。以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用。考察了同学们对于新问题的转化化归思想。3.（上海春卷8）在中，若，则等于 .答案: 解析:易知BAC=45，由正弦定理得（三）解答题（共19题）1.（安徽卷理16）在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分解：（）由，且，ABC，又，（）如图，由正弦定理得，又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.（安徽卷文16）在ABC中，C-A=， sinB=。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于的式子，这之中要运用到倍角公式；（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出.【解析】（1） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又 （2）如图，由正弦定理得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.（北京卷理15）在中，角的对边分别为，. w.w.w.k.s.5（）求的值；（）求的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力（）A、B、C为ABC的内角，且，. （）由（）知，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面积.4.（福建卷理18）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（）依题意，有，又，。当 是， 又（）在MNP中MNP=120，MP=5，设PMN=，则060由正弦定理得, 故060，当=30时，折线段赛道MNP最长亦即，将PMN设计为30时，折线段道MNP最长解法二：（）同解法一（）在MNP中，MNP=120，MP=5，由余弦定理得MNP=即故从而，即当且仅当时，折线段道MNP最长注：本题第（）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：；5.（海南宁夏卷理17）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。解：方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图）所示） . .3分 第一步：计算AM . 由正弦定理； 第二步：计算AN . 由正弦定理； 第三步：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）. 第一步：计算BM . 由正弦定理； 第二步：计算BN . 由正弦定理；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第三步：计算MN . 由余弦定理6. （湖北卷文16）在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且()确定角C的大小：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若c,且ABC的面积为,求ab的值。解（1）由及正弦定理得，是锐角三角形，（2）解法1：由面积公式得由余弦定理得由变形得解法2：前同解法1，联立、得消去b并整理得解得所以故7. （湖南卷理16）在，已知，求角A，B，C的大小。解：设由得，所以又因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，从而或，既或故或。8. （江西卷理19）中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：(1) 因为，即，所以，即 ，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因为，则，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 得9. （江西卷文19）在中，所对的边分别为，（1）求；（2）若，求,，解：（1）由 得 则有 = 得 即.（2） 由 推出 ；而,即得, 则有 解得 10. （辽宁卷理17文18）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 5分在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 12分11. （全国卷理17）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法二:由余弦定理得: .又,。所以又，即由正弦定理得，故由，解得。评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。12. （全国卷文18）在中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c.已知，且，求b.【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得，即。由正弦定理及得，即。13. （全国卷理17文18）设的内角、的对边长分别为、，求。解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉)，从而求出B=。解法一：由 cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=, sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故 ， 或 （舍去），于是 B= 或 B=.又由 知或,所以 B=。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法三：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。14. （上海卷文20）已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径，为等腰三角形解（2）由题意可知由余弦定理可知， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 15. （四川卷理17）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且（I）求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）若，求的值。本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（）、为锐角，又， 6分（）由（）知,. 由正弦定理得，即， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ， ， 12分16. （四川卷文17）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。【解析】（I）为锐角， 6分（II）由（I）知， 由得，即又 12分17. （天津卷理17文17）在中， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求AB的值。（）求的值。【解析】（1）在 中，根据正弦定理，于是（2）解：在 中，根据余弦定理，得于是=，从而【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。18. （浙江卷理18）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求