几何概率计算中参数及测度的选取.pdf

几何概率计算中参数及测度的选取 宁夏大学数学计算机学院 7 5 0 0 2 1 刘崇林 几何概率是高中数学新课程的新增内容之一 从某种意义上说 它既是古典概率的补充 也是古典 概率的推广 在现代概率概念的发展中 几何概率 也曾起到了积极的作用 因此 深入考察这方面的 问题 正确把握几何概率计算中参数及测度是进一 步理解概率的基本性质 准确进行几何概率计算的 可靠的基础 众所周知 概率的古典定义只适用于古典概型 它要求试验的一切可能结果为有限且等可能 这样 要计算所求事件的概率 只需知道所求事件包含的 样本点个数 然后再除以样本点总数就可以了 而 在几何概型中 由于试验的样本空间包含无限多个 样本点 而它的样本点也可以归结为具有某种等可 能的几何元素 通常也把相应的几何元素叫做等 可能值的参数 每个元素又由几何空间 一维 二 维 三维 甚至n 维 中的某一区域内的点的随机 位置来确定 因此几何概率的计算不但要明确参数 的含义 也就是在理解题意的过程中 明确题中的等 可能值采用什么参数 弄清具有等可能的随机点是 什么 而且要根据题设条件 借助于适当的几何模 型 把所求事件所处的样本空间和有利场合分别与 几何空间中的区域对应起来 利用初等几何或微积 分知识 确定了它们的测度 这样就可以直接利用公 式推求所求事件的概率 几何概率计算中参数及测 度究竟如何选取呢 本文就这个问题谈点肤浅认识 与同仁探讨 以期共同提高 1 从贝特朗 B e r t r a n d 奇论谈起 贝特朗 B e r t r a n d 奇论在半径为l 的圆内随 机地取一条弦 问其长度超过该圆内接等边三角形 的边长 3 的概率等于多少 这里存在着三种不同的解法 1 由于任何弦都交圆于两点 不失一般性 先固定一点于圆上 以此为顶点作一等边三角形 显 然只有落人此三角形内的弦满足要求 这种弦的另 11 一端跑过的弧长为整个圆的了1 故所求概率等于 J 图1 2 8 2 假定弦垂直于某一直径 这是因为弦长只 跟它与圆心的距离有关 而与方向无关 显然 只有 1 在弦与圆心的距离小于 时它的长度才大于扫 因 二 此所求的概率为 图2 二 3 当弦定下来后 其中点随之而定 因此 假 定弦的中点是任意的 当且仅当弦的中点属于半径 为 的同心圆时 其长才大于怕 由于此小圆面积 二 是寻 故所求概率为 图 3 C D 图l图2图3 评注本题是一个著名问题 在概率论的早 期讨论中被称为贝特朗 B e r t r a n d 奇论 读者看了 以上解答 定会问 同一个几何概率题为什么会有 多种不同的答案 产生这种奇怪现象的原因究竟在 哪里 细酌三种解法 我们不难发现 问题出在对等 可能值参数没有做出确切的规定 随机地任取一 弦 一语 没有明确指出随机性的潜在本质 可以有 各种不同的理解 从而也就导致各种不同的答案 事实上 题中的三种解法 按其对等可能值的参数的 不同的理解 反映了不同的随机事件 解法l 求得 的是 随机点B 落入圆弧C D 上 的概率 解法2 求 得的是 随机点肘落入线段E 上 的概率 解法3 1 求得的是 随机点M 落在半径为 的同心圆上的概 二 率 因此 从这种意义上来说 相对于每种解释 其 计算结果都是正确的 有人又会问 那为什么不在问题中说清楚呢 我 们说 要是指清楚了就不会有这么多种不同的答案 了 请不要忘记 这个贝特朗 B e r t r a n d 奇论是贝 特朗于1 8 8 7 年提出的 目的是想否定概率解答的正 万方数据 中学数学杂志2 0 1 0 年第5 期 另孵朋弘应 要踢穸玩z 彩巧z 缪嬲k 卅 确性 但适得其反 使得这一问题在历史上获得 奇 论 或悖论 的名称 通过以上分析可以看出 贝特朗奇论不足为奇 它告诉我们 在几何概率的计算中 特别要注意的 是 等可能值采取什么参数 如果问题没有确切地说 明将会得出很多个答案 而在实际解决问题时将导 致不正确的结果 因此 要结合具体问题进行分析 根据所研究的随机事件的试验条件 确定等可能值 参数 以使问题解答有一个可靠的基础 2 明确等可能值参数 确定区域测度是解答几何 概率题的基础和关键 几何概率问题 大体上可以分为两类 一类是样 本空间具有明显的几何意义 样本点所在的区域已 经直接给出 另一类是样本空间所对应的几何区域 题中没有直接指明 需要对问题作深入地分析 才能 把样本空间归结为几何空间的某个区域 不管哪种 情况 我们都应从等可能参数值的含义人手 先找出 相应的区域并确定它们的测度 再代人几何概率公 式求解 下面将结合自己的教学实践 通过具体题 案对此加以说明 题案l如图4 在三角形A B C 中 L C L B 3 0 0 求下列事件的概率 1 在底边B C 上取一点P 使B P A B 2 在L B A C 的内部任作射线A P 交线段B C 于P 使B P A B 解 1 因为点P 随机地落在线段B C 上 故取 点P 为等可能值参数 这样可将线段B C 视为区域 D 以B 为圆心 B A 为半径的弧交B C 于M 则P 落 在线段B M 内才有8 P A B 线段B M 即为有利场合 对应的区域 于是P B P A B P B P B M 丽B M 甏 万3 图4 AA 么2 公么险 图4图5 解 2 射线A P 在L B A C 内是等可能分布的 故取射线A P 为等可能值参数 在B C 上取一点肘 使L A M B 7 5 则B M B A 当P 落在线段B M 内 时 B P A B 显然样本空间对应的测度为1 2 0 0 有 叶f O Y 0 图7 而有利场合的可能情形 舅 y 2 础 f z 1 T 尺 是 Y 们 把以上所反映的区域在平面直角坐标系中表 示 2 丁r R 0 所对应的区域为 p 0 有利场合所对应的区 I aI 口 1 r 域为 a 詈 卢 有利场合所对应的区域为 戈 即点 z 落入六面体O D E B A 之内 故所求概率等于豆夯器笺1美5等1 11筹 揣 111 旦力伶 乙 州伶伏 l 虿 总之 对于几何概率的计算 判明问题的性质 明确参数的含义 确定区域的测度 计算事件的概率 这四个步骤是一个完整的统一体 明确等可能值参 数是解题的基础 确定区域的测度则是解题的关键 参考文献