材料力学习题解答2-8章.doc

2-1求图中所示各杆指定截面上的轴力，并绘制轴力图。解：a) b) c) d) 题2-1图2-2 求下图所示各个轴指定截面上的扭矩,并绘制扭矩图解：a) b) 题2-2图2-3图中传动轴的转速n=400rpm,主动轮2输入功率P2=60kW,从动轮1,3,4和5的输出功率分别是P1=18kW, P3=12kW, P4=22kW, P5=8kW,试绘制该轴的扭矩图.解: 题2-3图2-4 求图中所示各梁指定截面上的剪力和弯矩,设q和F均为已知.a ) b) c) d) 题2-4图2-5试绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩的最大值.设F q l均为已知.a) b) c) d) e) f) g) h) 题2-5图2-6不列方程,绘制下面各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩绝对值的最大值.设F、q、l均为已知。a) b) c) d) e) f) 题2-6图2-7绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,求出|FQ|max和|M|max,并且用微分关系对图形进行校核. a) b) c) d) 题2-7图2-8试判断图中所示各题的FQ，M图是否有错，如有错误清指出错误原因并加以改正。 a） b） c） d） e) 题2-8图2-9 试根据剪力图，作出结构的支承（支承在A、C截面）和载荷情况图（梁上无集中力偶作用） a) b) 题2-9图2-10 已知梁的弯矩图如下，试分别在梁上绘出所受之外载荷（包括外载荷的类型、大小、方向）及剪力图，F,l为已知a) b) c) 题2-10图2-11 作图中所示各梁的剪力土和弯矩图a) b) 题2-11图2-12 写出图中所示各曲杆的轴力、剪力和弯矩的方程式，并作弯矩图。设曲杆的轴线均为圆形。解a) 下面是轴力、剪力、弯矩图题2-12a图解b)：由于结构对称，仅考虑上半部分。AB段：，段：，。当时，题2-12b图解c):如图所示约束反力, ,。当时：， ，当时：， ，按下表描图画出M图：(0)022.545506067.590112.5135157.5M(Fr)00.02690.1040.039-0.082-0.164-0.354-0.435-0.397-0.245题2-12c图2-13 作图2-44所示刚架的弯矩图解a): FAx=3ql, FAy=2.25ql, FBy=2.25ql,题2-13a图解b): FAx=0, FAy=1.25ql, M=0.25ql2,题2-13b图解c): FAx=3kN, FAy=3kN, FCy=5kN题2-13c图解d): FAx=F, FAy=, FBy=题2-13d图3-1求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积A=400mm2。解a): 题3-1a)图解b): 题3-1b)图3-2图中为变截面杆，如果横截面面积A1=200mm2，A2=300mm2，A3=400mm2，求杆内各横截面上的应力。解a）: 题3-2a)图解b): 题3-2b)图3-3 图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即A=30cm2，载荷F=200kN。试求各杆横截面上的应力。解:(1)约束反力:(2)各杆轴力 题3-3图(3)各杆的正应力3-4钢杆直径为20mm，用来拉住刚性梁。已知F=10kN，求钢杆横截面上的正应力。解: 题3-4图3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm，试求两杆内的应力。设结构的横梁为刚体。解:取BC段分析， 题3-5图 取AB段分析: 3-6 直径的圆轴，受到扭矩的作用。试求在距离轴心处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。解:见例3-33-7 阶梯圆轴上装有三只齿轮。齿轮1输入功率，齿轮2和齿轮3分别输出功率。如轴作匀速转动，转速，求该轴的最大切应力。 题3-7图解:3-8 设圆轴横截面上的扭矩为，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、方向和作用点。解: 题3-8图3-9图中所示一个矩形截面的悬臂梁，受到集中力和集中力偶的作用，试求1-1截面和固定端截面上A、B、C、D四点的正应力，已知F=15kN，M=20kNm解: 1-1截面上 固定端截面上: 题3-9图3-10 图中所示铸铁梁，若h=100mm，=25mm,欲使最大拉应力与最大压应力之比为1/3，试确定b的尺寸。解: 题3-10图3-11某托架如图所示，m-m截面形状及尺寸见图b，已知F=10kN，试求：（1）m-m截面上面的最大弯曲正应力；（2）若托架中间部分未挖空，再次计算该截面上的最大弯曲正应力题3-11图解：m-m截面上弯矩为： （1） （2）3-12试计算在图中所示均布载荷作用下，圆截面简支梁内最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处?解:最大正应力发生在梁中点截面的A、B两点，最大剪应力发生在梁中点截面的CD直径上。 题3-12图3-13 试计算图中所示工字型截面梁内的最大正应力和最大切应力。解: 题3-13图3-14 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，F=800N，试求胶合面上的切应力和横截面上的最大切应力。解:题3-14图、3-15一钢制圆轴，在两端受平衡力偶的作用，其力偶矩为T=2.5kNm，已知轴的直径为d=600mm，试求该横截面上的最大切应力。如果将实心圆轴改为外直径D与内直径d之比为1.5的空心圆轴，仍然受到同样大小的力偶矩的作用，试求使空心圆周和实心圆轴的max相等时，空心圆轴比实心圆轴节省多少材料。解：实心：空心：所以 3-16图中所示为两根悬臂梁，a梁为两层等厚度的梁自由叠合，b梁为两层等厚度的梁用螺栓紧固成为一体，两梁的载荷，跨度，截面尺寸都一样，试求两梁的最大正应力max之比。题3-16图解：a梁：每层梁所受 b梁：只有一层 3-17有一矩形截面的钢杆其截面尺寸为，在杆的两端作用着一对大小为的力偶矩作用，。试求作用杆横截面上的最大切应力。解：矩形截面扭转其中b=50mm，h/b=100/50=2，3-18圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径为，弹簧平均直径为。如弹簧所受拉力，试求簧丝的最大切应力。3-19试求图3-60中杆横截面上的最大正应力。已知，。扭弯组合3-20矩形截面折杆，受图3-61所示的力F作用。已知，。试求竖杆内横截面上的最大正应力，并作危险截面上的正应力分布图。题3-20图解:竖杆A截面上的弯矩和轴力为: 3-21柱截面为正方形，受压力F作用。若柱右侧有一个槽，槽深为，试求：（1）、开槽前后柱内最大压应力值及其所在位置；（2）、如在柱左侧（与右侧相对）再开一个相同的槽，此时柱内压应力有多大？解:(1)开槽前轴向压应力（2）右侧开槽后为偏心受压，作用于点c距形心z轴的距离Yc=,将力向点O简化 题3-21图所以：最大压应力在槽底上各点：（3）如果在左侧也开槽，则为轴心受压：3-22图示短柱受载荷和作用，试求固定端角点A、B、C及D的正应力，并确定其中性轴的位置。题3-22图解：在ABCD平面上的内力： 横截面的几何特性：应力计算：中性轴方程为：3-23图3-64所示为一简易悬臂式吊车架。横梁AB由两根10号槽钢组成。电葫芦可在梁上来回移动。设电动葫芦连同起吊重物的重量共重。材料的。试求在下列两种情况下，横梁的最大正应力值：（1）、只考虑由重量W所引起的弯矩影响；（2）、考虑弯矩和轴力的共同影响。题3-23图解：当电动葫芦运行到AB中点时，梁AB中弯矩最大。（1）只考虑由重量W所引起的弯矩影响(2)考虑轴力与弯矩共同影响AB所受轴力：3-24图3-65所示为一矩形截面柱，受压力F1和F2作用，F1=100kN，F2=45kN。F2与轴线有一个偏心距。试求与。欲使柱截面内不出现拉应力，问截面高度应为多少？此时的最大剪应力为多大？题3-24图解：A-A截面上内力为：截面的几何性：欲使柱截面内不出现拉应力,则有：0 （a）分别代入（a）式得：解之得：此时：MPa3-25 传动轴上装有甲、乙两个皮带轮，它们的直径均为，重量均为，其受力情况如图示。若轴的直径为。试分析该轴的危险截面和危险点，计算危险点的应力大小，并用图形标明该点所受应力的方向。题3-25图解：计算简图如图a)所示， Fay=1kN, Fcy=13kN, Faz=Fcz=4kN轴的扭矩图、水平面内和垂直平面内的弯矩图分别如图b)、c)和d)所示。轴截面的几何特性计算：危险点在B截面上的E1和E2点上，3-26 一圆截面悬臂梁，同时受到轴向力、横向力和扭转力矩的作用。（1）、试指出危险截面和危险点的位置。（2）、画出危险截面上危险点的应力方向示意图。题3-26图解：危险点在B截面的最上和最下面的两点上。3-27 图3-68为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功率，转子转速，转子重量。砂轮直径，砂轮重量。磨削力，砂轮轴直径，材料为轴承钢。试表示危险点的应力方向，并求出危险点的应力大小。题3-27图解：计算简图如图所示， 电机传递的扭矩 根据力矩平衡：内力图如图所示。截面的几何特性计算：危险点面在A面的D1和D2点，则合成弯矩为：3-28 圆截面短柱，承受一与轴线平行但不与轴线重合的压载荷F作用，圆截面半径为r，现要求整个截面只承受压应力，试确定F作用的范围。解：压力引起的压应力：而 解之得 Zc=4-1 图4-13所示钢杆横截面面积为，如果，钢杆的弹性模量，求端面的水平位移。解：（一）绘制轴力图 （二）计算： 题4-1图4-2拉杆如图4-14所示，求该杆的总伸长量。杆材料的弹性模量。题4-2图解：4-3 相同材料制成的杆和杆（图4-15），其直径之比为，若使刚性杆保持水平位置，试求的大小。解：（一） 求反力（二） 根据条件求解 题4-3图4-4 图4-16所示一均质杆，长为，横截面面积为，杆重，材料的弹性模量为，求杆端及中间截面在自重作用下的位移。解，如图 题4-4图4-5 试计算以下各题刚性梁的处位移（图4-17）。其它杆件为弹性杆，刚度。（a）4-5（b）4-5（c）4-6 求图4-18所示节点的水平位移和竖向位移。杆和杆的抗拉刚度相同。解： 题4-6图4-7 在图4-19所示结构中，为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量，已知，。试求点的水平位移和铅直位移。 解：4-8 求习题3-6中的单位长度扭转角。已知 G=90Gpa。解：4-9 求习题3-7中的最大单位长度扭转角和齿轮1和齿轮3的相对扭转角。已知齿轮1和齿轮2的间距为0.2m，齿轮2和齿轮3的间距为0.3m，G=90Gpa。解：4-10 一钻探机的功率7.355，转速，钻杆外径，内径，钻入土层，如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶（图4-20），试求此杆两端面的相对扭转角。钻杆。解：4-11 一直径的钢圆杆，受轴向拉力作用时，在标距为的长度内伸长了。当它受一对矩为的外力偶作用而扭转时，在标距长度内相对扭转了的角度，求钢杆的、。解：4-12 全长为，两端面直径分别为和的圆锥形杆，两端各受力偶作用而扭转（图4-21），求两端面间相对扭转角。解：4-13 求例3-5中的单位长度扭转角。已知G=80Gpa。解：已知：h=100mm，b=45mm，T=2kNm，G=80GPa；4-14 用积分法求图4-22所示各梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角。各梁均为常数。（a）解：由挠曲线方程：（b）解：4-15 用叠加法求图4-23所示梁的及。设均为已知常数。（a）解：4-15(b)解4-16 用叠加法求图4-24所示梁的最大挠度和最大转角。4-16(a) 解4-16（b）解4-16（c）解4-16(d) 题4-16(d)图4-16(e) 题4-16(e)图4-16(f) 题4-16(f)图4-17 工字形截面的简支梁受载如图4-25所示，求最大挠度。解： 题4-17图4-18 用叠加法求图4-26所示杆截面沿铅垂方向位移。已知各杆抗弯刚度。4-18(a)解题4-18a）图4-18(b)解 题4-18b）图4-19 用叠加法求图4-27所示折杆自由端的铅垂位移、水平位移和转角。已知为常数，不考虑轴力的影响。解：76804.546.0076851283)241483(11283)61163(11283128302,0)61163(1)2183(1)(120,2812,0283MQ,)3(38476476)(6)(66)()()2(128336496416)2)(6)2)(66)()()1(4maxmax423433323130132121max2maxmax203432342020432qlwlxwwEIqlwxEIqlqlqlxEIwEIqlqxqlxEIEIqlCEIqlxlxCqxqlxEICdxqxqlxEICdxxMEIlMllxqlxlxqxqlxMwwwEIqllEIlqdxxxlEIlqdxxlxlxEIlqEIlxlxlxqdxdEIqllEIlqxlxxlEIlqdxxlxlxEIlqdxxlxlxEIlqEIlxllxlxqdxdxxlxxxxClBBBllAAA-=-=-=-=-=-=+-=+-=+=-=-=+-=+-=-=-=5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。（a）（b）（c）（d）题5-1图 解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。 c) 1) 危险点： A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点； 2）应力状态见下图。d) 1）危险点：杆件表面上各点； 2）应力状态见下图。a)b)c)d)5-2试写出图5-27所示单元体主应力1、2和3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。c)b)a)题5-2图解： a) =50 MPa, =0,属于单向应力状态 b) =40 MPa, =0, =30 MPa，属于二向应力状态 c) =20 MPa, =10 MPa, =30 MPa，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。c)b)a)题5-3图解：a) 取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知： =50MPa , =30MPa , =0, =30 带入式（5-3），（5-4）得 =45MPa= -8.66MPab) 取水平轴为x轴，根据正负号规定：= -40MPa , =0 , =20 MPa , =120带入公式，得：=7.32MPa=7.32MPac) 取水平轴为x轴，则= -10MPa , =40MPa , = -30MPa,=30代入公式得：=28.48MPa=-36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa）。试用解析法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。a)c)b)题5-4图a) 解：（1）求指定斜截面的上应力 取水平轴为x轴，则 =100MPa , =40MPa , =40MPa,=45 带入公式，得: =30 MPa= 30MPa (2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：= MPa按代数值 得 MPa， MPa， MPa 由公式（5-7）可求得主应力方向 = ，= 最大主应力的方向与x轴正向夹角为逆时针3）最大切应力 由公式（5-20） MPa b）解： （1） 求指定斜截面上的应力 取水平轴为x轴，=60MPa , = -20MPa , = -30MPa,= -30代入公式得:=-14.02MPa= -49.64MPa(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：MPa按代数值 得 MPa， MPa， MPa 由公式（5-7）可求得主应力方向 = ，= 最大主应力的方向与x轴正向夹角为逆时针 如图所示：3）最大切应力 由公式（5-20） MPac)解:取水平轴为x轴，则=60MPa , =0 , = -40MPa,= -150代入公式得：=79.64MPa=5.98Mpa(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：MPa按代数值 得 MPa， MPa， MPa 由公式（5-7）可求得主应力方向 = ，= 最大主应力的方向与x轴正向夹角为逆时针 如图所示：3）最大切应力 由公式（5-20） 5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。试用图解法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。c)b)a)题5-5图解：(1)求指定斜截面上的应力由图示应力状态可知=40MPa , =20MPa , =10MPa, =-10MPa 由此可确定-面内的D、D两点，连接D、D交于C 。以C 为圆心，DD为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60，在应力圆上，由D逆时针量取120得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：=60MPa，=3.7MPa（2）求主应力及其方程应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：=44.14MPa，= 15.86Mpa按照 得约定，可得三个主应力为： =44.14MPa， =15.86MPa， =0MPa由D转向A 的角度等于2。量得 2=45（顺时针）因此，最大主应力与x轴正方向夹角为顺时针22.5。（3）最大切应力等于由画出的应力圆的半径=22.07MPab)解：首先做应力圆：其中 D（0，-20） D（50，+20）1）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从D逆时针量2=90得E点： =5MPa，=25Mpa 2) =57MPa， = -7Mpa 按照得 =57MPa， =0MPa， = -7MPa 主应力方向：最大主应力与y轴夹角为（顺）3) 最大切应力等于由画出的应力圆的半径： MPa(c)解： 由图示应力状态可得应力圆上两点D（-20，20）和 D（30，-20） 连DD交轴于C, 以C为圆心，DD为直径作圆， 即为应力圆，如图所示1） 斜截面与x轴正方向夹角为 60 (顺), 因此由D顺时针量120得E点 =34.82MPa， =11.65MPa2） 主应力及其方位 应力圆与轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力： =37MPa， = -27Mpa 因此 =37MPa， =0MPa， = -27MPa由D到A的夹角为逆时针38.66，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力。 3） 最大切应力为由画出的应力圆半径MPa5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。试求：(1)梁上各指定点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。题5-6图解：1） 各点的单元体及应力由梁的静力平衡求得kNA,B,C三点所在截面上的弯矩Nm剪力 kNPa=93.75MPa（压应力）MPa（压应力） MPaMPa2） 作各单元体的应力圆A点：MPa，=46.875MPaB点： MPa，MPa，=27.3MPaC点： 18.75MPa，0，= -18.75 MPa，=18.75MPa5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa）。c)a)b)题5-7图解：a) 主应力 MPa， 由于其它两方向构成纯剪切应力状态，所以有， =50MPa。b) 一个主应力为50MPa，其余两个方向应力状态如图所示 =30MPa， = -20MPa，=20MPa 代入公式（5-8） MPa所以 =50MPa， =37MPa， = -27MPa =MPab) 一个主应力为-30MPa，其余两/auction/35-50005958-50005962/item_detail-0db1-937fe7561f213e622409356568e36c98.jhtml方向应力状态如图所示取 =120MPa， = 40MPa，=-30MPa代入公式MPa所以 =130MPa， =30MPa， =-30MPa=MPa5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。题5-8图解： a) 三个主应力为 三向应力圆可作如下 b) 这是一个纯剪切应力状态 其三向应力圆为 =三向应力状态：一个主应力为零先做一二向应力状态的应力圆，得再由和分别作应力圆三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa）。题5-9图解： 画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则 =？ , =50MPa , =？，=30时=80MPa, =0 代入式（5-3）（5-4） =80Mpa=0=70MPa , = MPa可做应力圆如图所示由应力圆可求的三个主应力分别为 =80MPa， =40MPa， =0MPa最大切应力为=40MPa5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。试求切应力和三个主应力。题5-10图解：画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴则=15MPa , = -15MPa , =，=135时=0, =0 代入式（5-3）（5-4） =0=0 (自然满足)由上式解得=15MPa主应力可由公式（5-8）求MPa因此三个主应力为 ： =0， =0， =-30MPaMPa5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为MPa）。试画出单元体的受力图，并指出应力圆上A点所在截面的位置。c)b)a) d) e) f) 题5-11图5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知：。试求主应力和最大切应力。题5-12图解： =80MPa , =40MPa , =，=50MPa, =60 将以上已知数据代入公式（5-3） =0 再把，代入公式（5-8）求主应力 MPa因此三个主应力为 ： =80 MPa， =40 MPa， =-0MPa=40MPa5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面和上的应力分别为；。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径R。题5-13图解： 已知=40MPa,=200MPa,=60MPa,=60MPa由上面两组坐标可得应力圆上两点D1,D2,连D1D2,作其垂直平分线交轴于C点，以C为圆心，CD为半径作圆即为所求应力圆。由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0) 半径 =1005-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任意两互垂方向的线应变和。试求所受拉力F。已知材料弹性常数E、，圆杆直径d。题5-14图解： 围绕K 点取单元体，两截面分别沿 和” 方向。 如下图所示 由广义胡克定律 联求解得 我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面截取 根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得： 又= 所以 F=A=5-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30方向的线应变。试求外力偶矩T。已知圆轴直径d ,弹性模量E和泊松比。题5-15图解： 围绕K点沿30方向和与之垂直的方向取单元体如左图 由沿横纵截面单元体如右图 由公式（5-3、5-4)得: 由胡克定律 又=， 所以5-16一刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为101010mm3，铝材的弹性模量E=70GPa，=0.33。试求铝块受到F=6kN的作用时，铝块的三个主应力及相应的变形。题5-16图解： F力作用面为一主平面，其上的正应力为 MPa = -60MPa 前后面为自由表面，也为主平面，=0 由题意知=0 由胡克定律 = 所以 = = 所以 5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45方向的正应变，空心圆轴外径为D ,内外径之比为。试求外力偶矩T。材料的弹性常数E、均为已知。题5-17图解： 受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上45和135面上主应力取得极大值和极小值，为主平面，=， = - 由胡克定律 = 代入化简得 所以 = 由受扭圆轴表面上一点剪应力公式 5-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45方向的线应变，材料的弹性模量,。试求梁上的载荷F之值。题5-18图解： K点的应力状态如图所示 其中由公式（3-40） 求得 又K点有，135方向有，代入到胡克定律 有 Pa 比轴两式有=48000N=48kN5-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A点在与水平线成60方向上的正应变，直径d=20mm，材料的弹性模量。试求载荷F。题5-19图解： A点应力状态如图所示 由公式（5-3） 由胡克定律 又=所以=37233.7N=37.23 kN5-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时AB线段长度的改变量。已知：AB原长为a，与轴线成45，B点在中性层上，梁高为h，宽为b，弹性模量为E，泊松比为，弯矩为M。题5-20图解： 求AB 的伸长量需先求AB方向的应变，去AB中点位置C其应力状态如图所示，其中= =由此可求出AB 方向及与其垂直方向的正应力 由胡克定律 5-21 用45应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为0=-26710-6, 45=-57010-6及90=7910-6。构件材料为Q235钢，E=210GPa，=0.3。试求主应变，并求出该点处主应力的数值和方向。解： 由公式（5-36） 可求主应力：=MPa由公式（5-34）求主应变，在此之前先由(5-33)求代入（5-34） 主应力与主应变同方向：由 （5-35）： 20=70，0=355-22 在某液压机上横梁的表面某点处，用45应变花测得0=51.610-6, 45=16910-6及90=-11710-6。上横梁的材料为铸铁，E=110GPa，=0.25。试求该点处主应力的数值和方向。解： 由公式（5-36） MPa 所以=14.44MPa, =0, =-24.03MPa 主应力方向 =2.393 20=67.32, 0=33.665-23单元体受应力如图5-46所示（应力单位为MPa）。试：(1)作三向应力图，并比较两者的；(2)将单元体的应力状态分解为只有体积改变及只有形状改变的应力状态；(3)求图5-46b所示应力状态的形状改变比能（）。题5-23图a) 解：1) 作三向应力状态的应力圆 =73.3MPa MPa MPa MPa MPa b) MPa MPa MPa MPa MPa =36.617103 J/m35-24试证明圆轴纯扭转时无体积改变。解： 纯剪切应力状态因为 所以而第三向主应力本来就是零，因此体积变形比能与成正比，所以7-1 两端铰支的圆截面受压钢杆（Q235钢），已知(图7-10)，材料的弹性模量。试求该压杆的临界力。解： 题7-1图7-2 图7-11所示压杆为工字形钢，已知其型号为18、杆长、材料弹性模量，试求该压杆的临界力。解：查表得I18， 所以取计算 题7-2图7-3 图7-12所示为三个支承情况不同的圆截面压杆，已知各杆的直径及所用材料均相同，问哪个杆的临界力最大？题7-3图解：所以第三种情况的临界应力最大。7-4 一矩性截面压杆，在图7-13所示平面内两端均为铰支，出平面内两端均不能转动（图示为在平面内的支承情况），已知，问压力F逐渐增大时，压杆将于哪个平面内失稳？解：（1） 图示平面内 （2） 出平面内 所以出平面内容易失稳。 题7-4图7-5 图7-14所示为槽形型钢受压杆，两端均为球铰。已知槽钢的型号为16，材料的比例极限，弹性模量。试求可用欧拉公式计算临界力的最小长度。 解：查表得16a的iy=1.83cm=0.0183m lmin=1.82m 题7-5图7-6 图7-15所示结构由两根圆截面杆组成，已知两杆的直径及所用的材料均相同，且两杆均为大柔度杆，问：当F（方向垂直向下）从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑在平面内）解： 题7-6图所以 BC杆先失稳。7-7 试由压杆的挠曲线近似微分方程，推导两端固定杆的欧拉公式。解：计算简图如图所示。变形对中点对称，上、下两端的反作用力偶矩同为m，水平反力皆等于零。挠曲线的微分方程是令 ，上式可以写成方程式的通解为： (1)y的一阶导数为： （2） 题7-7图两端固定杆件的边界条件是x=0时， y=0, x=l时， y=0, 将以上边界条件代入（1）式和（2）式，得由（3）式得出：满足以上两式的根，除外，最小根是，或 （4）由（1）式，求得压杆失稳后任意截面上的弯矩是由（3）式的第一和第二式解出A和B，代入上式，并注意到（4）式，得 当或时，M=0。所以在图中，C、D两点的弯矩等于零。7-8 对两端铰支，由Q235钢制成的圆杆，杆长应比直径大多少倍时才能