立体几何中空间角的求法.doc

立体几何中空间角的求法安徽省寿县正阳中学周多民 NO：200701126 空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0 q 90、0 q 90、0 q 180。空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面举例说明。一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体中，已知，。、分别是线段、上的点，且。求直线与所成的角的余弦值。（04高考广东18（2）思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把与所成角看作向量的夹角，用向量法求解。思路二：平移线段C1E让C1与D1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）解法一：以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D1（0，3，2）、E （3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2），于是设EC1与FD1所成的角为，则： 直线与所成的角的余弦值为解法二：延长BA至点E1，使AE1=1，连结E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1/E1E， D1C1=E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边形。则E1D1/EC1于是E1D1F为直线与所成的角。在RtBE1F中，。在RtD1DE1中， 在RtD1DF中，在E1FD1中，由余弦定理得：直线与所成的角的余弦值为。可见，“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线l1、l2的夹角的余弦为： 。二、直线和平面所成的角斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设为直线l与平面所成的角，为直线l的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（图2）图2特别地 时，；时，或。图3例2如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。解 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立直角坐标系，设，则， ， ， ， 点E在平面ABD上的射影是的重心G， 平面ABD， ，解得 。 ， ， 平面ABD， 为平面ABD的一个法向量。由 得 ， 与平面ABD所成的角为 ，即 。评析 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足。一般地，设n是平面M的法向量，AB是平面M的一条斜线，A为斜足，则AB与平面M所成的角为：。三、二面角的求法：1几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：直接利用定义，图4（1）。利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用。作棱的垂面，图4（3）。AOBMNababAOPABOPab4（1）4（2）4（3）图4另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；2向量法：从平面的法向量考虑，设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有或 （图5）图5如果AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。例3如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱， D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。解 取BC的中点O，连AO。由题意 平面平面，平面，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 图6则 ， ， ， ，由题意 平面ABD， 为平面ABD的法向量。设 平面的法向量为 ，则 ， ， ，即 。 不妨设 ，由 ，得。 故所求二面角的大小为。评析在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。小结：1空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解。平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况。2几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。3向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。练习：1、（01天津）如图，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox/BC，Oy/ABE为VC中点，正正四棱锥底面边长为2a，高为h。（）求（）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角VC的平面角，求BED2（04高考四川卷）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：（1）CD平面BDM；（2） 求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。练习答案：1、解：（I）由题意知B（a，a，0），C（a，a，0），D（a，a，0），E 由此得由向量的数量积公式有（II）若BED是二面角VC的平面角，则，即有=0又由C（a，a，0），V（0，0，h），有且即这时有2、分析：要证CD平面BDM，只需证明直线CD与平面BDM内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或转化为 两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。解法一：（1）如图连结CA1、AC1、CM，则CA1=。为等腰三角形。又知D为其底边的中点，CDA1B。 A1C1=1，C1B1=。A1B1=。又BB1=1，A1B=2。为直角三角形，D为A1B的中点，又CDMCC1M， A1B、DM为平面BDM内的两条相交直线，CD平面BDM。（2）F 、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则CD，FG=CD，FG=，FGBD，由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知，BB1