（试题 试卷 真题）专题七 第2讲

第2讲不等式选讲【高考考情解读】本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查学生的基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想1 算术几何平均不等式(a10，a20，an0)2 绝对值三角不等式定理1如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立3 绝对值不等式的解法(1)|x|aaxaxa或xa.(2)|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c的解法有三种：根据绝对值的意义结合数轴直观求解；用零点分段法去绝对值，转化为三个不等式组求解；构造函数，利用函数图象求解4 证明不等式的基本方式(1)比较法作差或作商比较(2)综合法根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论(3)分析法执果索因的证明方法(4)反证法反设结论，导出矛盾(5)放缩法通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法(6)数学归纳法证明与正整数有关的不等式5 一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立.考点一含绝对值不等式的解法例1(2013辽宁)已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3. (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法 (1)若不等式|x1|x2|a无实数解，则a的取值范围是_答案(，3解析由绝对值的几何意义知|x1|x2|的最小值为3，而|x1|x2|a无解，a3.(2)(2012陕西)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_答案2,4解析利用绝对值不等式的性质求解|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.(3)(2013课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x1，则，f(x)|2x1|2xa|当x时，f(x)a1，即a1x3在x上恒成立a13，即a，a的取值范围为.考点二证明不等式例2已知a，b为正实数(1)求证：ab；(2)利用(1)的结论求函数y(0x0，b0，(ab)a2b2a2b22ab(ab)2.ab，当且仅当ab时等号成立方法二(ab).又a0，b0，0，当且仅当ab时等号成立ab.(2)解0x0，由(1)的结论，函数y(1x)x1.当且仅当1xx，即x时等号成立函数y(0x1)的最小值为1. (1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与0比较；结论关键是代数式的变形能力(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式或绝对值不等式的性质证明 (2013课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.考点三不等式的综合应用例3(1)(2013陕西)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_答案2解析由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时“”成立，得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.(2)已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c2()26，并确定a，b，c为何值时，等号成立证明方法一因为a，b，c均为正数，由算述一几何平均不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以()29(abc).故a2b2c2()23(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立故当且仅当abc3时，原不等式等号成立方法二因为a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c2()2a2b2c2abbcac6.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立故当且仅当abc3时，原不等式等号成立 利用算术几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出算术几何平均不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立 (1)(2012湖北)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则等于()A. B. C. D.答案C解析通过等式找出abc与xyz的关系由题意可得x2y2z22ax2by2cz，与a2b2c210相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令，则xyz2(abc)，即.(2)已知函数f(x)|x2|x4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2b2c2n2p2q2m.求m的值；求证：2.解方法一f(x)|x2|x4|可得函数的最小值为2.故m2.方法二f(x)|x2|x4|(x2)(x4)|2，当且仅当2x4时，等号成立，故m2.证明(a2b2c2)2，即2(n2p2q2)24，故2.1 对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法2 使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x2|x4|(x2)(x4)|6.3 易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算述一几何平均不等式、柯西不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件1 若不等式|x1|x3|m1|恒成立，则m的取值范围为_答案3,5解析|x1|x3|(x1)(x3)|4，不等式|x1|x3|m1|恒成立，只需|m1|4，即3m5.2 设函数f(x)|x3|xa|，如果对任意xR，f(x)4，求a的取值范围解若a3，则f(x)2|x3|，不满足题设条件；若a3，则f(x)f(x)的最小值为a3，所以对任意xR，f(x)4的充要条件是|a3|4，解得a7或a1.故a的取值范围为(，17，)3 设函数f(x)|2x1|，xR.(1)不等式f(x)a的解集为x|0x1，求a的值；(2)若g(x)的定义域为R，求实数m的取值范围解(1)由已知得|2x1|a，即a2x1a，所以x，因为不等式f(x)a的解集为x|0x1，所以解得a1.(2)由g(x)的定义域为R知，对任意实数x，有|2x1|2x1|m0恒成立，因为|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，所以m20.所以m2，即实数m的取值范围为(2，) (推荐时间：40分钟)一、填空题1 (2013江西)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_答案0,4解析由|x2|1|1得1|x2|11，解得0x4.不等式的解集为0,42 (2013山东)在区间3,3上随机取一个数x使得|x1|x2|1成立的概率为_答案解析由绝对值的几何意义知：使|x1|x2|1成立的x值为x1,3，由几何概型知所求概率为P.3 已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，则集合AB_.答案x|2x5解析由|x3|x4|9，当x3时，x3(x4)9，即4x4时，x3x49，即4x5.综上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，当且仅当t时取等号Bx|x2，ABx|2x54 设f(x)x2bxc，不等式f(x)f(1t2)，则实数t的取值范围是_答案(3,3)解析x2bxc0且1,3是x2bxc0的两根则函数f(x)x2bxc图象的对称轴方程为x1，且f(x)在1，)上是增函数，又7|t|71,1t21，则由f(7|t|)f(1t2)，得7|t|1t2，即|t|2|t|60，亦即(|t|2)(|t|3)0，|t|3，即3t3.5 设a，b，c为正数，且a2b3c13，则的最大值为_答案解析由柯西不等式可知，(a2b3c)()2，a2b3c13，()2，当且仅当时取等号，又a2b3c13，a9，b，c时，取得最大值.二、解答题6 (2012江苏)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.7 (2013福建)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A，(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解(1)因为A，且A，所以a，且a，解得0；(2)若f(x)3|x4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围解(1)当x4时，由f(x)2x1(x4)x50，得x5，所以x4；当x0，得x1，所以1x4；当x0，得x5，所以x1或x5(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|2x12x8|9，当x4时等号成立所