高考数学一轮复习专题02命题及其关系、充分条件与必要条件（含解析）.docx

专题02命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.基础知识融会贯通1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp【知识拓展】从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若AB，则p是q的充分条件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件重点难点突破【题型一】命题及其关系【典型例题】原命题：“设a、b、cR，若ab，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A0个B1个C2个D4个【解答】解：原命题：若c0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：ac2bc2知c20，由不等式的基本性质得ab，逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，有2个真命题故选：C【再练一题】下列命题：xR，不等式x2+2x4x3成立；若log2x+logx22，则x1；命题“”的逆否命题；若命题p：xR，x2+11，命题q：xR，x22x10，则命题pq是真命题其中真命题只有（）ABCD【解答】解：不等式x2+2x4x3可化为x22x+3（x1）2+20由实数的性质我们易得该不等式恒成立，故为真命题；log2x+logx22，则log2x0，即x1，故为真命题；根据不等式的性质，成立，由原命题和其逆否命题真假性一致，故为真命题；根据实数的性质，命题p：xR，x2+11为真命题，命题q：xR，x22x10也为真命题，则q是假命题则命题pq也是假 命题，故为假命题；综上，为真命题故选：A思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假【题型二】充分必要条件的判定【典型例题】“a2”是“复数z（aR）为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：复数za2+（a+2）i（aR）为纯虚数，则a20，a+20“a2”是“复数z（aR）为纯虚数”的充要条件故选：C【再练一题】已知命题p：“”，命题q：2019x2019，则p是q的什么条件（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：解分式不等式得：x0或x1，即命题p：x0或x1，解指数不等式2019x2019得：x1，即命题q：x1，即p是q的必要不充分条件，故选：B思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题【题型三】充分必要条件的应用【典型例题】已知集合Ax|x22x30，Bx|（xm+1）（xm1）0（1）当m0时，求AB；（2）若p：x22x30，q：（xm+1）（xm1）0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围【解答】解：（1）Ax|x22x30x|1x3，Bx|（x+1）（x1）0x|x1或x1ABx|1x3 （2）由于命题p为：（1，3），而命题q为：（，m1m+1，+），又q是p的必要不充分条件，即pq，所以 m+11或m13，解得 m4或m2即实数m的取值范围为：（，24，+） 【再练一题】设p：实数x满足x24ax+3a20，q：实数x满足|x3|1（1）若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由x24ax+3a20得（x3a）（xa）0当a1时，1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3由|x3|1，得1x31，得2x4即q为真时实数x的取值范围是2x4，若pq为真，则p真且q真，实数x的取值范围是2x3（2）由x24ax+3a20得（x3a）（xa）0，若p是q的充分不必要条件，则pq，且qp，设Ax|p，Bx|q，则AB，又Ax|px|xa或x3a，Bx|qx|x4或x2，则0a2，且3a4实数a的取值范围是思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验基础知识训练1有如下命题：函数中有三个在上是减函数；函数有两个零点；若，则其中真命题的个数为 （ ）A B C D【答案】D【解析】由题函数中，根据函数的单调性易知，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故正确；令函数=0化简：=x+2，作出图像有两个交点，故由两个零点；正确；若，因为 为单调递减函数，所以故正确.故选D2下列关于命题的说法错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C命题“，使得”的否定是“，均有”D“若的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=21时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以，使得的否定是，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.3下列命题中真命题的是 A若为假命题，则p，q均为假命题B“”是“”的充要条件C命题：若，则的逆否命题为：若，则D对于实数x，y，p：，q：，则p是q的充分不必要条件【答案】D【解析】若为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故A错误；若，则，可得，反之不成立，故B错误；命题：若，则的逆否命题为：若，则，故C错误；对于实数x，y，p：，q：，由，可得，即p可得q，反之由q推不到p，则p是q的充分不必要条件，故D正确故选：D4下列有关命题的叙述错误的是A命题“”的否定是“”B已知向量，则“”是“”的充分不必要条件C命题“若，则的逆否命题为“若，则”D“”是的充分不必要条件【答案】B【解析】命题“”的否定是“”，故正确；向量，则，则“”是“”的必要不充分条件，故错误；“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故正确；，可得的充分不必要条件，故正确故选B5设是方程的两个不等实根，记.下列两个命题：数列的任意一项都是正整数；数列第5项为10. ( )A正确，错误 B错误，正确C都正确 D都错误【答案】A【解析】因为是方程的两个不等实根，所以1，因为，所以，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和，又1，所以，以此类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故正确；错误；因此选A6下面命题正确的是A若，则B命题“”的否定是“”C若向量满足，则的夹角为钝角D“”是“”的必要不充分条件【答案】D【解析】对于A选项，当为负数时，不成立，故为假命题.对于B选项，特称命题的否定是全称命题，故B选项错误.对于C选项，当两个向量可能反向，夹角为，不是钝角，故C选项错误.“”不能推出“”，“”则一定满足“”，故“”是“”的必要不充分条件，故D选项是真命题.故选D.7下列命题中正确的是（ ）A在中，为等腰三角形的充要条件B“”是“”成立的充分条件C命题“”的否定是“”D命题“若，则”的逆否命题是“若，则”【答案】B【解析】当时，三角形为等腰三角形，但是，排除A选项.构造函数，故函数上单调递增，所以当时，即，故B选项正确.特称命题的否定是全称命题，不需要否定，故C选项错误.“”的否定应该是“”，故D选项错误.综上所述，本小题选B.8“是“直线与圆相切的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与圆，则圆心到直线得距离，即，即，即，即是“直线与圆相切的充分不必要条件，故选：A9函数上不单调的一个充分不必要条件是A B C D【答案】A【解析】所以 令因为函数上不单调即上由实数根a=0时，显然不成立，a0时，只需，解得 即a它的充分不必要条件即为一个子集所以选A10“”是“对任意恒成立”的A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：对任意恒成立，推不出，”是“对任意恒成立”的必要不充分条件故选：C11方程表示双曲线的一个充分不必要条件是A BC D【答案】B【解析】方程表示双曲线，选项是的充分不必要条件，选项范围是的真子集，只有选项符合题意，故选B12“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则，所以，即“”不能推出“”，反之也不成立，因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D13设：关于的方程有解；：函数在区间上恒为正值，则的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意知：即方程有解，所以，上恒成立，则，解得，所以的必要不充分条件.故选C.14设，直线，直线，则“”是“”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行，当时，若，则满足，由，解得，当时，成立，当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故所以的充要条件，故选C.15若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是A B C D【答案】B【解析】解：由，由，若“”是“”的充分而不必要条件，则，得.故选：B16已知其中a为常数，且若p为真，求x的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】，得，即命题p是真命题是x的取值范围是，若，则，若，则，若p是q的必要不充分条件，则q对应的集合是p对应集合的真子集，若，则满足，得，若，满足条件即实数a的取值范围是17已知命题；命题（1）若的必要条件，求实数的取值集合；（2）当时，若为真，为假，求实数的取值集合【答案】（1）（2）【解析】（1）时，舍时，舍时，得实数的取值集合为 （2）由题意可知一真一假时，真时对应集合为假时对应集合为，真时对应集合为假时对应集合为假时得真时得综上得实数的取值集合18已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足.() 若命题中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数的值；() 命题是命题的什么条件？【答案】（）（）充分不必要条件【解析】()若命题A为真命题，则，解得：，若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，即，解得：，又，实数的值为. （）命题成立的条件为.由，得，命题成立的条件为，命题是命题的充分不必要条件.19已知.（1）是否存在实数，使的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数，使的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由【答案】（1）不存在实数，使的充要条件（2）当实数时，的必要条件【解析】（1）.要使的充要条件，则，即 此方程组无解，则不存在实数，使的充要条件； （2）要使的必要条件，则，当时，解得； 当时，解得要使，则有，解得，所以，综上可得，当实数时，的必要条件20已知命题对数式）有意义；命题实数满足不等式.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）若的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】（1）由对数式有意义得：，解得：，即实数的取值范围是.（2）的充分不必要条件，是不等式解集的真子集.令，故只需，即，解得.即的取值范围是能力提升训练1已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合题意可知,而,得到解得,故可以推出结论,而当得到,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.2给出下列说法：“”是“”的充分不必要条件；定义在上的偶函数的最大值为30；命题“”的否定形式是“”.其中正确说法的个数为A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】对于，当时，一定有，但是当时，所以“”是“”的充分不必要条件，所以正确；对于，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以正确；对于，命题“”的否定形式是“”，所以是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.3角是的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是 ； ； ； ； A B C D【答案】D【解析】逐一考查所给的条件：由正弦定理可知；在ABC中，故；函数在区间上单调递减，故；当时，易知，则，当时，由于，故，据此可得：，据此可得：，综上可得：；当时，无意义，则均不是“”的充分必要条件.综上可得：“”的充分必要条件的个数是4.本题选择D选项.4已知抛物线C: ，直线，PA,PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，则“点P在直线上”是“PAPB”的( )条件A必要不充分 B充分不必要 C充要 D既不充分也不必要【答案】C【解析】（1）若,设，切线斜率显然存在且不为，设方程为代入中得到：，所以，由韦达定理可得，故在直线上；（2）若在直线上，设，切线方程为代入，可得，所以，故，“点在直线上”是“”的充要条件，故选C.5设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”，给出以下四个命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则. 其中真命题的个数为（ ）个A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】对于，由于f(3)=9时，可以使得f(4)9，f(4)4，f(5)5=25，所以为真命题；对于，若f(4)16，则f(5)25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)16，所以为真命题；对于，f(x)(x+1)x，f(x+1)(x+1)x，即有f(x+1)x，所以为真命题综上可得为真命题故选C6给出以下命题，其中真命题的个数是（ ）若“”是假命题，则“”是真命题；命题“若，则”为真命题；若，则！直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有3条；A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】命题“”是假命题，所以为真命题，是假命题。则“”是真命题，所以正确。命题“若，则”的逆否命题为 “若，则”，逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，所以正确。则 所以，所以正确。直线经过双曲线的右焦点。当直线与双曲线两支各交于一点时，若k=0，此时,所以当斜率发生变化