高考数学总复习 9.4空间的角课件 人教版.ppt

第四讲空间的角 二 线面角1 斜线在平面内的射影从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影 斜线上任意一点在这个平面内的射影 一定在斜线的射影上 定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 垂线段比任何一条斜线段都短 2 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫斜线和平面所成的角 直线与平面所成的角分三种情况 1 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线与这个平面所成的角 2 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是直角 3 一条直线与平面平行或在平面内 我们说它们所成的角是0 的角 3 最小角定理平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的角 是这条斜线与这个平面内任一条直线所成的角中最小的角 4 三线角公式如图所示 ao是平面 的斜线 a是斜足 ob 于b ac ao与 所成的角为 1 ab与ac所成的角为 2 ao与ac所成的角为 则cos cos 1cos 2 cos 1cos 2 cos 1cos 2 三 二面角1 二面角平面内的一条直线把平面分为两部分 其中的每一部分都叫做半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 2 二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角 叫做这个二面角的平面角 当二面角的两个半平面重合时 规定二面角为0 当二面角的两个半平面合成一个平面时 规定二面角为 因此二面角大小的范围是 0 注意 1 平面角是直角的二面角叫做直二面角 2 二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相对位置所确定的 与定义中点的位置的选择无关 二面角的平面角具有如下特点 顶点在棱上 两条边分别在两个面内 两条边都与棱垂直 3 确定二面角的平面角的方法 概括起来有如下几种 定义法 垂面法 利用三垂线定理等 答案 b 答案 d 3 已知正方形abcd 沿其对角线ac将 adc折起 设ad与平面abc所成的角为 当 取最大值时 二面角b ac d等于 a 120 b 90 c 60 d 45 答案 b 答案 60 5 设直线l 平面 过平面 外一点a作直线 则与l 都成45 角的直线有 条 解析 由最小角原理可知直线l必与所求直线在平面 内的射影平行或重合 为考虑问题方便 不妨设直线l就是所求直线在平面 内的射影 依题意构造如图所示的长方体 其中棱ab 1 bc 1 直线bc视为题中的直线l 平面bcd视为题中的平面 不难得知直线ac是满足题目限制条件的一条直线 在直线cb的延长线上取be bc 1 连接ae 则易知直线ae亦为满足题目限制条件的直线 因此满足题意的直线共有2条 答案 2 1 求证 平面cod 平面aob 2 当d为ab的中点时 求异面直线ao与cd所成角的正切值 自主解答 解法一 1 证明 由题意 co ao bo ao boc是二面角b ao c的平面角 又 二面角b ao c是直二面角 co bo 又 ao bo o co 平面aob 又co 平面cod 平面cod 平面aob 题后总结 求异面直线所成角的方法较多 路子较宽 但归纳起来都是通过平移构建平面角 然后通过解三角形来完成 由于平移的目的在于将角放置于一可解三角形中求解 所以出现中位线法 平行四边形法 补形法等形式 在解此类题目时 要注意积累和总结 必要时可采用一题多解 从中选优的手段以形成几类通法 b版 利用向量的夹角来求异面直线所成的角时 注意区别 当异面直线的向量所成的角为锐角或直角时 就是该异面直线所成的角 当异面直线的向量所成的角为钝角时 其补角才是异面直线所成的角 自主解答 1 证明 如图 取ac中点d 连结pd bd pa pc pd ac 又已知平面pac 平面abc pd 平面abc d为垂足 pa pb pc da db dc 故ac为 abc的外接圆直径 ab bc 题后总结 求直线与平面所成角的常用方法 1 定义法 关键是找斜线在平面内的射影 找射影的关键是找出过斜足外的点与此平面垂直的直线 或平面 2 最小角定理 cos cos 1 cos 2 如图 3 向量法 注意向量夹角与线面角的关系 1 求证 平面pcd 平面pac 2 求直线pb与平面pcd所成角的大小 2 解法一 由 1 知 pac是等腰直角三角形 取pc中点f 连结af 则af pc 又cd 平面pac cd af 故af 平面pcd 过p作pq ab 且pq ab ab cd pq cd 因此点q在平面pcd内 连结aq 则aq pb pb与平面pcd所成角等于aq与平面pcd所成角 题后总结 二面角是三种角中最复杂的一种 求解二面角的方法很多 其关键是求其平面角 本题图形结构非常简单明确 但要确定出所求二面角的平面角需要严格 复杂的证明 求二面角时 一定要先证后用 不加论证就断言所作 或找 的角就是所求二面角的平面角是常犯的知识性错误 因此 解答这类题一般都遵循 作 证 算 的基本步骤 而在证明平面角时 往往会用到线面垂直 向量法也是求二面角大小的有效方法 活学活用 2 2012唐山模拟 如图 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab 1 aa1 2 e为棱aa1上一点 且c1e 平面bde 1 求直线bd1与平面bde所成角的正弦值 2 求二面角c be d的余弦值 错解 如图所示 作pa 于a pb 于b 设平面pab l o 平面pab oa 平面pab ob pa pa l 同理pb l pa pb p l 平面pab l po l oa l ob aob是二面角 l 的平面角 错因分析 错解忽略了点p在平面 内的射影a b位置的判断 事实上 当二面角为钝角时 点b落在平面 的 反向延长面上 规范解答 当a b分别在 上时 如图所示 作pa 于a pb 于b 设平面pab l o 平面pab oa 平面pab ob pa pa l 当点a在面 上 b在半平面 为 的反向延长面 时 如图 同 1 作辅助线pa pb 确定的平面与l交于o 则pa l pb l 即l 平面pab l ao l ob aob 为二面角的平面角 poa 30 pob 45 aob 15 aob 165 即二面角为165 综上可知 所求二面角的大小为75 或165 状元笔记 求二面角的大小时 应根据题目的条件 正确地找出或作出平面角 再计算之 如果二面角大小不确定 需考虑全各种情况 防止漏解 错因分析 本题易出错的地方是误以为两个平面的法向量所成的角等于所求二面角的大小 在计算时对两个面的法向量和二两角的关系判断错误 在平面的法向量方向不同时把锐二面角的余弦值算出个负值 纠错体验 a b版共用 已知四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd 平面pcd 平面abcd e为pb上任意一点 o为菱形对角线的交点 如图所示 1 求证 平面eac 平面pbd 2 若 bad 60 当四棱锥的体积被平面eac分成3 1两部分时 若二面角b ae c的大小为45 求pd ad的值 证明 1 如图所示 过点b作bg ad于点g 由于平面pad 平面abcd 由面面垂直的性质定理 可知bg 平面pad 因为pd 平面pad 故pd bg 过点b作bh cd于点h 则pd bh 因为bg 平面abc