高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第七章 第四节 垂直关系课件 文.ppt

第四节垂直关系 1 直线与平面垂直 1 定义条件 直线l与平面 内的 一条直线都垂直 结论 直线l与平面 垂直 任何 2 判定定理与性质定理 相 交 l a l b a b a b a a b 平行 2 二面角 两个半平面 棱 面 垂直于 直角 3 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 定理 垂线 ab 交线 ab mn于点b 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 3 异面直线所成的角与二面角的取值范围均为 0 4 二面角是指两个相交平面构成的图形 5 若两个平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 6 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 解析 1 错误 直线l与平面 内的无数条直线都垂直时 直线l与平面 可平行 可相交 直线l也可在平面 内 2 正确 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 3 错误 异面直线所成角的范围是 0 而二面角的范围是 0 4 错误 二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 5 错误 若平面 平面 则平面 内的直线l与 可平行 可相交 也可在平面 内 6 错误 平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 不能保证该直线垂直于此平面 故不能推出 答案 1 2 3 4 5 6 1 设 为不重合的平面 m n为不重合的直线 则下列命题正确的是 a 若 n m n 则m b 若m n m n 则n c 若n n m 则m d 若m n m n 则 解析 选c c选项中 n n 又 m m 2 设a b c表示三条不同的直线 表示两个不同的平面 则下列命题中不正确的是 解析 选d 由a b a可得 b与 的位置关系有 b b b与 相交 所以d不正确 3 直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 解析 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 但a与b可能相交 也可能异面 答案 垂直 4 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如图 取ac的中点o 连接do bo 则do ac bo ac 故 dob为二面角的平面角 从而 dob 90 设正方形边长为1 则do bo 所以db 1 故 adb为等边三角形 所以 dab 60 答案 60 考向1直线与平面垂直的判定和性质 典例1 1 2013 海淀模拟 设l m n为三条不同的直 为两个不同的平面 下列命题中正确的个数是 若l m 则l m 若m n l m l n 则l 若l m m n l 则n 若l m m n 则l n a 1 b 2 c 3 d 4 2 2013 鹰潭模拟 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 pb bc pa ab 求证 pc 平面bde 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 思路点拨 1 根据线面平行 面面平行及线面垂直的判定定理和性质定理逐个判断 2 利用线面垂直的判定定理证明 证明bd 平面pac即可 规范解答 1 选b 对于 直线l m可能互相平行 不正确 对于 直线m n可能是平行直线 此时不能得l 不正确 对于 由 平行于同一条直线的两条直线平行 与 若两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 得知 正确 对于 由l m m 得l 由n 得n 因此有l n 正确 综上所述 其中命题正确的个数是2 故选b 2 de垂直平分线段pc pb pc de pc be pc 又be de e pc 平面bde 由 得 pc bd pa 底面abc pa bd 又pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq 互动探究 本例题 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 如何证明 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd 平面bdq 平面bdq 平面pac 拓展提升 1 判定线面垂直的四种方法方法一 利用线面垂直的判定定理 方法二 利用 两平行线中的一条与平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 方法三 利用 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则与另一个也垂直 方法四 利用面面垂直的性质定理 2 线面垂直性质的重要应用当直线和平面垂直时 则直线与平面内的所有直线都垂直 给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现出 平面中的两条相交直线 这一条件 变式备选 如图 几何体abcdpe中 底面abcd是边长为4的正方形 pa 平面abcd pa eb 且pa 2be 1 证明 bd 平面pec 2 若g为bc上的动点 求证 ae pg 证明 1 连接ac交bd于点o 取pc的中点f 连接of ef eb pa 且eb pa 又of pa 且of pa eb of 且eb of 四边形ebof为平行四边形 ef bd 又 ef 平面pec bd 平面pec bd 平面pec 2 连接bp eba bap 90 eba bap pba bea pba bae bea bae 90 pb ae pa 平面abcd pa 平面apeb 平面abcd 平面apeb bc ab 平面abcd 平面apeb ab bc 平面apeb bc ae 又 bc pb b ae 平面pbc g为bc上的动点 pg 平面pbc ae pg 考向2面面垂直的判定与性质 典例2 2013 惠州模拟 如图所示 abc为正三角形 ce 平面abc bd ce ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 思路点拨 1 由于ce 2bd 故可考虑取ce的中点f 通过证明 def adb来证明de da 2 证明面面垂直 应先证明线面垂直 规范解答 1 取ce的中点f 连接df ce 平面abc ce bc bd ce bd ce cf fe 四边形fcbd是矩形 df ec 又ba bc df rt def rt adb de da 2 取ac中点n 连接mn nb m是ea的中点 mn ce 由bd ce 且bd 平面abc 可得四边形mnbd是矩形 于是dm mn de da m是ea的中点 dm ea 又ea mn m dm 平面eca 而dm 平面bdm 平面bdm 平面eca 拓展提升 1 面面垂直的两个证明思路 1 用面面垂直的判定定理 即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 2 用面面垂直的定义 即证明两个平面所成的二面角是直二面角 把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 2 面面垂直的性质应用技巧两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 变式训练 2013 宝鸡模拟 如图 矩形abcd中 ab bc e f分别在线段bc和ad上 ef ab 将矩形abef沿ef折起 记折起后的矩形为mnef 且平面mnef 平面ecdf 1 求证 nc 平面mfd 2 若ec cd 求证 nd fc 证明 1 因为四边形mnef ecdf都是矩形 所以mn ef cd mn ef cd 所以四边形mncd是平行四边形 所以nc md 因为nc 平面mfd md 平面mfd 所以nc 平面mfd 2 连接ed 因为平面mnef 平面ecdf 且ne ef 所以ne 平面ecdf 所以fc ne 又ec cd 四边形ecdf为正方形 所以fc ed 又ne ed e 所以fc 平面ned 又nd 平面ned 所以nd fc 考向3垂直关系的综合应用 典例3 如图所示 m n k分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab cd c1d1的中点 求证 1 an 平面a1mk 2 平面a1b1c 平面a1mk 思路点拨 1 要证线面平行 需证线线平行 2 要证面面垂直 需证线面垂直 规范解答 1 如图所示 连接nk 在正方体abcd a1b1c1d1中 四边形aa1d1d dd1c1c都为正方形 aa1 dd1 aa1 dd1 c1d1 cd c1d1 cd n k分别为cd c1d1的中点 dn d1k dn d1k 四边形dd1kn为平行四边形 kn dd1 kn dd1 aa1 kn aa1 kn 四边形aa1kn为平行四边形 an a1k a1k 平面a1mk an 平面a1mk an 平面a1mk 2 连接bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab c1d1 ab c1d1 m k分别为ab c1d1的中点 bm c1k bm c1k 四边形bc1km为平行四边形 mk bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b1 平面bb1c1c bc1 平面bb1c1c a1b1 bc1 mk bc1 a1b1 mk 四边形bb1c1c为正方形 bc1 b1c mk b1c a1b1 平面a1b1c b1c 平面a1b1c a1b1 b1c b1 mk 平面a1b1c 又 mk 平面a1mk 平面a1b1c 平面a1mk 拓展提升 垂直关系综合题的类型及解法 1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 垂直与平行结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 垂直与体积结合问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 变式训练 2013 唐山模拟 如图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab的中点 d为pb的中点 且 pmb为正三角形 1 求证 dm 平面apc 2 求证 平面abc 平面apc 证明 1 m为ab中点 d为pb中点 dm ap 又dm 平面apc ap 平面apc dm 平面apc 2 pmb为正三角形 且d为pb中点 dm pb 又由 1 知dm ap ap pb 又ap pc pb pc p ap 平面pbc ap bc 又 ac bc ap ac a bc 平面apc 又bc 平面abc 平面abc 平面apc 满分指导 解决垂直关系综合问题的规范解答 典例 12分 2012 广东高考 如图所示 在四棱锥p abcd中 ab 平面pad ab cd pd ad e是pb的中点 f是dc上的点且df ab ph为 pad中ad边上的高 1 证明 ph 平面abcd 2 若ph 1 ad fc 1 求三棱锥e bcf的体积 3 证明 ef 平面pab 思路点拨 规范解答 1 由于ab 平面pad ph 平面pad 故ab ph 1分又 ph为 pad中ad边上的高 故ad ph 2分 ab ad a ab 平面abcd ad 平面abcd ph 平面abcd 4分 2 由于ph 平面abcd e为pb的中点 ph 1 故e到平面abcd的距离h ph 5分又因为ab cd ab ad 所以ad cd 6分故 7分因此 8分 3 过e作eg ab交pa于g 连接dg 由于e为pb的中点 g为pa的中点 9分 ad pd 故 dpa为等腰三角形 dg ap ab 平面pad dg 平面pad ab dg 10分 又 ab pa a ab 平面pab pa 平面pab dg 平面pab 11分又 geab dfab gedf 四边形dfeg为平行四边形 故dg ef ef 平面pab 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 宿州模拟 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 a 若m n 则m n b 若m n 则m n c 若m n 则m n d 若m n 则m n 解析 选a 由m 可得m 或m 又n 故m n 即a正确 如图 1 m n 但m n 故c错 如图 2 知b错 如图 3 正方体中 m n 但m n相交 故d错 2 2013 上饶模拟 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 线段ac1上有两个动点e f 且ef 给出下列四个结论 ce bd 三棱锥e bcf的体积为定值 bef在底面abcd内的正投影是面积为定值的三角形 在平面abcd内存在无数条与平面dea1平行的直线 其中 正确结论的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选d 如图 bd 平面acc1 bd ce 故 对 点c到直线ef的距离是定值 点b到平面cef的距离也是定值 三棱锥e bcf的体积为定值 故 对 设线段ef在底面abcd上的正投影是线段gh bef在底面abcd内的正投影是 bgh 又 线段ef的长是定值 线段gh的长是定值 从而 bgh的面积是定值 故 对 设平面abcd与平面dea1的交线为l 则在平面abcd内与直线l平行的直线有无数条 故 对 综上 可知四个结论都是正确的 故选d 3 2013 咸阳模拟 正四棱锥s abcd的底面边长为2 高为2 e是边bc的中点 动点p在表面上运动 并且总保持pe ac 则动点p的轨迹的周长为 解析 如图 取cd的中点f sc的中点g 连接ef eg fg 设ef交ac于点h 易知ac ef 又gh so gh 平面abcd ac gh 又gh ef h ac 平面efg 故点p的轨迹是 efg 其周长为答案 4 2013 西安模拟 如图 在七面体abcdefg中 平面abc 平面defg ad 平面defg ab ac ed dg ef dg 且ac ef 1 ab ad de dg 2 1 求证 平面bef 平面defg 2 求证 bf 平面acgd 证明 1 平面abc 平面defg 平面abc 平面adeb ab 平面defg 平面adeb de ab de ab de 四边形adeb为平行四边形 be ad ad 平面defg be 平面defg be 平面bef 平面bef 平面defg