高考数学一轮复习 第十四章 第4讲 直接证明与间接证明配套课件 理 新人教A版 .ppt

第4讲直接证明与间接证明 考点梳理 1 综合法定义 从命题的条件出发 利用 通过演绎推理 一步一步地接近要证明的结论 直到完成命题的证明 这样的思维方法称为综合法 1 直接证明 定义 公理 定理及运算法则 3 分析法定义 从求证的结论出发 一步一步地探索 直到归结为这个命题的条件 或者归结为定义 公理 定理等 这样的思维方法称为分析法 保证前一个结论成立 的充分条件 1 反证法定义 在证明数学命题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者必居其一 我们可以先假定命题结论的反面成立 在这个前提下 若推出的结果与定义 公理 定理相矛盾 或与命题中的已知条件相矛盾 或与假定相矛盾 从而说明命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 2 反证法的证题步骤是 作出否定结论的假设 进行推理 导出矛盾 否定假设 肯定结论 2 间接证明 综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成 对较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结论与条件 基础知识之间的关系 找到解决问题的思路 再运用综合法证明 或者在证明时将两种方法交叉使用 一个考情解决直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法 在高考题中无处不在 主要以不等式 立体几何 解析几何 函数等为载体 考查综合法 分析法及反证法 从题型上看 主要以解答题的形式出现 属于中高档题 难度较大 助学 微博 答案p q 考点自测 2 当否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的反设为 解析 a b c恰有一个偶数 即a b c中只有一个偶数 其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数 答案a b c中至少有两个偶数或都是奇数3 若等差数列 an 中公差d 0 则a1 a8与a4 a5的大小关系为 解析 an 为等差数列 a1 a8 2a1 7d a4 a5 2a1 7d a1 a8 a4 a5 答案a1 a8 a4 a5 4 在用反证法证明数学命题时 如果原命题的否定事项不止一个时 必须将结论的否定情况逐一驳倒 才能肯定原命题的正确 例如 在 abc中 若ab ac p是 abc内一点 apb apc 求证 bap cap 用反证法证明时应分 假设 和 两类 答案 bap cap bap cap 5 2013 南京29中月考 对于给定的两个函数s x ex e x g x ex e x 则下列运算公式 s x y s x g y g x s y s x y s x g y g x s y 2s x y s x g y g x s y 2s x y s x g y g x s y 其中正确的是 解析s x g y g x s y ex e x ey e y ex e x ey e y ex y ex y e x y e x y ex y ex y e x y e x y 2 ex y e x y 2s x y 同理可得2s x y s x g y g x s y 答案 1 求a3 a4 a5的值 2 设cn a2n 1 a2n 1 n n 证明 cn 是等比数列 考向一综合法的应用 方法总结 综合法是一种由因导果的证明方法 即由已知条件出发 推导出所要证明的等式或不等式成立 因此 综合法又叫做顺推证法或由因导果法 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 这就要保证前提正确 推理合乎规律 才能保证结论的正确性 训练1 设x y z是空间的不同直线或不同平面 且直线不在平面内 下列条件中能保证 若x z 且y z 则x y 为真命题的是 填写所有正确条件的代号 x为直线 y z为平面 x y z为平面 x y为直线 z为平面 x y为平面 z为直线 x y z为直线 解析 中x 平面z 平面y 平面z x 平面y或x 平面y 又 x 平面y x y成立 中若x y z均为平面 则x可与y相交 故 不成立 x z y z x y为不同直线 故x y成立 z x z y z为直线 x y为平面可得x y 成立 x y z均为直线x y可平行 异面 相交 故 不成立 答案 例2 2011 湖北卷 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足 a1 a a 0 an 1 rsn n n r r r 1 r 0 1 求数列 an 的通项公式 2 若存在k n 使得sk 1 sk sk 2成等差数列 试判断 对于任意的m n 且m 2 am 1 am am 2是否成等差数列 并证明你的结论 考向二分析法的应用 方法总结 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 训练2 2012 盐城二模 对于给定的数列 cn 如果存在实常数p q 使得cn 1 pcn q对于任意n n 都成立 我们称数列 cn 是 优美数列 1 若an 2n bn 3 2n n n 数列 an bn 是否为 优美数列 若是 指出它对应的实常数p q 若不是 请说明理由 2 已知数列 an 满足a1 2 an an 1 3 2n n n 若数列 an 是 优美数列 求数列 an 的通项公式 解 1 an 2n 则有an 1 an 2 n n 数列 an 是 优美数列 对应的p q值分别为1 2 bn 3 2n 则有bn 1 2bn n n 数列 bn 是 优美数列 对应的p q值分别为2 0 2 数列 an 是 优美数列 存在实常数p q 使得an 1 pan q对于任意n n 都成立 且有an 2 pan 1 q对于任意n n 都成立 因此 an 1 an 2 p an an 1 2q对于任意n n 都成立 而an an 1 3 2n n n 且an 1 an 2 3 2n 1 n n 则有3 2n 1 3 2np 2q对于任意n n 都成立 即3 2n 2 p 2q对于任意n n 都成立 p 2 0 即p 2 q 0 此时 an 1 2an 又 a1 2 an 2n n n 1 求数列 an bn 的通项公式 2 证明 数列 bn 中的任意三项不可能成等差数列 考向三反证法的应用 方法总结 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 反证法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的一件有力武器 1 确定b c的值 2 设曲线y f x 在点 x1 f x1 及 x2 f x2 处的切线都过点 0 2 证明 当x1 x2时 f x1 f x2 反证法是主要的间接证明方法 其基本特点是反设结论 导出矛盾 当问题从正面证明无法入手时 就可以考虑使用反证法进行证明 在高考中 对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行 规范解答26怎样用反证法证明问题 示例 2011 安徽卷 设直线l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其中实数k1 k2满足k1k2 2 0 1 证明l1与l2相交 2 证明l1与l2的交点在椭圆2x2 y2 1上 审题路线图 第 1 问采用反证法 第 2 问解l1与l2的交点坐标 代入椭圆方程验证 解答示范 证明 1 反证法 假设l1与l2不相交 2分 则l1与l2平行或重合 有k1 k2 4分 代入k1k2 2 0 得k 2 0 6分 此与k1为实数的事实相矛盾 从而k1 k2 即l1与l2相交 7分 模板构建 用反证法证明结论 主要有下列三步 第一步 必须先否定结论 即肯定结论的反面成立 第二步 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 第三步 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 但是推导出的矛盾必须是明显的 1 2011 江西卷改编 观察下列各式 55 3125 56 15625 57 78125 则52011的末四位数字为 解析55 3125 56 15625 57 78125 58 390625 59 1953125 可得59与55的后四位相同 由此可归纳出5m 4k与5m k n m 5 6 7 8 的后四位相同 又2011 4 501 7 所以52011与57后四位数字相同为8125 答案8125 高考经典题组训练 2 2011 福建卷 设v是全体平面向量构成的集合 若映射 f v r满足 对任意向量a x1 y1 v b x2 y2 v 以及任意 r 均有f a 1 b f a 1 f b 则称映射f具有性质p 现给出如下映射 f1 v r f1 m x y m x y v f2 v r f2 m x2 y m x y v f3 v r f3 m x y 1 m x y v 其中 具有性质p的映射的序号为 写出所有具有性质p的映射的序号 解析性质p其实是一种 类线性运算 性质 故 符合要求 不符合要求 事实上 令a x1 y1 b x2 y2 则 a 1 b x1 x2 x2 y1 y2 y2 对 f a 1 b x1 x2 x2 y1 y2 y2 x1 y1 1 x2 y2 又f a x1 y1 f b x2 y2 x1 y1 1 x2 y2 f a 1 f b 成立 对 f a 1 b x1 x2 x2 y1 y2 y2 1 x1 y1 x2 x2 y2 y2 1 x1 y1 1 1 x2 y2 1 f a 1 f b 也成立 而 显然不具有此性质 答案 以ab为直径作半圆 过点c作ab的垂线交半圆于d 连续od ad bd 过点c作od的垂线 垂足为e 则图中线段od的长度是a b的算术平均数 线段