不等式的证明三导学案.doc

河北饶阳中学学案 编制人 使用日期 审核高二数学组 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 选修4-5学案 2.1.3不等式的的证明(3) 姓名 学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时) 20. 综合法和分析法 30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从已知条件、不等式的性质、基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系：新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1已知 + b + c 0，b + bc + c 0，bc 0，求证：, b, c 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有：10已知，可设 ， ；20已知，可设 ， ()；30已知，可设 ， . 例2 设实数满足，当时，的取值范围是（ ） 例3 已知，求证：3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：添加或舍去一些项，如：， 将分子或分母放大（或缩小）如： 应用“糖水不等式”：“若，则” 利用基本不等式，如：； 利用函数的单调性 利用函数的有界性：如：； 绝对值不等式：； 利用常用结论：如：， 应用贝努利不等式： 例4 当 n 2 时，求证：例5求证：例6 若a, b, c, dR+，求证：选修4-5练习 2.1.3不等式的证明(3) 姓名 1、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.2、设0 a, b, c 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2。 5、已知 ，求证：6、设，求证：；7、求证：8、求证 9、设为大于1的自然数，求证10、若是自然数，求证11、求证：12、求证：参考答案:例1例2例3放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。常用的方法是：添加或舍去一些项，如：，将分子或分母放大（或缩小）真分数的性质：“若，则”利用基本不等式，如：；利用函数的单调性利用函数的有界性：如：；利用常用结论：、，、 ； （程度大）、 ； （程度小）绝对值不等式：；应用二项式定理.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.贝努利不等式例如，对于任何和任何正整数，由牛顿二项式定理可得 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： .在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当是正整数的时候成立，而且当是任何大于1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设， 则在或时，在时，例4证：n 2 n 2时, 例5证明：由（是大于2的自然数） 得 例6证：记m = a, b, c, dR+ 1 m , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，可得x + y 2 与x + y 2矛盾。10 证明： = =注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结 论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时， 通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出 的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各 种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？2、 证：设(1 - a)b , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a