高考数学一轮复习 2.9 函数的综合应用课件 文 新人教A版.ppt

2 9函数的综合应用 一 基本初等函数 掌握几类基本初等函数的图像与性质 如一次函数 二次函 数 反比例函数 幂函数 指数函数 对数函数等 二 几种常见的函数模型 1 一次函数模型f x kx b k 0 2 反比例函数模型f x k 0 3 二次函数模型f x ax2 bx c a 0 4 指数函数模型f x b ax c a 0且a 1 5 对数函数模型f x mlogax b m 0 a 0且a 1 6 幂函数模型f x axn b a 0 n 1 三 函数实际应用 应用题 要注意审题 读懂题中的文字叙述 理解叙述中所反映的实际背景 分析出已知什么 求什么 从中提炼出相应的数学模型 建立数学模型的一般过程 设自变量x 函数的因变量为y 必要时引出中间变量 并用x y及中间变量表示各量之间的关系 消掉中间变量 从而建立函数关系式 实现问题的数学化 即建立函数模型 1 今有一组实验数据如下表 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律 其中最接近的一个是 a v log2t b v lot c v d v 2t 2 解析 t 4 0时显然不符合a b t 6 12时显然不符合d 答案 c 2 将进货单价为40元的商品按50元一个售出时 能卖出500个 若此商品每个涨价1元 其销售量减少10个 为了赚到最大利润 售价应定为 a 70元 b 60元 c 50元 d 55元 利润为f x 1000 10 x x 40 10 x 70 2 9000 9000 当且仅当x 70时取等号 售价定为70元时 赚到最大利润9000元 答案 a 解析 设售价为x 50 x 100 每个的利润为x 40元 能卖出的个数为500 10 x 50 1000 10 x 3 某商店经销一种洗衣粉 年销售总量为6000包 每包进价为2 8元 销售价为3 4元 全年分若干次进货 每次进货均为x包 已知每次进货运输费为62 5元 全年保管费为1 5x元 为使利润最大 则x 解析 设获得的利润为y元 则y 3 4 2 8 6000 62 5 1 5x 1 5 x 3600 可证明函数在 0 500 上递增 在 500 上递减 因此当x 50 0时 函数取得最大值 答案 500 例1 1 某同学家门前有一笔直公路直通长城 星期天他骑自行车匀速前往旅游 他先前进了akm 觉得有点累 就休息了一段时间 想想路途遥远 有些泄气 就沿原路返回骑了bkm b a 当他记起诗句 不到长城非好汉 便调转车头继续前进 则该同学离起点的距离s与时间t的函数关系的图像大致为 题型1常见的简单函数模型与函数的图像 2 已知甲 乙两个车间的月产值在2011年元月份时相同 甲以后每个月比前一个月增加相同的产值 乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同 到2011年8月份发现两个车间的月产值又相同 比较甲 乙两个车间2011年4月份的月 产值大小 则有 a 甲的产值小于乙的产值 b 甲的产值等于乙的产值 c 甲的产值大于乙的产值 d 不能确定 3 由于电子技术的飞速发展 计算机的成本不断降低 若每隔5年计算机的价格降低 问现在价格为8100元的计算机经 过15年后 价格应降为 分析 1 通过实际问题 抽象出函数的图像 分析出函数图像的变化规律 2 利用甲乙两个车间月产值的变化规律 分析出函数的解析式 再利用图像解决问题 3 由题意可知15年后 经过了3次价格的降低 间t的函数关系的图像是直线段且越来越大 休息的一段时间 离起点的距离s不变 沿原路返回骑了bkm b a 离起点的距离s越来越小 调转车头继续前进 离起点的距离s越来越大 故选c 解析 1 他骑自行车匀速前往旅游 离起点的距离s与时 2 设甲乙两车间的月产值分别为f x 与g x 由题意可知f 1 g 1 f 8 g 8 其中f 8 f 1 画出函数的图像可知f 4 g 4 故选c 3 现在的价格为8100元 则经过15年后价格为8100 1 3 2400 元 答案 1 c 2 c 3 2400元 点评 1 函数图像与实际问题的有机结合 2 简单函数模型的建立 进而考查结合函数图像比较大小 即数形结合思想的应用 3 指数函数模型的简单应用 变式训练1 1 某工厂2006年产值为a 计划每年比上一年产值增长10 则2011年这个工厂的产值为 a 1 14a b 1 15a c 10 1 15 1 a d 11 1 15 1 a 2 已知a b两地相距150千米 某人开汽车以60千米 小时的速度从a地到达b地 在b地停留1小时后再以50千米 小时的速度返回a地 把汽车离开a地的距离x表示为时间t 小时 的 函数表达式是 a x 60t b x 60t 50t c x d x 3 在一定范围内 某种产品的购买量y套与单价x元之间满足一次函数关系 如果购买1000套 每套为800元 购买2000套 每套为700元 那么客户购买400套 每套应该是元 解析 1 每年是上一年的 1 10 1 1倍 故2011年这个工厂的产值为1 15a 选b 2 由题知 以60千米 小时的速度从a地到达b地需要2 5小时 离开a地的距离x表示为时间t 小时 的函数表达式为x 60t 当2 5 t 3 5时 x 150 当3 5 t 6 5时 x 150 50 t 3 5 故选d 答案 1 b 2 d 3 860 3 设y kx b y 10 x 9000 400 10 x 9000 x 860 例2某单位用2160万元购得一块空地 计划在该地上建造一栋至少10层 每层2000平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为560 48x 单位 元 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 题型2利用均值不等式 或定义法分析函数的单调性 解决最值问题 分析 根据所给的等量关系找出函数关系式再求最值 解析 设楼房每平方米的平均综合费为f x 元 则 f x 560 48x 560 48x x 10 x n 可证明函数在 10 15 上递减 在 15 上递增 点评 解决函数的应用题的关键是读懂题意 再分析各个量之间的关系 从而转化为数学模型 因此当x 15时 函数取得最小值 所以为了使楼房每平方米的平均综合费最少 该楼房应建为 15层 变式训练2要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 广告的面积s a 20 2b 25 2ab 40b 25a 500 18500 25a 40b 18500 2 18500 2 24500 当且仅当25a 40b时等号成立 此时b a 代入 式得a 120 从而b 75 即当a 120 b 75时 s取得最小值24500 故当广告的高为140cm 宽为175cm时 可使广告的面积最小 解析 设矩形栏目的高为acm 宽为bcm 则ab 9000 广告的高为a 20 宽为2b 25 其中a 0 b 0 例3某民营企业生产a b两种产品 根据市场调查和预测 a产品的利润与投资成正比 其关系如图1 b产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图2 注 利润与投资单位是万元 题型3与二次函数相结合的函数综合应用 1 分别将a b两种产品的利润表示为投资的函数 并写出它们的函数关系式 2 该企业已筹集到10万元资金 并全部投入a b两种产品的生产 问 怎样分配这10万元投资 才能使企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 精确到1万元 分析 根据题目中函数模型求出函数的解析式 再设其中一个产品所用的资金为x万元 利润y就可以表示为x的函数 再用函数的知识求最值即可 的利润为g x 万元 由题设f x k1x g x k2 由图知f 1 k1 又g 4 k2 从而f x x x 0 g x x 0 解析 1 设投资为x万元 a产品的利润为f x 万元 b产品 为y万元 则y f x g 10 x 0 x 10 令 t 则y t t 2 0 t 当t 时 ymax 4 此时x 10 3 75 2 设a产品投入x万元 则b产品投入10 x万元 设企业的利润 点评 利用函数模型解决两个投资项目时的资金分配处理问题 即要求用函数的相关知识解决实际问题 当a产品投入3 75万元 b产品投入6 25万元 该企业的利润约为4万元 变式训练3某航天有限公司试制一种仅由金属a和金属b合成的合金 现已试制出这种合金400克 它的体积为50立方厘米 已知金属a的比重d小于每立方厘米9克 大于每立方厘米8 8克 金属b的比重约为每立方厘米7 2克 1 试用d分别表示出此合金中金属a 金属b克数的函数关系式 2 求已试制的合金中金属a 金属b克数的取值范围 解析 1 设此合金中含a金属x克 b金属y克 则 解得x 8 8 d 9 y 8 8 d 9 y 360 1 在 8 8 9 上是增函数 180 y 200 合金中金属a克数的取值范围为 200 220 金属b克数的取值范围为 180 200 2 x 40 1 在 8 8 9 上是减函数 200 x 220 1 建立目标函数解决函数应用题时 一是要注意自变量的取值范围 二是要检验所得结果 必要时运用估算或近似值分析结果是否符合实际问题的要求 2 在将实际问题向数学问题转化的过程中 要充分地利用数学语言 如引入字母 列表 画图 建立坐标系等理解题意 并使实际问题数学化 模型的理解 弄清其实际背景 把数学问题生活化 另一方面要加强分析变量的能力 能从实际问题中分析几个量之间的内在联系 设出其中几个量 消去中间量 从而建立函数模型 4 函数可与其他大部分知识相结合 故函数知识是解决综合试题的基础 3 解决应用题的关键是理解题意 一方面要加强对常见函数 例甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 小时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v km h 的平方成正比 比例系数为b 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为v km h 的函数 并指出这个函数的定义域 值为多少 错解 1 依题意知 汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本为y a bv2 s bv 所求函数及其定义域为y s bv v 0 c 2 依题意知 s a b v均为正数 s bv 2s 2s 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 最小 当且仅当 bv 即v 时等号成立 当汽车以速度v 行驶时 全程运输成本最小 剖析 本题在将实际问题抽象转化为具体的函数问题后 忽略了参变量的限制条件 或者说利用基本不等式求最值时忽视了等号条件的取得 本题中速度v不一定取到 条件中对速度有限制要求 所以应分类讨论 正解 1 依题意知 汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本为y a bv2 s bv 所求函数及其定义域为y s bv v 0 c 2 依题意知 s a b v均为正数 s bv 2s 当且仅当 bv 即v 时 式中等号成立 若 c 则当v 时 有ymin 2s 若 c 则当v c时 有ymin s bc 综上可知 为使全程运输成本y最小 当 c时 行驶速度应为v 全程运输成本最小值为2s 当 c时 行驶速度应为v c 全程运输成本最小值为s bc 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 某公司销售一种品牌车 综合各种因素 销售的辆数x与销售利润 单位 万元 的关系为f x 5 1x 0 15x2 则能获得的最大利润为 a 43 2万元 b 43 35万元 c 43 75万元 d 44 35万元 解析 函数f x 5 1x 0 15x2的对称轴为x 17 开口向下 则获得的最大利润为5 1 17 0 15 172 43 35 万元 答案 b 2 基础再现 某种动物繁殖量y 只 与时间x 年 的关系为y alog2 x 1 设这种动物第1年有100只 则到第7年它们会发展到 a 300只 b 400只 c 500只 d 600只 解析 由100 alog2 1 1 得a 100 当x 7时 y 100 log2 7 1 300 答案 a 3 视角拓展 一批长400cm的条形钢材 需将其截成长518mm与698mm的两种毛坯 则钢材的最大利用率为 a 99 75 b 99 65 c 94 85 d 95 70 讨论x的值 可知x 2时 剩料最小 为14mm 即利用率最大 故最大利用率为 1 100 99 65 答案 b 解析 一根长400cm的条形钢材截成长698mm的毛坯为x 0 x 5 x n 截 4 视角拓展 某商场出售一种商品 每天可卖1000件 每件可获利4元 根据经验 若这种商品每件每降价0 1元 则比降价前每天可多卖出100件 为获得最好的经济效益每件单价应降低 a 1元 b 1 5元 c 2元 d 2 5元 商品件数为 1000 100 x 经济效益 y 4 0 1x 1000 100 x 10 x2 300 x 4000 10 x 15 2 6250 当x 15时 ymax 6250 此时0 1x 1 5 答案 b 解析 设每件降价0 1x元 则每件获利 4 0 1x 元 每天卖出 5 视角拓展 车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数 单位为辆 分 上班高峰期某十字路口的车流量由函数f t 50 4sin 其中0 t 20 给出 f t 的单位是辆 分 t的单位是分 则车流量增加的时间段是 a 0 5 b 5 10 c 10 15 d 15 20 解析 函数f t 50 4sin 其中0 t 20 当0 即0 t 时 f t 是增函数 当 即3 t 5 时 f t 是增函数 f t 的单调递增区间为 0 3 5 故选c 答案 c 6 基础再现 某公司一年购买某种货物400吨 每次都购买x吨 运费为4万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 解析 运费需要 4 万元 一年的总运费与总存储费用之和为y 4x 2 160 当且仅当x 20时取等号 一年的总运费与总存储费用之和最小时 x 20吨 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 答案 20 7 基础再现 某工厂8年来某产品总产量y与时间t 年 的函数关系如图 则 前3年总产量增长速度越来越快 前3年中总产量增长速度越来越慢 第3年后 这种产品停止生产 第3年后 这种产品年产量保持不变 以上说法中正确的是 解析 由图可知工厂前3年总产量增长速度越来越快 第3年后 总产量不变 即这种产品停止生产 故选 答案 8 视角拓展 某银行准备新设一种定期存款业务 经预测 存款量与存款利率成正比 贷款的利率为6 若存款的利率为x x 0 0 06 且银行吸收的存款能全部放贷出去 则存款利率定为时 银行可获得最大收益 存款利率为x 0 03时 银行可获得最大收益 答案 0 03 解析 设银行获得的利润为f x 存款量为m kx k 0 f x m 0 06 x kx 0 06 x k x2 0 06x k x 0 03 2 0 0009k 0 0009k 当且仅当x 0 03时取等号 9 高度提升 将边长为1m的正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记s 则s的最小值是 解析 设剪成的小正三角形的边长为x 则s 0 x 1 设s x 令3 x t t 2 3 则s 故当 x 时 s的最小值是 答案 10 视角拓展 某县畜牧水产局连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模 总产量 进行调查 提供了两个方面的信息 分别得到甲 乙两图 甲图调查表明 每个鱼池平均产量直线上升 从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只 乙图调查表明 全县鱼池总个数直线下降 由第1年30个减少到第6年10个 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 请你根据提供的信息说明 1 第5年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数 2 哪一年的规模 即总产量 最大 说明理由 解析 1 甲图像经过 1 1 和 6 2 两点 从而求得其解析式为y甲 x 乙图像经过 1 30 和 6 10 两点 从而求得其解析式为y乙 4x 34 当x 5时 y甲 5 y乙 4 5 34 14 y甲 y乙 14 25 2 所以第五年鱼池有14个 全县出产的鳗鱼总数为25 2万只 2 设当第x年时的规模总出产量为g x x n 那么g x y甲 y乙 x 4x 34 x2 x x 2 x 2时 g x 最大 且最大值为31 2 即第2年时 鳗鱼养殖业的规模最大 11 高度提升 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床 并立即投入生产使用 计划第一年维修 保养费用12万元 从第二年开始 每年所需维修 保养费用比上一年增加4万元 该机床使用后 每年的总收入为50万元 设使用x年后数控机床的盈利额为y万元 1 写出y与x之间