高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式课堂导学案 新人教B版必修4.doc

3.2.1 倍角公式课堂导学三点剖析一、运用倍角公式求值 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定,则应分情况讨论.【例1】 已知cos=-,(,),求sin2,cos2和tan2的值.思路分析:本题旨在考查二倍角公式的应用,做题时应注意已知角与所求角间的倍数关系和角的取值范围.解：cos=-,(,),sin=.sin2=2sincos=2()(-)=,cos2=1-2sin2=1-2()2=,tan=.温馨提示 在解题过程中,要注意根据问题的具体特点,适当地加以变形,同时要注意挖掘题中的隐含条件,特别是利用这些条件来确定某些三角函数值的符号,化简问题.各个击破类题演练 1已知sin=,求sin2,cos2,tan2的值.思路分析:sin=0且r,为第一、二象限角,解题时应分象限讨论.解:r且sin=0,为第一象限或第二象限角.当为第一象限角时,sin2=,cos2=,tan2=.当为第二象限角时,sin2=,cos2=,tan2=.变式提升 1求的值.思路分析:仔细观察原式的结构,将原式通分后将有惊喜的发现.解:原式=4.二、给值求角问题 给值求角问题,其方法步骤是:(1)先求该角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围;(3)依据角的范围写出所求的角.在求该角的某一个三角函数值时,往往有一定规律:一般已知正切函数值,选正切函数;已知正,余弦函数值,选正弦函数或余弦函数.若角的范围是(0,),选正弦,余弦函数均可以;若角的范围是(-,),选正弦函数比选余弦函数好;若角的范围是(0,),选余弦函数比正弦函数好.【例2】 已知,是锐角,且sin=,sin=,求+2的值.思路分析:因为(0,),所以2(0,).所以先求cos2的值,然后再选用适当的三角函数求+2的值.解：sin=,cos2=1-2sin2=.由(0,)且cos2=0,可推得2(0,),+2(0,).cos(+2)=coscos2-sinsin2.(0,)且sin=,得cos=,又2(0,)且cos2=,sin2=.cos(+2)=.+2=.类题演练 2已知tan(-)=,tan=,(0,),求2-的值.解：tan=tan(-)+=,tan2=.tan=0且(0,),可推得(0,).又tan2=0,可推得2(0,),同理,得(,).2-(-,0).又tan(2-)=1,2-=.变式提升 2已知tan=4,cos(+)=,均为锐角，求的值.解：,均为锐角，0+.又cos(+)=,+,则sin(+)=.tan=4,sin=,cos=.cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=.=.三、三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简,一般从减少角的种类,减少函数的种类,改变函数式的运算结构入手,对于根式形式的化简常以化去根号为目标,为此常使被开方的式子配成完全平方,化简时要注意角的范围. 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证. 对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常用定义法,化弦法,化切法,拆项拆角法,“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.【例3】 化简（1）cos72cos36;(2)cos20cos40cos60cos80.思路分析：利用二倍角正弦、余弦公式及诱导公式，将角度不同的三角函数转化为同一个角或互补、互余角的三角函数，再通过约分求出式子的值.解：（1）cos72cos36=.(2)原式=cos20cos40cos80=.温馨提示 对于分式化简问题，通常要将分子、分母均化为积的形式，如果分子、分母有公因式，通过约分把分式化简，这是解这类问题的常规思路.类题演练 3化简.解法一：原式=.解法二：原式=.变式提升 3求证：sin(1+sin)+cos(1+cos)sin(1-sin)+cos(1-cos)=sin2.证明：左=（sin+sin2+cos+cos2)（sin-sin2+cos-cos2）=(sin+cos+1)(sin+cos-1)=(sin+cos)2-1=1+2sincos-1=2sincos=sin2=右.原式成立.温馨提示 证明条件三角恒等式,首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构