一元二次方程（1）.docx

一元二次方程的定义教学案例 湛江一中培才学校 李韶萍一、课前测验以及数据分析.这节课是在湛江一中培才学校初二级35个平行班当中的一个班进行的.初二级学生历经近2年的课改，自学能力较成熟；另一方面，在学习这个单元之前，学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程，这些单元的基本数学思想与本单元基本一致，学生已具备了解一元二次方程知识的能力与思想.笔者根据学生的能力，结合本节课的知识点，对该班学生进行了课前检测，并基于solo理论进行分析.为对比预习产生的效果，笔者还将该班学生平均分成A、B两组，两组学生当中的优、中、学困生人数比例接近.要求A组学生用10分钟自学课本（人教版）第2、3页的内容，至少看两遍，直到看懂为止；B组学生不能看课本.然后A、B两组同学同时用10分钟时间，闭卷、独立完成“课前测验卷”. 以下是“课前测验卷”的题目及其相关的数据分析知识点一： 一元二次方程的概念1、方程x2-75x+350=0中含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 . 组别A组（已预习）B组（未预习）“方程x2-75x+350=0中含 个未知数”出错率填 2 16%填 2 22%填 x 3%填 x 0%基于solo理论分析约八成的学生完全做对，对照两组实验结果，发现区别不大，因此无论预习与否，学生都能通过已有“未知数”、“最高次数”的概念内涵进行迁移联想，完成此题，因此，有八成学生属于多点结构层次，而近两成学生未知数填2，通过访谈，了解到他们只是单纯地在式子中数出了两个“x”，属于前结构层次.2、下列方程中，属于一元二次方程的是 （填序号）：x2-2y+3=0 2xx-1=2x2 x2=2x(x2-1)2+2x+3=0 x2-1x+2=0 x2+22x+3=0在你所选的序号中，你不确定序号是 .组别A组（已预习）各题正确率B组（未预习）各题正确率“下列方程中，属于一元二次方程的是 ” 答题情况没选68%没选60%没选48%没选33%选了65%选了74%没选84%没选78%没选55%没选60%选了97%选了93%基于solo理论分析对照两组实验结果，区别较大的是、项，可见，预习能强化学生对“元、二次项、一次项、常数项”的认识.两组都有过半学生选，近半学生选，其中许多学生在“不确定序号”里选了，说明一元二次方程定义仍处于一知半解的程度，属于单点结构层次.知识点二： 一元二次方程的一般形式3、将5x2-1=3x化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.组别A组（已预习）B组（未预习）答题情况列对一般式81%列对一般式30%做对二次项系数81%做对二次项系数44%做对一次项系数58%做对一次项系数26%做对常数项84%做对常数项52%系数和常数项符号错19%系数和常数项符号错15%项系数写成“项”19%项系数写成“项”41%基于solo理论分析此题是课本例题的同类题，通过自学，八成A组学生能把握要点，结合已有的“移项”知识，准确写出一般式，但近半学生没有找对一次项系数，说明学生未能把将“多项式的系数包含其符号”这一已有知识机地整合起来，可见，不到一半的学生属于关联结构层次，大部分学生属于多点结构层次.B组学生由于没有接触过“一般形式”的概念，只能对文字的表面意思猜测，近八层学生属于前结构层次.本题牵涉到“一元二次方程一般形式”的新概念，因此预习与否对学生产生较大影响，两组实验结果差距很大， A组过半学生进入到多点结构层次，B组大部分停留在前结构层次，因此，对于含新概念知识的内容，预习能极大地提高学生的学习起点.知识点三： 一元二次方程的根4、在-4，-3，2，3这些数中，是一元二次方程x2+x-6=0的根的是 .组别A组（已预习）B组（未预习）答题情况只填对一个答案42%列对一般式41%填对2个答案55%做对二次项系数59%全错3%做对一次项系数0%基于solo理论分析两组实验结果区别不大，包括没有预习的同学在内，几乎所有学生都知道将答案代入方程中的 x 进行检验，但只有不到一半的学生把根找全，属于多点结构层次，近六成学生属于单点结构层次.知识点四： 根据实际问题列一元二次方程5、一个矩形的长比宽多2，面积是100，设矩形的长为x，则可列方程 .组别A组（已预习）B组（未预习）答题情况全对55%全对63%基于solo理论分析该题完全没有受预习与否的影响，在做错的学生当中，绝大部分列成了xx+2=100，由此可见，对于此题，近四成学生属于单点知识结构.6、根据问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？组别A组（已预习）B组（未预习）答题情况没设元或留空0%没设元或留空30%设元，但列错或没列方程40%设元，但列错或没列方程59%列对方程，但化错一般式29%列对方程，但化错一般式11%完全做对32%完全做对4%对方程进行了化简19%对方程进行了化简4%基于solo理论分析此题为课本第二页问题2的一道同类题，A组同学通过预习，有六成学生列对方程，达到多点结构层次，但只有三成学生全部做对，达到关联结构层次.B组有三成学生属于前结构层次，六成学生属于单点结构层次，一成学生属于多点结构层次.小结：通过分析“课前测验卷”数据，可以看出学生对一元二次方程定义仍处于一知半解的程度，大多属于单点结构层次；对于知识点二，大部分学生能通过自学，从前结构层次过渡到多点结构层次，但对于系数的符号仍把握不准；对于知识点三，过半学生属于单点结构层次；对于知识点四，对于同类题，通过自学，过半学生能达到多点结构层次.由此可见，课前预习能极大地提高学生的学习起点. 为了让学生能在同一起跑线上进行新课学习，前测结束以后，也对B组做了同样的预习要求.二、课堂片段及点评由“课前测验卷”完成情况，得知学生对一元二次方程的定义的本质、一般式当中“二次项系数、一次项系数、常数项”符号的把握、以及根据实际问题列一元二次方程这三个方面较为薄弱.因此本课例针对这三个方面的内容,侧重描述三个课堂片段，并进行点评.片段一：课堂小练：填表多项式二次项系数一次项系数常数项3x2+8x+103x2-8x-10x2-6x+4-x2-x师：我们先来热热身，完成这张表格.学生开始填表，教师巡视，先做完的四名同学请到黑板上板书.师：同学们，我们在找二次项系数、一次项系数和常数项的时候要注意什么问题？学生阐述应注意带上符号；x2与-x2的系数分别是“1”和“-1”，而不是“没有”；要注意系数与项的区别 .针对学生对于各项的系数容易漏“符号”等问题，设计此题，在上新课之前完成，能唤醒学生对旧知的认识，起到承上启下的作用，以帮助学生迈向关联结构层次.片段二：教师指导学生阅读导学案上的问题一：下个月，湛江一中培才学校将举行体育节活动.我们班的大本营需要制作一个用于装大本营用具的纸箱，具体要求如下：材料是一块长100cm，宽50cm的厚纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么纸皮各角应切去多大的正方形？师：同学们，你们能用已有的知识解决这个问题吗？请将你的想法写在导学案上.教师巡视，邀请完成快的两学生上黑板书写.师：同学们做完了吗？下面邀请上黑板的两位同学展示他们的方法.生1：设切去的正方形边长为x cm，因为纸板总面积为10050cm2，纸板面积又等于四个切去的小正方形面积4x 2cm2，加上下两个小长方形面积2x (100-2x ) cm2，加左右两个小长方形面积2x (50-2x ) cm2，再加上中间长方形面积3600cm2，就能得到方程4x 2+2x 100-2x +2x 50-2x +3600=10050.师：好！有理有据.第二位同学列的方程似乎更简洁一点，让我们来听听他的想法.生2：我也是设切去的正方形边长为 x cm， 不过我是利用中间的矩形面积列的方程，中间矩形的长为100-2x cm2，宽为50-2xcm2，这样就得到方程100-2x50-2x=3600.这时课堂上响起了掌声.师：从同学们的掌声中可以听出，你们更喜欢第二种方法.你们能说说这两种方法的区别和联系吗？生3：他们都通过面积建立了相等关系，不同的是所选择的面积不同.师追问：这两个方程看起来形式不一样，我们能否用一个统一的形式将它们简化？同学们注意要求：等号的右侧化为0，等号的左侧要求化简，并表示成按x的降幂排列.学生按要求完成，发现两个方程都化成了x2-75x+350=0.师：这道题虽然采用了不同的相等关系，但由于所设的x都表示小正方形的面积，所以列出方程形式本质是一样的.你们能说说这个方程有什么特征吗？生4:只有一个未知数x，x的最高次数是2 .生5：课本上还提到，方程的两边都是整式.师边板书边总结：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程 ，叫做一元二次方程.师指导学生完成导学案上的判断题：请判断以下方程是不是一元二次方程：（1）x2-12x+1=0； 2y2+2y=0；（3）xx+2=x2-4；（4）ax2+bx+c=0.生6：（2）、（3）、（4）是，（1）不是.师反问：同学们赞同他的说法吗？生7：（4）不是，因为a如果是0，未知数x的最高次数就不是2了.师边板书边总结：补充得很好.事实上， ax2+bx+c=0（a0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.只要是一元二次方程，都能化成一般形式.那么请尝试一下整理（3），看看能否化成一元二次方程的一般形式？学生整理后发现化成了一元一次方程.师：是的，所以通常我们要先化简，再进行判断.现在请每组利用2分钟时间，设计4个不同类型的方程，然后交给隔壁的小组交换判断，看看哪些是一元二次方程.问题一是在教材中实际问题的基础上，结合学校活动背景进行改编的，对于学生来说特别有真实感，从而自然地产生寻求解决办法的动机.通过对应用题一题多解的展示，学生逐渐理解到列一元二次方程的关键是寻找等量关系，有效锻炼学生根据实际问题列一元二次方程的能力.通过对“问题一”所得方程化简之后形式的观察，很自然地引出一元二次方程及其一般式的定义.4个判断题是结合学生的前测情况设计的，而后面的“创作方程”环节，属于开放性问题，这要求学生对问题进行抽象的概括，能促进学生迈向抽象拓展层次.片段三：教师指导学生阅读导学案上的问题二：这次的体育节，我们初二年级打算组织一次篮球赛.篮球赛连续进行7天时间，每天进行4场比赛，请问初二级应组织多少只篮球队参加比赛？请你将列出一元二次方程化为一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.师：这道题可以设什么为x？生8：可以设：初二级应组织x只篮球队参加比赛.师进一步问：等量关系呢？生9：篮球赛连续进行7天时间，每天进行4场比赛，一共有28场比赛，可以利用这个建立相等关系.师：那如何用含x的式子表示比赛的总场数呢？生10：每个球队都要和其他（x-1）个队各赛一场，共有x个队，可以表示为x（x-1）场.师边在黑板上画图，边说：有一定的道理，但我存在一个疑问：如果我用x个点表示x个队，用连线表示比赛，那么甲队将和其余（x-1）个队比赛，但是在算乙队的时候，甲乙比赛之间为什么出现两条连线？生一起回答：因为重复计算了一次！师：在计算其它队的时候，都重复计算了吗？生齐答：是.师追问：那怎么表示总场数呢？生11：表示为x（x-1）2.师：很好，这样我们就能列出方程x（x-1）2=28 了.那下面请同学们把这个方程化成一般式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.此题的难点在于对总场数表示为x（x-1）2当中为什么要除以2的认识.事实上，学生在学习“多边形”内容的时候，曾经历过探索n边形对角线条数的问题，在这里笔者利用数形结合的方法，将比赛问题化归为点与点之间的连线问题，让学生很容易产生联想，帮助学生把这些思路结合起来思考，以达到关联结构层次.完成此题后，教师还将题目变式为“队友互送卡片”的问题，让学生区别不用“除以2”的情况.本节课的知识点多而零散，通过对教材的改编，使得问题二成为问题一情景的延续，让整节课用“体育节”的故事线索串联了起来，同时，在解决问题的过程中，利用讲练结合的方式逐渐渗透各个概念，使得零碎的内容得以统一.三、课后教学效果检测及统计1、下列方程中，是一元二次方程的有 . 3x2=2x y2-2x-8=0 2x2-x-1=0 2xx-5=x(2x+1) x2-2x+1=0 y25=42、已知方程m-3x2-3x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .3、方程 m-2xm-3x-4=0是一元二次方程，则 m的值为 .4、x=4 是方程x2+kx-20=0 的其中一个根，则k的值为 .5、已知一元二次方程 m-2x2+x+m2-4=0有一个根是0，则m的值为 .6、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签了一份合同，所有公司共签订了45份合同，设共有x家公司参加商品交易会，则可列方程 .7、将方程6xx-5=2(x+1) 化成一元二次方程的一般式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.内容各题正确率第1题选了84%没选86%没选93%没选91%选了93%选了71%第2题88%第3题86%第4题93%第5题86%第6题86%第7题78%7道题全对59%只做对2道或以下7%四、总结与反思通过A、B两组学生的预习对照，可以看出，尽管只有10分钟的“预习”，但是学生的认知水平已经拉开一定的距离，特别是对于含新概念知识的内容，预习能极大地提高学生的学习起点.通过课前预习检测，能有效摸清学生的薄弱点，更有效地“对症下药”.从课