【原创精品资料】5.5《推理与证明》错误解题分析.doc

精品系列资料 传播先进教育理念 提供最佳教学方法5.5推理与证明错误解题分析一、基础知识导学1. 推理一般包括合情推理和演绎推理。2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。3. 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。4. 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。5. 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理。6. 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。7. 演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理。8. 直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法反证法。9. 分析法：从原因推导到结果的思维方法。 10. 综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。 11. 反证法：判定非q为假，推出q为真的方法。12. 应用反证法证明命题的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假定；由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；间接证明命题为真。13. 数学归纳法：设pn是一个与自然数相关的命题集合，如果证明起始命题p1成立；在假设pk成立的前提上，推出pk1也成立，那么可以断定，pn对一切正整数成立。14. 数学归纳法的步骤：（1）证明当 （如 或2等）时，结论正确；（2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确。二、疑难知识导析1、归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理。2、应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3、数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法。三、经典例题导讲例1 是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项。(1)写出数列的前3项;(2)求数列的通项公式(写出推证过程);【错解】由(1)猜想数列有通项公式=4-2。下面用数学归纳法证明数列的通项公式是=4-2。 (N)。当=1时,因为41-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立。假设n=k时结论成立,即有=4-2。由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得。这就是说,当n=k+1时,上述结论成立。根据、,上述结论对所有的自然数n成立。 【错因】在于解题过程中忽视了取值的取舍。【正解】由(1)猜想数列an有通项公式an=4n-2。猜想数列有通项公式=4-2。下面用数学归纳法证明数列的通项公式是=4-2。 (N)。当=1时,因为41-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立。假设n=k时结论成立,即有=4-2。由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得。由这就是说,当n=k+1时,上述结论成立。根据、,上述结论对所有的自然数n成立。 例2用数学归纳法证明对于任意自然数，【错解】证明：假设当（N）时，等式成立，即，那么当时， 这就是说，当时，等式成立。可知等式对任意N成立。【错因】在于推理不严密，没有证明当的情况 。【正解】证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立。（2）假设当（）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立。由（1）、（2），可知等式对任意N成立。例3是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由。【分析】本题是开放性题型，先求出，再归纳、猜想、证明。解：，猜想， 能被36整除，用数学归纳法证明如下：（1）当时，能被36整除。（2）假设当，（N）时，能被36整除。那么，当时，由归纳假设，能被36整除，当为自然数时，为偶数，则能被36整除。 能被36整除，这就是说当时命题成立。由（1）、（2）对任意，都能被36整除。当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大。 例4 设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，如图，试求的横坐标的通项公式。【分析】本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳猜想证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式。解：解法一 与（，）联立，解得直线的方程为，令，得，所以点直线的方程为与联立，消元得（），解得，所以点（，）。直线的方程为，令，得，所以点同样可求得点（，0）由此推测（，0），即用数学归纳法证明（1）当时，由点的坐标为（，0），即，所以命题成立。（2）假设当时命题成立，即，0），则当时，由于直线的方程为，把它与（，）联立，消去可得（）， 于是 即点的坐标为（，）。 直线的方程为令得，即点的坐标为（，0） 当时，命题成立。解法二设点，的坐标分别为（，0）、（，0），建立与的递推关系，即，由数列是等差数列，且，公差可求得（），。 用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k1常利用几何图形来分析图形前后演变情况。例5 有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2-n2个部分。证明当n1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2又n1时，n2-n22，命题成立假设nk时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2-k2个部分，那么设第k1个圆记O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k个点。把O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k1)k2-k22k=(k1)2-(k1)2即nk1时命题成立。由可知对任何nN命题均成立。【说明】本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1