数理关系2.doc

数学是物理学的语言和工具，概括物理现象、形成物理概念、整理实验数据、进行逻辑分析、建立物理定律、利用数学图像展示物理规律等等物理学的研究和学习过程都离不开数学，而数学知识在初中物理中也展现了非凡的作用。一/利用不等式（组）求凸透镜的焦距取值范围根据一定条件求凸透镜的焦距的取值范围，对于初中学生来说的确有困难，运用不等式（组）的知识来解这类问题，就会使问题化难为易了。 二、利用比例法来解物理问题比例法就是用比例式来解物理题的方法，在解题中，依据物理定律、公式或某些量相等，成多少比例等，用比例式建立起未知量和已知量之间的关系，再利用比例性质来计算未知量的方法。比例法解题在许多情况下是很简单的，只要比量的单位相同就可求解，不必统一为国际单位。三、三角函数的应用三角函数在初中物理学中用得不多，高中用得就比较普遍了。其解答流程大致是：审读题意设角建立三角式进行三角变换解决实际问题。 四、数形结合的数学思想在物理学中应用广泛在物理中常采用数学图像方法，把物理现象与物理知识之间的关系表示出来，如物态变化一章节中采用温度时间图像表达物态变化中晶体的熔化、液体的沸腾的特点。涉及到的图象有晶体的（非晶体的）的熔化图象、水的沸腾图象等。图象法具有直观、形象、简捷和概括力强的独特优点，它能将物理情景、物理过程、物理状态以直观的方式呈现在我们面前。用图像法解题的一般步骤是：（1）看清图像中横坐标、纵坐标所表示的物理量；（2）弄清坐标上的分度值；（3）明确图像所表达的物理意义，利用图像的交点坐标、斜率、截距交点和图像与坐标所包围的面积等，进行分析、推理、判断和计算；（4）根据图像对题目中进行数据计算或者做判断性结论。五、逆向思维能力在物理学中有不可磨灭的作用逆向思维是一种反向考虑问题的方法，应用时有逻辑反向、顺序反向、路径反向等各种具体应用方法，应用逆思法，我们可以从事物发展的结果来探究事物发展的原因，可以将事物发展的过程颠倒过来考虑问题，可以逆着事物发展的时间顺序去考虑问题。应用逆向思维我们可以突破常规的思维方式，巧妙分析问题并简洁地解决问题，取得意想不到的效果。如：满足二力平衡条件的物体一定也处于平衡状态，反过来，处于平衡状态的物体也一定满足于二力平衡的条件。再如：电能生磁，磁也能生电，还有光路可逆等都应用到这种思维模式。要不是牛顿发明了微积分，他的三大力学定律和万有引力定律，就很难唱得出精彩的戏来。/当年，爱因斯坦一心想根据惯性质量与引力质量相等的原理，搞一个引力理论，然而，一连苦思冥想了好多年，都毫无进展。让他苦恼的是，在引力作用下，空间会发生扭曲，而欧几里得几何学却对此毫无办法。后来，幸好他的好友格罗斯曼告诉他，法国数学家黎曼研究出的一套几何学，应该能帮他解决烦恼。果然，爱因斯坦有了黎曼几何这一有力武器后，就顺顺当当的建立了广义相对论。/拉格朗日出版了一本力学专著，从第一页到最后一页，没有一张插图，从头到底都是数学公式。书中唱大戏的是一个被称为“作用量”的量。在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。 康德 科学中的数学定律是真理，体现在上帝对宇宙的设计之中，如果这个信念还须加强，那么它已由艾萨克?牛顿爵士极好地完成。牛顿是剑桥大学的数学教授，被称为最伟大的数学家之一，他还被誉为一个物理学家。他的工作提供了一整套新的科学方法，开创了科学的一个新纪元，并因之加强和深化了数学的作用。 哥白尼、开普勒、笛卡尔、伽利略、帕斯卡都证明了自然界的一些现象与数学定律相吻合。他们深信上帝不仅创造了世界，而且其创造与人的数学思维相一致。统治17世纪的哲学或科学方法论由笛卡尔系统地阐述和发展，笛卡尔甚至认为全部物理学都可以归结为几何学。几何学这个词被他和其他人常常用作数学的同义词。笛卡尔的方法论被大多数牛顿时代以前的人所采纳，尤其是惠更斯，后者认为，科学具有另外一种附加的功能，即提供一个自然现象的物理解释。 希腊人，尤其是亚里士多德，也用物理学术语来解释自然现象的行为。他们的主要理论是，所有的物质是由四种元素：土、气、火和水组成，它们具有一种或多种性质，重性、浮性、干性和湿性。这些性质可解释物体的表现：火向上燃烧是因为火轻，而土质的物质向下落是因为它具有重量。对于这些性质，中世纪的学者们还增加了其他许多性质，如共振和不相容。共振解释了一个物体相对于另一个物体，如铁对磁石的吸引。不相容则解释了一个物体被另一物体所排斥。 另一方面，笛卡尔却摈弃了所有这些性质，坚持认为所有物理现象都能由物质和运动来解释。物质的这些基本属性具有广延性，并且可以度量，因此可以归结为数学。再进一步，由于没有物质，也就没有广延性，因此真空是不可能的。空间充满着物质，并且物质只可能由于直接接触而相互作用。然而，物质是由大小、形状和其他特征各异的不可见颗粒所构成的，正是因为这些颗粒小得不可见，所以有必要对它们的行为作一些假设，以解释人们可以观察得到的大的现象。依据这个观点，空间充满了微粒，它们可以推动更大的物体，如行星绕太阳旋转。这也就是笛卡尔的漩涡理论的精髓所在。 笛卡尔是机械唯物主义的奠基人。法国哲学家，基督教士伽桑狄(PierreGassendi)，英国哲学家霍布斯(ThomasHobbes)和荷兰数学家与物理学家惠更斯(ChristianHuygens)继承了他的学说。惠更斯在他的光论（1690年）一书中，假设空气中充满能传递光的运动的以太微粒，从而解释了光的各种现象。事实上这本书的副标题就是：对反射和折射发生原因的解释。在绪论中，惠更斯认为，在真正的哲学中，“人们构想所有自然界作用的原因是机械运动，因此，依我的观点，我们或者是搞清楚所有的物理现象，或者是放弃这一希望。”但另一方面伽桑迪却坚信，原子是在真空中运动。 物理学有关微粒作用的假设确实，至少在大体上，解释了自然界的总体行为。但这些都是心智的创作，而且笛卡尔和他的追随者们的物理学假设是定性的，因此也就仅能解释而已，而不能精确地预言观察和实验中所出现的现象。莱布尼茨称这种物理学假设为一个美丽的神话。 一种关于科学的，与上述哲学完全相反的哲学由伽利略所开创。科学必须寻求数学描述而不是物理学解释，而且，基本理论应由实验和根据对实验的归纳而得出。根据这种哲学，同时受他的老师巴罗的影响，牛顿改变了科学研究的程序。他采用数学前提来取代物理学假设，从而使预言具有培根所倡导的确定性，而这些前提是由实验和观察得来的。 伽利略先于牛顿探讨了物体的下落和抛物体的飞行，牛顿却解答了一个更为深广的问题，一个1650年左右在科学家们脑海中占据最主要地位的问题：能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系？所有运动现象都应遵循一套定律，这种想法似乎有点过于自信和不凡，但确实在17世纪严谨的数学家们的头脑中很自然地产生了。上帝设计了宇宙，因此可以推测所有的自然现象都遵循一个总的规划，上帝极可能用一套基本原理来支配相联的事物。对于17世纪致力于揭示上帝的自然设计的数学家和科学家来说，合乎情理的做法似乎应该是去寻求控制各种地面物体运动和天体运动的统一规律。 在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中，牛顿对代数、几何、尤其是微积分（见第六章）做出了许多贡献，而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作。事实上，牛顿认为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定律的一种工具。他致力于寻找能导出一个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理，幸运的是，正如狄德罗所说的，自然界把秘密告诉了牛顿。 牛顿当然熟悉由伽利略建立起来的定律，但这些还不够。由运动学第一定律可以很清楚地知道，行星受一个被吸往太阳的力，如果没有这个力，每一颗行星将作直线运动。总是有一个力将行星拉向太阳的想法许多人都有过。哥白尼、开普勒、著名实验物理学家胡克、物理学家和著名建筑学家雷恩(ChristopherWren)、天文学家哈雷(EdmundHalley)以及其他一些人，甚至在牛顿之前就开始了探索的工作。而且有人推想，这种力对一个较远星球的作用必定比对较近星球的要弱，而且随着太阳与星球的距离的增大，力成平方反比减小。然而在牛顿的工作以前，这些有关引力的想法都没有推进到能超过观测结果。 牛顿吸收了他的同时代人所作出的推想，即在任何两个质量为m和M，相距为r的物体之间的引力F，可由以下公式给出。在这个公式中，G是常量，即无论m、M和r为何值，它都不变。这个常量的值取决于所用的质量、力及距离的单位。牛顿还将伽利略的地上物体运动定律进行普遍推广，这些推广现在称之为牛顿运动三定律。其中第一定律已由笛卡尔和伽利略所导出：如果一个物体不受力，它将保持静止或做匀速直线运动；第二定律说：如果一个力作用在一个质量为m的物体上，那么它将给此物体一个加速度，准确一点说，这个力等于质量与加速度的乘积，用公式表示即Fma；第三定律则认为：如果物体A给B一个作用力F，那么B给A一个大小相等、方向相反的作用力F。由这三个定律及万有引力定律，牛顿可以很容易地推断地球上所有物体的运动规律。 就天体运动来说，牛顿真正的成就在于他证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。在牛顿以前关于行星运动定律的研究工作，曾被认为与地面物体运动无关，现在的结果则表明行星运动遵循与地面物体运动同样的规律。从这种意义上说，牛顿解释了行星运动规律。此外，由于从万有引力定律所推导出来的开普勒定律与观测结果十分吻合，也为万有引力定律的正确性提供了强有力的证据。 用运动定律和万有引力定律所推导出来的这些结果只是牛顿所完成的工作的一小部分。他应用万有引力定律解释了以前一直难以解释的海洋潮汐现象，对大范围的水域来说，引力主要来自于月亮，其次是太阳。由收集到的太阴潮，即由月球所引起的潮的高度的数据，牛顿算出了月球的质量。牛顿与惠更斯计算了地球沿着赤道的隆起度，牛顿还与其他人一起说明了彗星的轨道与万有引力定律保持一致，因此可以认为彗星也是我们太阳系的一个合法成员，而不是什么突发事件或上帝派出来泄怒降灾的天外来客。牛顿接着说明了月亮和太阳对地球赤道隆起带的吸引力使地球的自转轴形成一个周期大于26000年的锥，其不总指向天空中的同一颗星。地轴轴向的这种周期性变化使每年的春分和秋分都发生些微的变化，这一事实喜帕恰斯早在1800多年前就观察到了，这样牛顿就解释了岁差。 最后，牛顿用近似的方法，解决了许多有关月球运动的问题。例如，月球运动所在平面略微向地球运动平面倾斜，牛顿能够说明太阳、地球、月球三者之间的相互吸引而引起的这种现象遵循万有引力定律。牛顿和他的直接继承者们推导出了如此浩繁而又杰出的有关恒星、彗星、月球、海洋运动的结果，以至于他的成就在接下来的两百年里被誉为“世界体系的阐述”。 在所有这些工作中，牛顿采纳伽利略的提议去寻求数学描述而不是物理解释。牛顿不仅将开普勒、伽利略、惠更斯的大量实验和理论性成果融汇起来，而且将数学描述和推导置于所有科学描述和预言之前。在他巧妙地命名为自然哲学的数学原理（1687年）一书的序言中，他写道： 古人（如帕普斯所告诉我们的）认为在研究自然事物时，力学最为重要，而今人们则舍弃其实体化的形式和深藏的实质，而力图以数学定律说明自然现象。我在本书中致力于用数学来探讨有关的哲学问题。因此我把这部著作称为哲学的数学原理，因为哲学的全部任务就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后用这些力去推证其他现象。本书第一、第二编中的一些普遍命题就是为了这个目的而提出来的。然后根据其他同样是数学上论证过的命题，从这些力中推演了行星、彗星、月球和海潮的运动。 很明显，数学在这里起了主要作用。 牛顿有充分的理由强调定量的数学定律来反对物理学解释，因为在他的天体力学中，核心概念是万有引力，而万有引力的作用根本不能用物理学术语解释。不管两个物体相距多么遥远，它们仍然相互吸引，这种万有引力的概念简直和亚里士多德派及中世纪的学者们为了解释科学现象而发明“质”的概念一样令人难以置信。这种概念尤其不能为牛顿的同时代人所接受，他们坚持力学的解释并且认为力只有在一个物体“推”另一物体时才有可能发生。这种放弃物理机制而采取数学描述的方法震撼了甚至是最伟大的科学家。惠更斯认为万有引力的想法是荒谬的，因为这种超空间的作用不属于任何一种机械运动。他对牛顿没有根据而不厌其烦地只用万有引力的数学原理作那么多繁琐的计算感到吃惊。其他许多人，包括莱布尼茨，也反对万有引力的纯数学解释。莱布尼茨自1690年读完了牛顿的原理后就开始抨击它直至逝世。伏尔泰(Voltaire)1727年在出席了牛顿的葬礼后，调侃牛顿把一个真空留在了伦敦，又在法国找到了一个实空(Plenum)，在那儿，笛卡尔的哲学仍然盛行。为解释“超距作用”而作的努力一直持续到1900年。 即使完全没有物理学解释，而仅仅依靠数学描述，牛顿也使得他那无与伦比的贡献成为可能。作为对物理学解释的替代，牛顿确实有一个有关重力作用定量的公式，这个公式既重要又实用，因此，在他的原理开篇中，牛顿说：“我在此只为这些力提供一个数学的概念，并没有考虑他们的物理因果。”在书末他又重复了这种思想： 但是我们的目的，是要从现象中寻出这个力的数量和性质，并且把我们在简单情形下发现的东西作为原理，通过数学方法，我们可以估计这些原理在较为复杂情形下的效果。我们说通过数学方法（着重号为牛顿所加），是为了避免关于这个力的本性或质的一切问题，这个质是我们用任何假设也确定不出来的。 在他1692年2月25*写给牧师本特利博士的信中，牛顿这样写道： 至于引力是物质所内在的，固有的和根本的，因而一个物体可以穿过真空超距地作用于另一个物体，毋须有任何一种东西的中间干预，用以把它们的作用和力从一个物体传递到另一个物体，这种说法对我来说，尤其荒谬。我相信凡在哲学方面有思考才能的人决不会陷入这种谬论之中。引力必然是由一个按一定规律行事的主宰所造成的，但是这个主宰是物质的还是非物质的，我留给读者自己去思考。 尽管有牛顿在数学上的成功，但物理机械论的久不出现依然困绕着科学家们，然而他们想得到这样一种物理机械论的努力一直没有实现。贝克莱尤弗拉洛简记为尤，艾西弗伦简记为艾）。 牛顿确实希望引力的本质能为人们探究和知晓，但事与愿违，没有人能解释引力是如何作用的，这种力的物理真实性从未得以证明，而只是人类能力试图影响这种力的一个科学幻想。然而，由定量定律得到的数学结论被证明是如此有效，以致于这种方法被认为是自然科学的一个整体部分。科学所做的就是牺牲物理上的可解释性而得到数学上的可描述性和可预测性。 17世纪的成就常被概括为数学物理学家们构造了一个像机器一样运转的力学世界。当然，如果力学仅仅是指通过作用在微粒及它们的延展而成的物体上的力，用重性、浮性、共振和前面所提及的一些概念解释所产生的运动，那么，亚里士多德及中世纪的科学家们的科学也是力学。然而，17世纪的人，尤其是笛卡尔及其追随者，摈弃了前人用以解释运动的质量多元性的假设，而将力限定为物质的、明显的：扔出一个物体必须有重量或力。可以称这种牛顿以前的物理学为物质物理学，数学可以描述它但数学不是根本。 牛顿力学和他以前的力学的本质不同不只在于引入了数学来描述物体的状态，数学对物理学的帮助也不只因为它是一种更方便、更简洁、更清晰、更普遍的语言，而是因为它提供了最基本的概念。重力只是一个数学符号的名称，同理在牛顿第二运动定律（Fma，力等于质量乘以加速度）中，力可以是使物体产生加速度的任何东西。力本身的性质在物理上也许是不可知的，因此牛顿谈到而且使用了向心力和离心力的概念，尽管他并不知道这些力的机制。 在牛顿力学中甚至质量的概念也是虚构的。确切而言，质量是物质，而物质却如同塞缪尔所“证明”的像踢一块石头一样真实。对牛顿来说，质量最基本的性质是惯性，其意义已在第一运动定律中表述，即若一个物体处于静止且不受力作用时，它将继续保持静止；若它处于运动状态，则它将作匀速直线运动。为什么是直线而不是曲线呢？伽利略将惯性运动理解为曲线运动。那么，为什么会是匀速运动呢？如果没有力的作用，物体为什么总保持静止或做匀速运动？惯性是一个虚构的概念，并非实验事实，质量不可跟所有的力分开。牛顿运动定律中唯一具有物理真实性的部分是加速度，我们可以观察并度量出物体加速度的大小。 但牛顿终于放弃了物理的解释，他用数学概念及量化了的公式，还有能导致公式的数学推导重铸了整个17世纪的物理学。牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序，和一个用一套普遍的，仅用数学表述的物理原理控制的宇宙。这是一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫星运动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动的宏大的规划。牛顿这个规划使世人折服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律即数学。牛顿的原理是物理解释的墓志铭。拉普拉斯曾说过，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。 在18世纪，数学家们，同时也是伟大的科学家们继承了牛顿的想法，拉格朗*的分析力学（1788年）可视作是牛顿数学方法的典范。在这本书中，力学完全数学化地处理，与物理过程无甚联系。事实上，拉格朗*夸口他不需这些，甚至连几何图形也不需要。牛顿力学和天文学的方法，也被用于处理物理学一些较新的分支，如流体力学、弹性力学和电磁学。定量的、数学化的方法构成了科学的本质，真理大多存在于数学之中。17世纪的叛逆者们借助于数学描述进行研究，发现了一个量化了的世界。他们将物理世界的具体事物转换成数学公式，从而留给后人一个数学的、定量的世界，这就是繁荣至今的自然的数学化的开始。而当詹姆斯?琼斯爵士(JamesJeans)在神奇世界（1930年）中称：“宇宙的伟大建筑师现在看起来似乎是一个纯粹的数学家”时，他至少已落后于时代两个世纪。 虽然如我们所说，单纯依赖于不被物理解释所支持的数学公式，牛顿也颇感不安，但他不仅竭力提倡他的关于自然哲学（物理学）的数学原理，而且确信其是他所描述的现象的真正解释。他为何有这种信念呢？原因是，正如他那个时代的所有数学家和科学家一样，牛顿相信上帝创造的世界与数学原理相吻合。最具说服力的是牛顿在光学（1704年）中，有关上帝作为宇宙框架构造者而存在的一段经典论述： 自然哲学的主要任务是不作虚构假说而从现象来讨论问题，并从结果中导出其原因，直到我们找到第一个原因为止，而这原因一定不是机械的。在几乎空无一物的地方有些什么？太阳和行星之间既无稠密物质，它们何以相互吸引？何以自然界不作徒然之事，而我们在宇宙中看到的一切秩序和美丽又从何而来？出现彗星的目的何在，并且何以行星都是一样在同心的轨道上运动，是什么在阻止一颗星下落到另一颗的上面？动物的身体怎么会造得如此巧妙，它们的各个部分各自为了哪些目的而设？没有光学的技巧，是否能造出眼睛，没有声学知识，是否能造出耳朵？身体的运动怎样依从意志的支配，而动物的本能又从何而来？这些事情都是这样井井有条，所以从现象来看，是否好像有一位没有形体的、活的、最高智慧的、无所不在的上帝，他在无限空间中，像在他的感觉中一样，仿佛亲切地看到形形色色的事物本身，深刻地理解并全面地领会它们，因为事物就直接呈现在他的面前？ 在他的原理第三版中，牛顿回答了他自己的问题： 太阳、行星和彗星这个最美丽的系统只能开始于一个有智慧、有能力的人的圣旨和支配。这个人统治了天下万物，他不仅是世界的灵魂，而且是一切的主宰。 牛顿也确信，上帝是一个全能的数学家和物理学家。他在一封1692年12月10*给理查德?本特利的信中写道： 牛顿对宗教的兴趣是他进行数学和科学研究的真正动力。他相信基督教的教义就是上帝的启示，上帝是所有自然力和万事万物存在与发生的原因，神的意志、引导、控制无所不在。从他青年时代开始，牛顿就做过严格的有关宗教方面的研究和解释工作，他的后半生也全部献给了神学。在他的著作对丹尼尔的预言和圣约翰的启示录的观察（1733年）和古代王国编年史修订本残存的数百页手稿中，他试图确定圣经事件年表。虽然科学研究本身就是要从神秘和超自然中解放出来，但牛顿认为科学也是崇拜上帝的一种形式。牛顿为自己的工作揭示了无所不在的上帝之秘密而倍感欣慰。他重视加强宗教的基础远胜过重视数学和科学成就，因为后者只不过是展示了上帝对宇宙的设计而已。他经常为自己那艰难有时甚至是枯燥的工作辩护，因为这些工作通过提供上帝安排宇宙秩序的证据支持了宗教，他就像拜读圣经一样虔诚地工作。上帝的智慧可以通过展示宇宙的结构而被证明，上帝也是天下万事发生的原因，奇迹只是上帝常规活动之外的即兴创作。上帝偶尔也必须修正一些小纰漏，正如钟表匠修理钟表那样。 上帝设计了宇宙，数学和科学的作用是揭示这些设计，如果这一信念还须加强，那么这一工作已由莱布尼茨(GottfriedWil-helmLeibniz)来担当。像笛卡尔一样，莱布尼茨主要是个哲学家，他多才多艺，对数学、科学、历史、逻辑学、法律，外交和神学的贡献都是首屈一指的。同牛顿一样，莱布尼茨视科学为一种宗教使命，科学家们有义务去肩负之。在1699年或1700年的一封没署名*期的信中他写道：“在我看来，整个人类的首要追求目标应该是理解和发展上帝所创造的奇迹，这也是上帝赐给人类地球这个帝国的原因。” 在神正论（1710年）中，莱布尼茨肯定了到那时为止这样一些类似的想法，即上帝是位伟大的智者，正是她创造了这个精心设计的世界。莱布尼茨对现实世界和数学世界的和谐，以及对数学在现实世界适用性的最终辩护是，上帝与世界是统一的，因为上帝已精心计算在先，所以世界就是如此，数学与自然之间，有一种先天的默契。宇宙是尽善尽美的，是所有可能有的世界中最美好的世界，而且是理性的思维揭示了它的规律。 真正的知识在我们头脑中是与生俱来的，尽管不是如柏拉图所说，是先验存在的。感觉永远不能教给我们诸如上帝存在，或所有直角都相等之类最起码的真理。因此，数学的公理是先天存在的真理，正如它是力学和光学等推理科学中的基本原理一样。“为了确定被感知的事物，感觉不可或缺，同样，为了确定事实，实验不可或缺。但证明的力量在于理性的概念和真理，只有它们能使我们识别什么是必需的。” 莱布尼茨的数学和科学工作广泛而有价值，我们以后还将详述。但有点像笛卡尔，他的贡献是技术性的。他在微积分及微分方程创立之初所做的工作，还有他对某些新出现的概念如我们今天称之为动能的重要性的确认，都是第一流的。但莱布尼茨没有贡献任何新的关于自然的根本性法则，倒是他的以数学为基础的科学哲学认为，在激励人们寻求真理时，数学最为重要。 18世纪的人们极大地发展了数学和数学科学，使有知识的人确信，数学和科学中的数学定律是真理，但他们的工作大部分是前人工作的延伸。贝努利家族，尤其是詹姆斯?贝努利(JamesBernoulli)、其弟约翰?贝努利(JohnBernoulli)及约翰之子丹尼尔?贝努利(DanielBeroulli)，还有欧拉、达兰贝尔、拉格朗*、拉普拉斯及其他许多人继续对自然进行数学探索，他们都对微积分的技巧有所发展，并创建了一些全新的数学分支，如常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及复变函数。这些学科本身不仅被作为真理接受，而且为探索大自然提供了更加强有力的工具。正如欧拉1741年所言：“数学的用处，通常认为是其基础部分，但数学的用处，不仅不囿于较高深的数学，而且事实上，科学越向纵深发展，数学的作用就越显著。” 数学研究的目的在于获得更多的自然规律，更深刻地了解自然的设计。为了继续牛顿描述和预言天体运动的工作，人们在天文学上所做的努力最多。牛顿的主要理论，即行星的轨迹是椭圆，只当天空中仅有太阳和一颗行星时才正确，他对此也很清楚。但在牛顿时代和几乎整个18世纪，人们已得知有6颗行星，每一颗相互吸引而所有的行星又被太阳吸引。更进一步，一些行星，如地球、木星、土星均有卫星，因此椭圆形轨道会受到干扰。那么，真正的轨道又是什么呢？所有18世纪的伟大数学家们都在考虑这个问题。 问题的关键在于三个物体之间相互有引力作用。如果能够设计某种方法以测定第三个物体的干扰作用，那么这种方法也同样适用于第四个物体，并可依此类推下去。然而，即使到了今天，就算是三个物体运动的一般问题也还没有确切的解答，不过，人们已经设计出近似程度越来越好的方法。 即便是采用了近似的方法，18世纪的成就仍然是令人瞩目的。克莱洛(Alexis-ClaudeClairaut)对哈雷彗星回归的预言证明了数学工作在天文学上的精确性，这是最富有戏剧性的论据之一。有好几个人都曾观测过这颗彗星，哈雷在1682年曾试图测定出它的轨道，他预言说这颗彗星将于1758年返回。1758年11月14*，在巴黎科学院的一次会议上，克莱洛宣布哈雷彗星将于1759年4月中旬返回到它的近*点，可能的误差是30天。这颗彗星比预料的早到了一个月，一个月的误差似乎很大，但是人们最多只能在几天中看到，而且这颗彗星77年才能见到一次。 天文学中另一辉煌的成就应归功于拉格朗*和拉普拉斯的工作。人们观测到月球和行星的运动不很规则，这些不规则的运动可能意味着行星将越来越远离太阳或是移向太阳。拉格朗*和拉普拉斯证明了，人们所观测到的木星和土星速度的不规则是周期性变化的，因而它们的运动基本上是稳定的。这个世纪的天文学工作都收录在拉普拉斯恢宏的科学巨著天体力学中，这本书在1799到1825年间共出版了五卷。 拉普拉斯实际上将他的全部生命献给了天文学，他将他所涉猎的每一个数学分支都应用于天文学。众所周知的一个事实是，他在他的著作中经常省略一些困难的数学步骤，并且说：“易知”这说明他实际上对数学细节并无耐心，而只管应用。他对数学的许多基本贡献只是他在自然科学的伟大工作中的副产品，而由别人发展起来的。 同样为人们所津津乐道且富有戏剧性的是海王星的发现。虽然海王星迟至1846年才发现，但是这一发现都是建立在18世纪数学工作的基础之上的。1781年，赫谢耳(WilliamHerscher)通过一个大功率的新式望远镜发现了天王星，但是天王星的轨迹与人们所预测的并不相符。于是，布瓦德(AlexisBourard)提出这样一个假想：还有一颗未知的行星在干扰着天王星的运动。人们通过观测和计算这颗未知行星可能的大小和轨迹，以试图确定这颗行星的位置。1845年，亚当斯(JohnCouchAdams)，剑桥大学的一个26岁的学生，对这颗假想的行星的质量、位置及轨道做了详细的估算。当得知这一工作时，格林威治皇家天文台台长，著名的艾利(GeorgeAiry)爵士对之不予理睬。但是另外一位年轻的天文学家、法国的列维利尔(UrhainJ.J.Leverrier)也独立地推出了和亚当斯相同的结论，并给德国天文学家加勒(JohannGalle)寄去了一套如何找到这颗行星的位置的说明。加勒于1846年9月23*收到了这份资料并于当天晚上发现了海王星，其方位与列维利尔预测的仅差55分。在预测能够精确到万分之一的情况下，对于使这种惊人的预测成为可能的天文学理论，谁又会怀疑它的真实性呢？除了天文学以外，光学这门学科甚至在古希腊时代就已经部分数学化了。17世纪早期显微镜和望远镜的发明极大地激发了人们研究光学的兴趣，并且像古希腊时代一样，17、18世纪的每一位数学家都致力于这一领域的研究。在17世纪史奈尔和笛卡尔就已经发现了托勒密求而无获的光折射定律：光通过突然改变的介质时，如从空气到水，会发生什么现象。罗伊默(OlausRoemer)注意到光速是有限的，而牛顿则发现白光是从红到紫所有颜色的光的混合物。这两个事实极大地激发了人们对光学的兴趣。牛顿在光学（1704年）一书中大力提倡这门学科并将其归功于显微镜与望远镜的改进。在这里，数学仍然是主要的工具，而欧拉关于光学的一部三卷著作则是另外一个里程碑。 但光的物理本质却一点也不清楚。牛顿认为光是一种微粒的运动，惠更斯则认为光是波的运动，虽然并不是通常意义的波。而欧拉却是第一个用数学处理光振动并得出光的运动方程的人。他力主光的波动本质并在这个问题上成为唯一反对牛顿的人。19世纪早期菲涅尔(Augusfin-JearFresnel)和托马斯?扬(ThomasYoung)的工作都为他的理论作了辩护。但是光的本质即便在那时也没有变得更清楚些，数学定律依然占据主导地位。现在被人们普遍接受的光理论、电磁理论，在那时离诞生还有50年之遥。 17世纪的费马(PierredeFermat)作为数学巨擘之一，在相当有限的事实基础上，证明了他的最少时间原理。该原理认为，光在从一点到另一点的过程中，总是选择所需时间最短的路径，显然上帝不仅让光服从数学定律，还让其遵循最短路径。当费马成功地从史奈尔和笛卡尔先前发现的光的折射定律中得到这一原理时，他愈发相信他的原理的正确性了。 到18世纪初，数学家们对自然界总试图将某些重要量取成极大或极小值这一事实有了一些很鲜明的实例。惠更斯起初也反对费马的原理，他认为费马原理不能解释光在连续变化的介质中传播时的现象。但甚至牛顿第一运动定律，即一个运动的，不受任何力干扰的物体，将作直线（最短路线）运动，也是自然界力图节约的范例。18世纪的人们确信：因为一个完美的世界不能容忍浪费，所以自然的作用应该是花费最少即能达到目的，于是，一个寻找普遍原理的工作开始了。此种原理的第一个公式由莫帕图伊斯(Pierre-LouisMoreaudeMaupertuis)提出。他主要是一个数学家，曾率领一支探险队到拉普兰地区（挪威、瑞典、芬兰和前苏联各国靠近北极的地带）丈量沿着子午线一度的长度。他的测量显示了地球确如牛顿和惠更斯通过理论证明得到的那样，其两极是扁平的。莫帕图伊斯平息了J?卡西尼(Jean-DominiqueCassini)