广东省高考数学 8.6双 曲 线配套课件 理 新人教A版.ppt

第六节双曲线 三年18考高考指数 1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 2 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用 3 理解数形结合的思想 1 双曲线的定义 标准方程 几何性质是高考的重点 双曲线的离心率 渐近线或与其他知识结合是高考的热点 2 多以选择题 填空题为主 属中低档题目 1 双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 1 在平面内 2 动点到两定点的距离 为一定值 3 这一定值一定要 两定点的距离 之差的绝对值 小于 即时应用 判断下列点的轨迹是否为双曲线 请在括号内填写 是 或 否 1 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于2的点的轨迹 2 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于3的点的轨迹 3 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于4的点的轨迹 4 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于4的点的轨迹 5 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于6的点的轨迹 6 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 解析 由双曲线的定义可知 1 点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为2的双曲线的一支 2 点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为3的双曲线 3 点的轨迹是以b为端点方向向下的一条射线 4 点的轨迹是分别以a b为端点方向向上 下的两条射线 5 距离之差大于 ab 所以点的轨迹不存在 6 距离之差的绝对值大于 ab 所以点的轨迹不存在 答案 1 否 2 是 3 否 4 否 5 否 6 否 2 双曲线的标准方程和几何性质 对称性 图形 标准方程 范围 顶点 性质 a 0 b 0 a 0 b 0 x a或x a y a或y a 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 离心率 a b c的关系 性质 实虚轴 渐近线 实轴的长 a1a2 2a 虚轴的长 b1b2 2b a叫做双曲线的半实轴长 b叫做双曲线的半虚轴长 即时应用 1 思考 双曲线离心率的大小与双曲线 张口 大小有怎样的关系 提示 因为离心率 所以 离心率越大 就趋近于 即两条渐近线所形成的角 双曲线所在的区域 就越大 即双曲线的 张口 就越大 离心率越小即接近1 就趋近于0 即两条渐近线所形成的角 双曲线所在的区域 就越小 即双曲线的 张口 就越小 2 已知曲线2x2 y2 6 0上一点p到一个焦点的距离为4 则它到另一个焦点的距离为 解析 曲线2x2 y2 6 0的方程可化为 所以a2 6 又因为点p到一个焦点的距离为4 所以到另一焦点的距离为 答案 3 已知双曲线 a 0 b 0 的虚轴长为2 焦距为则双曲线的渐近线方程为 解析 依题意知 所以b 1 因此 双曲线的渐近线方程为 答案 双曲线的定义 标准方程 方法点睛 1 应用双曲线定义的注意事项 1 距离之差的绝对值 2 2a f1f2 3 双曲线上任意一点与两焦点围成的 焦点三角形 中的数量关系 2 双曲线的标准方程 1 当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 mn 0 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 ab 0 这种形式在解题时更简便 2 当已知双曲线的渐近线方程bx ay 0 求双曲线方程时 可设双曲线方程为b2x2 a2y2 0 据其他条件确定 的值 3 与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为 0 据其他条件确定 的值 3 求双曲线标准方程的方法及步骤 1 定义法 根据题设条件得出或已知曲线为双曲线 可直接求出a b c 得出双曲线方程 2 待定系数法 先设出双曲线的标准方程 将题设条件代入方程确定相关系数 最后得出方程 提醒 用定义法求双曲线方程时 要注意焦点所在坐标轴的位置 例1 1 与双曲线有相同的渐近线 且过点 3 的双曲线方程为 2 已知定点a 0 7 b 0 7 c 12 2 以c为一个焦点作过a b的椭圆 求另一个焦点f的轨迹方程 解题指南 1 先设出双曲线的方程 用待定系数法求解 2 由椭圆定义得出关于点f的等式 化简后可得出点f的轨迹 进而得出轨迹方程 规范解答 1 因为所求双曲线与有相同的渐近线 所以设所求双曲线方程为 0 又因为双曲线过点 3 所以 解得 所以所求双曲线方程为 即答案 2 由椭圆的定义知 ac af bc bf 又因为a 0 7 b 0 7 c 12 2 所以 ac 13 bc 15 因此 af bf 2 所以f的轨迹是双曲线的一支 其中c 7 a 1 b2 48 因此所求轨迹方程为 互动探究 本例 1 中 有相同的渐近线 改为 有相同的焦点 结果如何 解析 双曲线中 c 5 焦点坐标为 5 0 5 0 又因为所求双曲线与双曲线有相同的焦点 所以可设双曲线方程为又因为双曲线过点 3 所以解得 舍去 或所以双曲线方程为 反思 感悟 1 第一小题有相同渐近线的双曲线方程的设法只有一个参数 再需一个条件即可求解 2 第二小题是借助于椭圆的定义 得出一个等式 再由双曲线的定义得出轨迹为双曲线的一支 变式备选 过双曲线x2 y2 8的左焦点f1有一条弦pq交左支于p q两点 若 pq 7 f2是双曲线的右焦点 则 pf2q的周长为 解析 因为x2 y2 8 所以 由题设及双曲线的定义得 所以 即又因为 pq 7 所以因此 pf2q的周长为答案 双曲线的几何性质 方法点睛 1 双曲线的几何性质的关注点双曲线的几何性质从以下三点关注 1 六点 两焦点 两顶点 两虚轴端点 2 四线 两对称轴 实 虚轴 两渐近线 3 两形 中心 顶点 虚轴端点构成的三角形 双曲线上的一点 不包括顶点 与两焦点构成的三角形 2 双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 1 已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意及判断焦点的位置 2 已知渐近线方程y mx m 0 求离心率时 若焦点不确定时 m 或m 因此离心率有两种可能 提醒 双曲线中a b c之间的关系为c2 a2 b2 不要和椭圆之间的关系混淆 例2 1 2011 福建高考 设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1 f2 若曲线c上存在点p满足 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 则曲线c的离心率等于 a 或 b 或2 c 或2 d 或 2 2012 广州模拟 已知双曲线的渐近线方程为y x 并且过点 3 则该双曲线的方程为 解题指南 1 由于已知圆锥曲线的两个焦点 所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线 再由椭圆 双曲线的定义及离心率的定义即可求解 2 双曲线的焦点位置不明 由渐近线方程可设双曲线方程为 3x 2 4y 2 据过 3 确定 值 进而得双曲线方程 规范解答 1 选a pf1 f1f2 pf2 4 3 2 可设 pf1 4k f1f2 3k pf2 2k k 0 其中 f1f2 2c 3k 若圆锥曲线c为椭圆 则 pf1 pf2 2a 6k a 3k 若圆锥曲线c为双曲线 则 pf1 pf2 2a 2k a k e的取值为或 2 双曲线的渐近线方程可写成3x 4y 0 设双曲线的方程为 3x 2 4y 2 双曲线过点 3 3 2 4 3 2 解得 9 16 双曲线方程为9x2 16y2 9 16 即 答案 互动探究 在本例 1 中 若圆锥曲线为双曲线且c 6 其他条件不变 求双曲线的焦点到其渐近线的距离 解析 因为圆锥曲线为双曲线且c 6 又因为 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 所以 pf1 16 pf2 8 2a 16 8 8 即a 4 所以当双曲线的焦点在x轴上时 一个焦点为 6 0 一条渐近线方程为 焦点到渐近线的距离为 当双曲线的焦点在y轴上时 一个焦点为 0 6 一条渐近线方程为焦点到渐近线的距离为 反思 感悟 1 第一小题首先是讨论曲线的类型 然后再根据相应曲线的定义 求出离心率的值 2 第二小题解题的关键是设出双曲线方程 然后求解 变式备选 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点f恰好是双曲线的右焦点 且双曲线过点 则该双曲线的渐近线方程为 解析 抛物线y2 2px的焦点为 双曲线的右焦点为 即p2 4 a2 b2 因为双曲线过点所以即 9a2 4b2 p2 4 a2 b2 8b2 5a2 渐近线方程为答案 与双曲线有关的综合问题 方法点睛 1 直线与双曲线的位置关系判断直线l与双曲线e的位置关系时 通常将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 代入双曲线e的方程f x y 0 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的一元方程 即 消去y后得ax2 bx c 0 直线与双曲线 方程特征 公共点个数 位置关系 a 0 a 0 0 a 0 0 a 0 0 1 2 1 0 直线与双曲线的一条渐近线平行 两者相交 相交 相切 相离 2 解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法 1 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式 组 通过解不等式 组 求得参数的取值范围 2 当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时 则可先建立目标函数 进而转化为求解函数的值域 提醒 解决直线与双曲线相交问题时 若涉及到弦的中点或斜率 一般用点差法求解 例3 2012 合肥模拟 已知双曲线c a 0 与直线l x y 1相交于两个不同的点a b 1 求双曲线c的离心率e的取值范围 2 设直线l与y轴交点为p 且 求a的值 解题指南 1 将直线方程代入双曲线方程消去y 整理成关于x的一元二次方程 得a的范围 利用a的取值范围求解 2 设出a b的坐标 利用 1 中一元二次方程的根与系数的关系求解 规范解答 1 由双曲线c与直线相交于两个不同的点 知方程组有两个不同的解 消去y并整理得 1 a2 x2 2a2x 2a2 0 解得0 a 且a 1 双曲线的离心率 0 a 且a 1 e 且即离心率e的取值范围为 2 设a x1 y1 b x2 y2 p 0 1 得由于x1 x2是方程 的两个根 即消去x2 得解得 反思 感悟 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系 解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程 然后把直线方程和双曲线方程联立组成方程组 消元后转化成关于x 或y 的一元二次方程 利用根与系数的关系 整体代入的思想解题 设直线与双曲线交于a x1 y1 b x2 y2 两点 直线的斜率为k 则 变式训练 已知双曲线e的中心为原点 f 3 0 是e的焦点 过f的直线l与e相交于a b两点 且ab的中点为n 12 15 则e的方程为 a b c d 解析 选b 设双曲线的标准方程为 a 0 b 0 由题意知c 3 a2 b2 9 设a x1 y1 b x2 y2 则有 两式作差得 又ab的斜率是 即 所以4b2 5a2 将4b2 5a2代入a2 b2 9得a2 4 b2 5 所以双曲线的标准方程为 故选b 易错误区 双曲线几何性质的解题误区 典例 2011 山东高考 已知双曲线 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆c x2 y2 6x 5 0相切 且双曲线的右焦点为圆c的圆心 则该双曲线的方程为 a b c d 解题指南 求出圆c的圆心坐标 半径 写出渐近线方程 由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a b的关系 再由双曲线的右焦点为圆c的圆心知c值 即可求出结果 规范解答 选a 双曲线的渐近线方程为bx ay 0和bx ay 0 圆心为 3 0 半径r 2 由圆心到渐近线的距离为圆的半径得 即4a2 5b2 又因为双曲线的右焦点为圆c的圆心 所以c 3 即9 a2 b2 所以 a2 5 b2 4 所以该双曲线的方程为 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 安徽高考 双曲线2x2 y2 8的实轴长是 a 2 b c 4 d 解析 选c 将双曲线2x2 y2 8化成标准方程则a2 4 所以实轴长2a 4 2 2011 湖南高考 设双曲线 a 0 的渐近线方程为3x 2y 0 则a的值为 a 4 b 3 c 2 d 1 解析 选c 由可得到双曲线的渐近线方程为又已知双曲线的渐近线方程为3x 2y 0 根据直线重合的条件可得到a 2 3 2011 新课标全国卷 设直线l过双曲线c的一个焦点 且与c的一条对称轴垂直 l与c交于a b两点 ab 为c的实轴长的2倍 则c的离心率为 a b c 2 d 3 解析 选b 不妨设双曲线的焦点在x轴上 焦点在y轴上的离