12.3 角平分线的性质 (2).doc

一、 教学内容分析角平分线的性质是人教版教材（2011版）八年级数学上册第十二章第三节内容，本节课是第一课时，属于事实性知识的内容范畴。七年级上册学习角平分线的定义和折纸作角平分线的方法，并刚刚学习了全等三角形的性质和判定，这为学习本节课准备了研究工具。本节课是全等三角形知识的延续，是今后证明两个角相等或证明两条线段相等的重要依据，并为学习轴对称作好铺垫，本节课包含的一些作图知识，为以后的作图提供了方法参考。因此，本节课在数学知识体系中起到了承上启下的作用。角平分线起源于古希腊三大几何难题之一的化圆为方问题的求解。具有“工具性”和“理性”的双重功效，对学生的逻辑思维有很好的训练作用。二、教学目标1、基本知识：了解尺规作图的原理及角平分线的性质.2、基本技能（1）能用尺规作出已知角的平分线。（2）能探索出并证明角平分线的性质。（3）会用角平分线的性质解题。3、基本思想：从特殊到一般的数学方法4、基本活动经验：体验操作、猜想、验证的数学过程。三、学生情况分析刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，逻辑思维处于经验型逻辑思维向理论型的逻辑思维转化的关键期。依据维果茨基的“最近发展区”理论，学生现有的知识水平是能尺规作一已知线段等于已知线段，能灵活运用全等三角形的判定方法。但在作图目的上仍停留在实用性上，未能体会到尺规作图的重要性。要帮助学生寻求尽量少的作图工具进行作图。另外，学生已能较熟练地利用文字和图形语言进行几何证明，但在将文字和图形语言转换成符号语言上出现较大的困难。在心理上，学生仍倾向于相信通过感官系统获得的信息，教学要帮助学生不要“眼见为实”，寻求逻辑证明。鉴于这种“最近发展区”，学生可能的水平应该是能够利用尺规作一已知角的平分线，折纸作角的平分线和能对简单的几何命题进行逻辑证明。四、教学重点与难点分析根据学生的认知特点和接受水平，同时本着新课程标准“能完成作角的平分线、了解角平分线的性质并会应用”的要求。将教学重点定为：角平分线的画法以及角平分线的性质及应用，经历数学结论从操作、猜想、验证的过程。难点是探究角平分线的性质及应用。教学难点突破方法：（1）利用动手操作和多媒体动态展示等直观手段逐步揭示角平分线性质的本质内容，由易及难，从形象到形式，让学生受到数学化的熏陶。（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）创设具有启发性和趣味性的问题串，使学生在积极的思维状态中进行学习。五、教学策略本节课我采用任务驱动课堂，从来源于生活世界中最为朴素的观念开始，设计一系列数学问题来驱动课堂教学，让学生在好奇心的驱使下逐步逼近数学本质，体验来源于生活世界的原始朴素想法进行水平数学化得到一个相对严格的命题的思想过程。采用探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习。鼓励学生多思、多说、多练，努力做到教师、学生、数学本身的多角度对话。教学辅助手段：根据本节课的教学需要，我选择多媒体PPT课件，几何画板软件教学。六、教学过程设计活动1 课题引入生活中有很多数学问题：如图1，要在两条街道所形成的岔路之间、距路口一定距离处安装一盏路灯。要求路灯照得两条街道“一样亮”。 问题1：灯柱该立在何处？如何作出这条角平分线？ 设计意图依据新课程理念，教师要创造性地使用教材， 图1重构角平分线知识的发生过程。通过岔路口的路灯安装问题来引入，不仅可以将教学建立在一个易于学生理解的生活情境的基础之上，还可以有效地激发学生的学习动机。这是发生教学法的基本思想。主要目的是引出利用尺规作已知角的平分线。活动2 探究体验 问题2：古代数学家是如何解决这个问题的？简单地介绍古希腊数学家欧几里得和他的几何原本，并介绍他的作图法。作一个已知角的平分线是几何原本第1卷中的命题9：“平分一个已知角。”欧几里得给出的作图方法是：如图2，在OA上取点D，在OB上取点E使得OE=OD，连结DE，在DE上作等边三角形DEF，则OF就是AOB的平分线。（SSS）其中，在一条已知线段上作一个等边三角形是几何原本第1卷的命题1。如图3。教师继续引导，用多媒体展示作图过程，学生口述，用三角形全等的方法证明OF是AOB的平分线。设计意图教材的处理人为地剥离了知识本身“人的元素”，增加知识的相关历史背景，除了增加趣味性外，更重要的是让学生体会“数学有着悠久的历史”以及“数学是人类的文化活动，是人参与了数学活动”的道理。问题3：根据全等三角形的判定方法，上述作法画等边三角形的主要作用是什么？能否有其他的作法？那么从尺规作图的角度如何实现OD=OE，DF=EF？教师提问，学生分组交流，归纳角的平分线的作法，口述证明角平分线的过程。（SSS）教师在黑板上示范作图，并强调尺规作图的规范性，并强调每一步的原理。1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点D，交 OB于点 E。目的是使 = 。2、分别以 D、E 为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在AOB 的内部交于点 F。目的是使 = 。3、大于 DE的长为半径画弧，原因是 。设计意图根据欧几里得的画图过程，从作图原理中获得启示，发现新的作图方法。让学生体会到发现的乐趣。更能让学生体会到知识是历史性的，人类文明是在前人的基础上不断创新发展的。明确几何作图的基本思路和方法，师生交流并归纳。从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。练习1：作一个平角AOB的平分线OC，反向延长OC得到直线CD，请学生说出直线CD与AB的位置关系。设计意图让学生掌握过直线上一点作已知直线的垂线，达到培养学生的发散思维的目的。除了可以利用尺规作角的平分线外，在七年级上册学习“角”时还可以利用折纸方法作角的平分线， 让学生折纸作角平分线， 然后提示对折后的纸片继续折一次，折出一个直角三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。问题4：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何位置关系，它们的长度有何关系？学生动手剪纸，折叠，学生观察思考后，在班上交流：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到角两边的距离，它们的长度相等。设计意图培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫。如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕。让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。结合图形写出已知，求证，分析后提示学生写出证明过程（AAS），并利用实物投影展示。已知:如图,OC 平分AOB,任意点 P 在 OC 上,PDOA 于点 D,PEOB 于点 E.求证:PD=PE.证明：略归纳证明文字型几何命题的一般步骤。（独立完成）证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理，可在解题中直接运用。同时强调定理的符号表述。 几何语言（根据图上所标字母） 点 P 在AOB 的平分线 OC 上 PDOA，PEOB， PD =PE .设计意图经历实践猜想证明归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，利用多媒体直观优势，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维，突破教学难点。活动3 合作交流判断正误，并说明理由：（1）如图，1=2，P在射线OC上，PEOA，PFOB，则PE=PF。（满足两个条件）（2）如图， P在射线OC上，PEOA，PFOB，则PE=PF。（满足一个条件，点P不在角平分线上）（3）如图，P是AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF。（满足一个条件，线段不是表示点P到角两边的距离）用多媒体展示判断题，学生独立思考完成，并请学生举手发表见解，教师予以肯定、鼓励。设计意图让学生通过辨析来理解和巩固角平分线的性质定理，强调应用角的平分线的性质定理要满足两个方面的条件：一是点在角平分线上；二是表示点到角两边的距离。例1 如图， 在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F。求证：EB=FC。教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路，再鼓励学生通过实物投影展示自己的证明过程。设计意图本组例题的解决是为突出重点、突破难点而设计的一项活动。让学生运用性质解决数学问题，对比不同的解法，让学生体会到直接运用性质更简单，少证了一次全等。通过学生观察识图、独立思考、小组讨论，培养学生合作交流的意识。 练习2 ：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 图（提示：作P点到三角形三边的距离）限时让学生独立思考分析，然后交流证题思路，再通过多媒体展示一般证明过程。设计意图练习2限时独立完成，并展示。两次应用角平分线的性质，有利于学生更好的理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度。活动4 反思小结问题5：这节课你有哪些收获，还有什么困惑？通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？教师让学生畅谈本节课的收获与体会。学生归纳、梳理交流本节课所获得的知识技能与情感体验。设计意图通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力。作业：必做题：教材第