高中数学必修1(人教B版)第二章_2-4知识点总结配同步练习及答案.pdf

描述 例题 描述 高中数学必修1 人教B版 知识点总结含同步练习题及答案 第二章 函数 2 4 函数与方程 一 学习任务 1 掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法 了解函数的零点与相应的方程根的联系 2 能根据具体函数的图象 借助计算器用二分法求相应方程的近似解 二 知识清单 函数零点的概念与意义 零点的存在性定理 函数的零点分布 二分法求近似零点 三 知识讲解 1 函数零点的概念与意义 对于函数 我们把使 的实数 叫做函数 的零点 函数 的零点就是方程 的实数根 也就是函数 的图象与 轴交点的横 坐标 2 零点的存在性定理 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 y f x f x 0 xy f x y f x f x 0y f x x 求下列函数的零点 1 2 解 1 由 得 解得 故函数 的零点是 2 由 得 即 解得 故函数 的零点是 f x x4x2f x x 1log2 0 x4x2 x 1 x 1 0 x2 0 x1 1x2 1x3f x x4x2 101 x 1 0log2x 1log2x log2log2 1 2 x 1 2 f x x 1log2 1 2 下列函数有零点的有 A 个 B 个 C 个 D 个 解 C 中 令 即 无解 所以 此函数没有零点 其 余函数均有零点 y 1axy 2x 1x2y 1x2 3 y 2x3x2 1234 y 1x2 3 y 0 0 1x2 3 1x2 y f x a b f a f b 0 例题 描述 例题 那么函数 在区间 内有零点 即存在 使得 这个 也就 是方程 的根 3 函数的零点分布 函数的零点分布 函数的零点在数轴上的分布情况 尤其指二次函数的零点分布问题 解决二次函数的零点分布问题的主要方法 利用二次函数的图象列不等式组 y f x a b c a b f c 0c f x 0 在下列区间中 函数 的零点所在的区间为 A B C D 解 C 因为 在 上是增函数 在 上是增函数 所以 在 上是增函数 又 所以 f x 4x 3ex 0 1 4 0 1 4 1 4 1 2 1 2 3 4 g x ex h x 4x 3 f x 4x 3ex f 4 0 1 4 e 1 4 f 0 4 0 3 2 0e0f 2 0 1 2 e 1 2 f f 0 1 4 1 2 若 则函数 的两个零点分 别位于区间 A 和 内 B 和 内 C 和 内 D 和 内 解 A 因为 且 所 以 所以 在 上各有一个零点 故选 A a b cf x x a x b x b x c x c x a a b b c a a b b c c a c f a a b a c f b b c b a f c c a c b a b 0f b 0f x a b b c 求实数 的取值范围 使关于 的方程 1 有两个实数根 且一个比 大 一个比 小 2 有两个实数根 且都比 大 3 有两个实数根 且满足 4 至少有一个正根 解 设 它的图象是一条开口向上的抛物线 1 如果 那么抛物线就一定与 轴有两个不同的交点 而且交点的横坐标一个比 大 一个比 小 于是由 解得 2 有两个实数根 且都比 大的条件是 即 mx 2 m 1 x 2m 6 0 x2 22 1 0 1 4 f x 2 m 1 x 2m 6x2 f 2 0 x 22f 2 0m 0 1 2 m 1 2 描述 4 二分法求近似零点 对于图象在区间 上连续不断且 的函数 通过不断的把函数 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近函数的零点 进而得到函数零 点近似值的方法叫做二分法 bisection 二分法的精度 通过二分法最后确定的函数零点所在的区间 的长度 即 解得 3 有两个实数根 且满足 的条件是 即 解得 4 方程至少有一个正根有三种可能 有两个正根 此时应有 即 所以 有一个正根 一个负根 此时应有 解得 有一个正根 另一个为零 此时利用根与系数的关系可知 所以 综上所述 4m 5 0 m2 m 5 4 m 0 m 1 5 4 0 1 0 f 1 0 2m 6 0 1 2 m 1 2m 6 0 m 0 0 2 m 1 2 m 1 或 m 5 m 3 m 1 3 m 1 f 0 0m 3 6 2m 0 2 m 1 1 m 3 m 1 a b f a f b 0y f x y f x a b a b 例题 二分法的近似解 通过二分法最后确定的函数零点所在的区间 内任意一点都可以作为函数零点的近似解 特 别地 可以将区间端点作为函数零点的近似值 四 课后作业 查看更多本章节同步练习题 请到快乐学 a b 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 其参考数据如下 那么方程的一个近似解 精确到 为 A B C D 解 C 根据题意知函数的零点在 至 之间 取其中点作为函数零点符合题目要求 所以 是方程的一个近似解 故选 C f 1 2 f 1 375 0 26 f 1 5 0 625 f 1 4375 0 162 f 1 25 0 984 f 1 40625 0 054 0 1 1 21 31 41 5 1 406251 4375 1 4 答案 解析 1 如图所示 是二次函数 的图像 则 等于 A B C D 无法确定 B 根据图像知 且方程 有异号的两根 于是 y a bx cx2 OA OB c a c a c a a 0 a bx c 0 x2 xAxB OA OB xAxB c a c a 答案 解析 2 若关于 的方程 有两个不相等的实数根 则实数 的取值范围是 A B C D C 解得