广东省高考数学 4.2平面向量的基本定理及向量坐标运算配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算 三年8考高考指数 1 了解平面向量基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1 平面向量基本定理的应用 坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点 2 题型以客观题为主 与三角 解析几何等知识交汇则以解答题为主 1 平面向量基本定理前提 e1 e2是同一个平面内的两个 条件 对于这一平面内的任一向量a 实数 1 2满足a 结论 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 不共线向量 有且只有一对 1e1 2e2 即时应用 判断下列关于基底的说法是否正确 请在括号内打 或 1 在 abc中 可以作为基底 2 能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的 3 零向量不能作为基底 解析 由基底的定义可知 1 3 正确 2 只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底 故 2 错误 答案 1 2 3 2 平面向量的坐标表示 1 向量的夹角 定义 如图 两个 a和b 作则向量a与b的夹角是 范围 向量a与b的夹角的范围是 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 当 90 时 a与b 非零向量 或 aob 0 180 同向 反向 垂直 2 平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个 的向量 3 平面向量的坐标表示在直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 由平面向量基本定理知 该平面内的任一向量a可表示成a xi yj 由于a与数对 x y 是一一对应的 因此向量a的坐标是 记作a x y 其中a在x轴上的坐标是 a在y轴上的坐标是 互相垂直 x y x y 4 规定 相等的向量坐标 坐标 的向量是相等的向量 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对位置有关系 相同 相同 即时应用 1 思考 在 abc中 向量与的夹角为 abc 是否正确 提示 不正确 求两向量的夹角时 两向量起点应相同 向量与的夹角为 abc 2 已知a 2 0 a x 3 x 3y 5 若a o为原点 则x y 解析 a 2 0 解得答案 1 2 3 平面向量坐标运算 即时应用 1 已知a 1 1 b 1 1 则 2 已知点a 1 5 和向量a 2 3 若 3a 则点b的坐标为 3 设a 1 2 b 1 1 c 3 2 且c pa qb 则实数p q的值分别为 解析 1 2 设b x y 则 x y 1 5 3 2 3 x y 1 5 6 9 5 4 3 3 2 p 1 2 q 1 1 p q 2p q 答案 1 2 5 4 3 14 4 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 0 即时应用 1 已知a 1 3 b x 1 且a b共线 则x 2 设a 1 1 b 1 0 若向量 a b与向量c 2 1 共线 则 解析 1 a b 1 2 3x 0 x 2 a b 1 1 1 0 1 又 a b c 1 1 2 0 1 答案 1 2 1 平面向量基本定理及其应用 方法点睛 用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 提醒 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 另外 要熟练运用平面几何的一些性质定理 例1 如图所示 在平行四边形abcd中 m n分别为dc bc的中点 已知试用c d表示 解题指南 直接用c d表示有难度 可换一个角度 由表示进而求 规范解答 方法一 设则 将 代入 得代入 得 方法二 设因为m n分别为cd bc的中点 所以因而即 反思 感悟 1 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底 该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合 基底不同 表示也不同 2 利用已知向量表示未知向量 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算 变式训练 已知梯形abcd 如图所示 m n分别为ad bc的中点 设试用e1 e2表示 解析 又又由得 平面向量的坐标运算 方法点睛 两向量相等的充要条件两向量a x1 y1 b x2 y2 相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等 即利用向量相等可列出方程组求其中的未知量 从而解决求字母取值 求点的坐标及向量的坐标等问题 例2 1 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b等于 a 7 3 b 7 7 c 1 7 d 1 3 2 已知a 2 3 b 5 4 c 7 10 求 若求m n 解题指南 1 由向量的坐标运算法则求解即可 2 利用为点b的坐标减去点a的坐标求解 利用向量相等列出关于m n的方程组求解 规范解答 1 选a a 2b 3 5 2 2 1 7 3 2 5 4 2 3 3 1 7 10 2 3 5 7 7 10 5 4 2 6 m 5 7 n 2 6 5m 2n 7m 6n 互动探究 本例中第 2 题条件不变 问题变为 若 r 试求 为何值时 点p在一 三象限的角平分线上 又该如何求解 解析 设p x y 则 x y 2 3 x 2 y 3 5 4 2 3 7 10 2 3 3 5 1 7 若点p在一 三象限的角平分线上 则5 5 4 7 反思 感悟 求解平面向量坐标的加法 减法 数乘运算 以及求向量的坐标表示等问题 关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 变式备选 已知a 1 2 b 2 1 c 3 2 和d 2 3 以为一组基底来表示 解析 由题知 1 3 2 4 3 5 4 2 5 1 3 5 4 2 5 1 12 8 又为平面内不共线的向量 故根据平面向量基本定理 一定存在实数m n 使得 12 8 m 1 3 n 2 4 也就是 12 8 m 2n 3m 4n 可得解得 平面向量共线的坐标表示 方法点睛 利用两向量共线解题的技巧 1 一般地 在求与一个已知向量a共线的向量时 可设所求向量为 a r 然后结合其他条件列出关于 的方程 求出 的值后代入 a即可得到所求的向量 2 如果已知两向量共线 求某些参数的取值时 则利用 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 解题比较方便 提醒 1 注意0的方向是任意的 2 若a b为非零向量 当a b时 a b的夹角为0 或180 求解时容易忽视其中一种情形而导致出错 例3 已知a 1 0 b 2 1 1 当k为何值时 ka b与a 2b共线 2 若且a b c三点共线 求m的值 解题指南 1 利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求解即可 2 可引入参数 使求m 或利用的坐标形式求m 规范解答 1 ka b k 1 0 2 1 k 2 1 a 2b 1 0 2 2 1 5 2 ka b与a 2b共线 2 k 2 1 5 0 即2k 4 5 0 得k 2 方法一 a b c三点共线 即2a 3b a mb 解得m 方法二 2 1 0 3 2 1 8 3 a mb 1 0 m 2 1 2m 1 m a b c三点共线 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 m 反思 感悟 1 利用已知列方程求解参数是解该类问题的关键 2 若则a b c三点共线 注意这一结论的应用 变式训练 已知向量 3 4 6 3 5 m 3 m 若点a b c能构成三角形 则实数m满足的条件是 解析 因为 3 4 6 3 5 m 3 m 所以 3 1 m 1 m 由于点a b c能构成三角形 所以与不共线 而当与共线时 有解得m 故当点a b c能构成三角形时实数m满足的条件是m 答案 m 变式备选 向量a x 1 b 9 x 若a与b方向相反 则x 解析 因为a b 所以x2 9 所以x 3 又因为a与b方向相反 所以x 3 答案 3 易错误区 忽视向量平行的充要条件致误 典例 2011 湖南高考 设向量a b满足 a b 2 1 且a与b的方向相反 则a的坐标为 解题指南 设a b 0 利用 a 列出关于 的方程求解即可 规范解答 a与b方向相反 可设a b 0 a 2 1 2 由 a 解得 2 或 2 舍 故a 4 2 答案 4 2 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 广州模拟 已知平面向量a x 1 b x x2 则向量a b平行于 a x轴 b 第一 三象限的角平分线 c y