24部分图形的相似解直角△（1）299－352页.doc

第24部分 图形的相似第一课时(比例、成比例的线段)课标要求1、 掌握比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念。2、 了解黄金分割、比例尺概念。3、 知道相似多边形的性质(特征)及识别方法。中招考点 比、比例及有关概念 比例的基本性质 比例尺 判断四条线段是否成比例 典型例题例1 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为_Km。 若 = 则 =_ 若 = 则 a：b=_ 已知: = 且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_ 某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得自己影子长为0.8m，立即去测量旗杆的影子长为5m，已知他的身高为1.6m，则旗杆的高度为_m。解： 设实际长度约为x cm。则 = x=266000cm=2.66Km，即它的实际长度约为2.66Km。 = 设 a=2k, b=3ka+2b=9k2a-b=5k = = 设 a= k b=k a：b=k:k =19:13 由= 得 设 a=2k b=3k c=5k 又3a+2b-c=14 32k+23k-5k=14解得 k=2 a=4, b=6, c=10 故a+b+c=4+6+10=20 设旗杆高度为x m，则= 解得x=10(米)即旗杆的高长为10m. 评注： 利用关系式：比例尺= 可计算出实际距离。在关系式中任意给出两个数，可求出第三个。计算时注意单位换算：1Km=105cm . 对于 小题比例式的计算，一般用设比值k的方法。k在解题中起桥梁作用。常用设法是：若= 则设a=mk, b= nk; 若= 则设=k. 有a=bk, c=dk; 若a：b：c=m:n:l 则可设a=mk, b=nk ,c=lk等，对于一般的比例式计算题，用此法都可解决。 在相同时刻物高与影长是成比例的，由此可列出比例式，再通过方程来求解。例2 已知线段 a=3cm, b=4cm ,c=5cm, d=2cm.那么这四条线段是否成比例？解： 将a、b、c、d从小到大排列为d、a、b、c。有 =, = 因此这四条线段不成比例。评注 判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，如果前两条线段的比例等于后两条线段的比，那么这四条线段就叫成比例线段，否则，就不是成比例线段。除此法外，还可用以下方法，即在这四条线段中，若最长线段和最短线段的长度的积等于中间两条线段的长度的积，则这四条线段成比例；否则不成比例。D x C4.8 4.5 A 62 y B D/ 2 C/3.2 zA/ B/4116图18-1例3如图18-1中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和、的大小。解：由相似多边形对应边成比例，得= x=3，y=6，z=3。 由于对应角相等， =D=180-A=118 =B/=180-C/=70评注： 应用相似多边形特征求边和角时，关键是找对对应边和对应角，从而列出等式，通过解方程求解。 一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角；最大(小)的边是对应边；最大(小)的角是对应角。图18-2例4 如图18-2所示，在一块长和宽分别为a和b(ab)的长方形黑板的四周，镶上宽度为x(x)的木条，得到一个新的长方形。试判断原来的长方形与新长方形是否相似。解：新长方形的长为a+2x，宽为b+2x。 -= a b ,x0 . -=ab x.由、知，这两个长方形对应边不成比例。这个新长方形与原长方形不相似。评注： 此题看对应边是否成比例，用了作差的方法。若差等于零，则两比值相等；若差不等于零，则比值不相等。 找对应边时，注意矩形的长宽都要检查，不能只考虑一种情况。例5一个钢筋三角架的三边长分别是20cm、60cm、50cm，现要作一个与其相似的钢筋三角形。因为只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，问有几种截法，并指出余料最少的截法截出的三边长各为多少？解： 若截30cm的钢筋，设截成的两段为a cm、b cm = a= b= a+b30 故此截法不成立。 若截 50cm的钢筋，设截成的两段长分别为x cm和y cm. 有 = 解得x=12，y=36 .又因为x+y=12+36=4850，符合题意； = 解得x=10，y=25 又因为x+y=10+25=3550，符合题意。所以共有两种截法。因为50-48=2，50-35=15，所以余料最少的截法截出的三边长分别为12 cm、30 cm、36 cm。评注：本题两次运用了分类的思想，将一个比较复杂的问题转化为一个较简单、易解的问题。动用分类法解题的关键是如何正确分类。强化训练一、填空题： 已知：x：y=1：2，则 (x+y)：y=_ 若 ，则 =_ 梯形的中位线与两底之和的比是_ 在比例尺为1：6000000的中国地图上，量得北京到延安的地图上距离为12cm，那么北京到延安的实际距离为_Km。 李明同学想利用树影的长测量校园内一棵大树的高度，他在某一时刻测得一棵小树的高为1.5米 ，其影长为1.2米。同时，他测得这棵大树的影长为3米，则这棵大树的实际高度为_米。 若3：(x+3)=x：(x+4)，则x=_。 已知 则 =_， =_。 已知x：y：z=3：4：5，则 =_。A C B 如图，已知线段AB，点C在AB上，且有AC:AB=BC:AC，则AC：AB的数值为_；若AB的长度与中央电视台的演播舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_位置最好。10.一个六边形的边长依次为1、2、3、4、5、6。与它相似的另一个多边形最大边长为12，则另一个多边形的周长为_。二、选择题：(四选一) 若a：b=3：2，且b2= ac，则b：c=( )A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4 下列线段中，能成比例的是( )A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 下列命题中正确的是 ( )A. 所有的等腰三角形都相似 B.所有的菱形都相似 C.所有的矩形都相似 D.所有的等腰直角三角形都相似 要做甲乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有()DCABFE图18-3A.1种B.2种C.3种D.4种如图18-3，一张矩形报纸ABCD的长ABa cm，宽BCb cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a：b等于（）A.：1B.1： C.：1D.1：已知正数a、b、c，且，则下列四个点中在正比例函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）A. (1， ) B. (1，2) C. (1，- ) D.(1，-1)三、解答题：ABDC图18-4 已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例线段？a=2cm，b=30m， c=6cm ，d=10m。 小明家的园子里有一三角形的花圃，将它的大小按1：100画在纸上，如图18-4。现量得所画图形中BC边长为3.5cm，高AD为2cm，求花圃的面积。 市场上供应的纸都有以下特征：每次对折后。所得的长方形均和原长方形相似，问纸张的长和宽应满足什么条件？ 人体下半身(脚底到肚脐的长度)与身高的比例越接近0.618，越给人美感。遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某女士，身高1.68m，下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋看起来更美呢？21.某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹杆竖直放置时的影长为1.5m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上。他测得落在地面上的影长为21m，留在墙上的影高为2m。你能帮助他求出旗杆的高度吗？第二课时（相似三角形的识别和特征）课标要求1、 了解两个三角形相似的概念，掌握、识别两个三角形相似的条件(方法)。2、 掌握相似三角形的性质(特征)，并能够利用性质解决实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。3、 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。中招考点1、 相似三角形的识别(判定)方法。2、 相似三角形的特征(性质)的应用。3、 利用相似三角形解决简单的实际问题。BCAP图18-54、 相似三角形的知识与方程相联系或与二次函数相联系，或与圆的有关知识相联系，以综合题的形式出现，从而考查学生的逻辑 思维能力。典型例题例1如图18-5，ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件下， ACP=B ； APC=ACB； AC2=APAB； ABCP=APCB。能得出ABCACP的是( )A. B. C. D. 解：由图形可得，在ABC和ACP中，A=A，若 ACP=B或 APC=ACB。根据三角形相似的识别方法有两组对应角相等的三角形相似，知ABCACP；若 AC2=APAB，则，又因A=A，依据两边对应成比例，夹角相等，两个三角形相似，知ABCACP；若 ABCP=APCB，则，无法依据识别方法说明ABCACP。因此，符合三角形相似的条件是，故选D。ADGCBEF图18-6评注:在三角形相似的三个识别方法中，每一种方法都需要两个独立条件，而一般相似三角形识别中，一个条件已存在，这个条件可以是已知，或者是图中的公共角、对顶角等，如本题中的A是公共角。若有一组对应角，则证另一组对应角相等或夹这个角的两边成比例；若已知两边成比例，则证夹角相等或第三边对应成比例。例2如图18-6，在ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( )A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对解：由AEDC，可得AEGCDG，DFCEFB由BCAD，可得BFEADE，FCGDAG，DCFEAD故选 B评注:本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况。可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理来找相似三角形，但要注意不要漏找。例3如图18-7-，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高( ) 1.6m 0.5m 1m 图18-7- D A E O F BC 图18-7-A. 12.25 m B. 6.6m C. 8m D. 10.5m解：易知图18-7-中，等腰AOCBODOA=1 m，OB=16 m。高CE=0.5 m由相似三角形性质可得：即 ，解得 DF=8(m)故选C。评注:本题是一个实际问题，可抽象为数学问题：由AOCBOD，然后利用相似三角形性质来解决。但要特别注意并不是求BD之长。而是点D到AB的垂线段之长(即BOD的高DF)，此题学生易认为是求BD之长。ADBC21图18-8例4如图18-8，点D在ABC的边AB上，满足怎样的条件时，ACD与ABC相似？试说明理由。解：由图知：当满足下列三个条件之一时，ACDABC条件1：1=B；条件2：2=ACB；条件3：即：AC2=ADAB评注:此题属于探索性问题，由于A是这两个三角形的公共角，要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找另一个条件。可先假设ACDABC ，然后寻找两个三角形中对应边的关系或对应角的关系例4在直角梯形ABCD中.AD=7 AB=2 DC=3 P为AD上一点,以P、A、B的顶点的三角形与P、D、C为顶点的三角形相似,那么这样的点P有几个?为什么?CBDAP解：由图18-9知,不妨设AP=X 则PD=7-X当PABPDC 即A=D=90APB=DPC时 X=图18-9当PABCDP 即A=D=90APB=PCD时 x-7x+6=0x=1 x=6因此AP的值有三个,也就是这样的点P有三个评注: 此题要注意分类的思想, PAB与PDC各有一个直角，所以分两种情况: APB=DPC和APB=PCD分别求解 此题可以看成是一个探索性问题,相似是条件,求AP的值是结论。例5如图18-10-（1）在ABC中，AB=AC AD是中线，P是AD上一点，过点C作CFAB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，试证明：BP=PEPF分析:证明b= a c型的一般方法是把等积式写成比例式,然后再观察所在的两个三角形是否相似.如本题BP、PE、PF在一条直线上，就要看能否通过等量代换，自然要连结PC ，用BP的等量PC代入，再找出两个三角形相似，即可得解。DPBACFE图18-10- 证明：连结PC。 AB=AC，AD是中线 ADBC (三线合一性质)AD是BC的垂直平分线 BP=PC又 PBC=PCB又 ABC=ACBADB1图18-10-DBAC图18-10- ABP=ACP而ABCF ABC=F F=ACP又EPC=CPF EPCCPF 即PC2=PEPF故BP2=PEPF评注:证形如b= a c时，还要注意两个基本图形如图18-9- 、18-9-所示如图18-10-。因为CDBADCACB，易得BC2=BDAB AC2=ADAB CD2=ADDB如图18-10-，当A=1时，C是公共角。所以ABCBDC易得 BC2=DCAC。 在图18-10-中，ACB是直角三角形，CD是斜边上的高，还要注意面积的应用，易得ACCB=ABCD的结论。例6已知如图18-11中，D是BC边上的中点，且AD=AC，CDMFEA12图18-11BDEBC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于F。 求证：ABCFCD。 若 SFCD=5.BC=10，求DE的长。解： 证明： D是BC边上的中点，DEBC EB=EC B=1又AD=AC ACD=2 ABCFCD。 解：过A点作AMCB于M，由知，ABCFCD，且BC=2CD 又 SFCD=5 SABC =20 SABC= BCAM AM= = = 4而DEAM 即 DE评注:首先用“两组角对应相等有两个三角形相似”，证明ABCFCD；问可由相似三角形的性质求得。从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键。例7如图18-12,ABC中，C=90，BC=8cm，5AC-3AB0，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动。若P、Q同时分别从B、C出发，经过多少时间CPQ与CBA相似？ACQP图18-12解：设经过t s时，(0t4), CPQ与CBA相似，此时，BP2t，CQt，则CP8-2t又RtABC中，BC8，5AC-3AB0.AC2+BC2AB2可得：AB10，AC6当PQAB时，CPQCBA，有。即 t=当CPQCAB时，有 即 t=答：经过秒或秒时，CPQ和CBA相似评注:CPQ与CBA相似的情形有两种：即PQAB和PQ与AB不平行。抓着运动过程中的某一瞬间的点的位置以及相关线段长度的计算（用代数式表示）列出比例式求解，应注意比例式中字母的取值范围例8如图18-13，小明为了测量某一高楼MN的高，在离点N200m的A处水平放置了一个平面镜，小明沿NA方向后退到点C正好从镜中看到楼顶点M，若AC15m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）。ACBNM图18-13解：BCCAMNAN，BAC=MAN. BCAMNA，即 MN1.62001521.3（m）评注:这是一个实际应用问题，方法看似简单其实很巧妙。省去了使用仪器的麻烦，同时根据物理光学知识：入射角等于反射角，可知BCA与MNA相似。AC图18-14B图18-15DEFACBEDMGACBFN例9有一块直角三角形木板如图18-14所示，已知C90，AB5cm，BC3cm，AC4cm。根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长。分析:要在RtABC内裁出面积最大的正方形DEFG，有两种可能的裁法，如图18-14和，可分别求出正方形的面积（正方形的顶点都在ABC的边上）。解：方案一：如图，作CMAB于M，交DE于N。设正方形边长为x cm.由SABC ACBCABCM知：CMDEACDECAB，即：x=方案二：如图设正方形边长为y cm. EFAC BFEBCA, 即 y=xy 方案二裁出的正方形的面积最大。这时正方形的边长是cm。图18-16CBAOPxy评注:相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合。例10如图18-16，直线y= x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PBx轴，B为垂足，SABP9求点P的坐标；设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧。作RTx轴，T为垂足，当BRT与AOC相似时，求点R的坐标。分析:由直线y= x+2分别交于x、y轴于点A、C，可求得A（-4，0）、C（0，2）。再由SABP9可得出一个一元二次方程。即可得P（2，3）。由P点在函数图像上，易求得y= ,若设R的坐标为（b，）。则BTb-2RT=.下面问题的关键是要分清两个三角形相似时，其边不同的对应情况。再依据相似三角形对应边成比例，分别求出b的值，即可得R的坐标。解： 由题意，得点C（0，2）, 点A(-4,0) 设点P的坐标为(a,a+2)。其中a0由题意，得SABP(a+4)(a+2)=9解得a=2 或 a-10(舍去)而当a=2时，a+2=3 点P的坐标为（2，3）。 设反比例函数的解析式为y=点P在反比例函数的图像上3，K6.反比例函数的解析式为y= 设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0），其中b2，那么BT=b-2.RT= 当RTBAOC时，即2解得b=3或b=-1(舍去) 点R的坐标为（3，2）当RTBCOA时，即解得b=1+或b=1-(舍去) 点R的坐标为（1+，）综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1+，）评注:此题是函数、方程与三角形面积、相似三角形性质的综合题，它同时考查学生的计算能力、综合分析能力和推理能力以及分类讨论思想的灵活运用。解第小题的关键是对BTR与AOC相似时，讨论其边怎样对应成比例，防止解答不完整的现象出现。强化训练CB图18-17ADE一、填空题：如图18-17，在ABC中，DEBC，AD3cm，BD2cm，则ADE与ABC相似比是。若DE4 cm，则BCDBA图18-18FEC已知ABC和A/B/C/中，且A/B/C/周长为50，则ABC的周长为如图18-18在ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC的延长线于点F。请你写出图中的一对相似三角形（只使用图中已有的字母，不再添加辅助线）F图18-19CBADE在ABC和A/B/C/中，若BB/，AB6，BC8，B/C/4，则A/B/时，ABCA/B/C/。如图，在ABC中，DE BC，CD、BE相交于F，且，则，若DE6，则BC。在一张1：1000000的地图上，测得我国澳门特别行政区的面积为0.232,澳门的实际面积是2。CB图18-20ADE下列命题：所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有的等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似。其中真命题的序号是。（注：把所有真命题的序号都填上）。若两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形对应角平分线的比是ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC。若AD：AB1：2，则SADE：SABC如图18-20，点D、E分别是ABC中边AB、AC上的点，且DEBC，BD2AD那么，ADE的周长：ABC的周长。 两个相似三角形的周长比是2：3，它们的面积之差为302，则它们的面积和为2如图18-21，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为15m，则A、B两点间的距离为m.图18-21DAEBC 如图18-22，EFBC，FDAB，若AE1.8，BE1.2，CD1.4，则BD；若SCDF1，SAEF4，则SBDEF。A图18-24CDBEN M 图18-23CBEDA2E1ECB图18-22ADE如图18-23，已知12，若再增加条件就能使结论“ABDEADBC”成立，则这个条件可以是（填写一个你认为正确的即可）。如图18-24中，正方形ABCD的边长为2，AEEB，MN1。线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？图18-25DABCEFG二、选择题：(四选一)如图18-25，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交与点F，则图中相似三角形共有（）A. 3对 B. 4对C. 5对 D. 6对ECB图18-26AD顺次连结三角形三边的中点，所构成的三角形的高与原三角形的对应高的比是（）A. 1：3 B. 2：3 C. 1：2 D. 1：4 如图18-26，D、E分别是ABC的AB、AC边上一点，DEBC，且SADE：S四边形DEBC1：3，那么AD：AB等于（）A.B.C.D. 下列说法正确的个数是（）A. 位似图形一定是相似图形 B.相似图形一定是位似图形 C. 两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间 D. 若五边形ABCDE与五边形A/B/C/D/E/位似，则其中ABC与A/B/C/也是位似的，且位似比相等。A.1个B. 2个 C. 3个 D. 4个图18-29DAEBCO2O1CDBAP图18-28图18-27DABCFE如图18-27，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AEEF，则下列结论正确的是（）A.BAE30 B. CE2ABCF C. CFCD D. ABEADF21.如图18-28，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD60，BP1，CD，则ABC的边长为（）A. 3 B. 4 C. 5 D.622.如图18-29，这是圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后在地面上形成的阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A. 0.36m2 B. 0.81m2 C. 2m2 D.24m223.如图18-30，在正方形方格上有6个斜三角形：ABC BCD BDE BFG FGH EFK。在中与三角形相似的是（）A. B. C. D.24.如图18-31，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于（）A.1：1 B. 2：1 C. 1：2 D. 3：2 25.如图8-32，梯形ABCD的对角线交于O点，有以下四个结论： AOBCOD AODACB SDOC：SAODDC：AB SAODSBOC其中始终正确的有（）FA. 1个 B.2个 C.3个 D.4个FECB图18-31ADH图18-30BADEKCGH图18-32CBDAO三、解答题：26、如图18-33，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，ECAD，求证：ACBECEAD27、如图18-34，D是AC上一点，BEAC，BEAD，AE分别交于BD、BC于点F、G，12。图中哪个三角形与FAD全等？证明你的结论；求证：BF2FGEF28、如图18-35，已知ABC、DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出一个与DBE相似的三角形并证明。29、如图18-35，已知正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP30、某老师讲完“相似三角形的识别”后，出了如下一道思考题：如图18-36，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于O，试问：AOB和DOC是否相似？QDCBA图18-35图18-34CABEDGF12A图18-33BCDE图18-35CFEDBAHGDBO图18-36AC某学生对上题做如下解答：答：AOBDOC。理由如下：在AOB和DOC中，ADBC，AO：OC=DO：OB，又AOB=DOC,AOBDOC. 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每步后边写出根据；如果不正确，请简要说明理由。图18-37CDABPQ31、如图18-36，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部。当他向前面步行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部。已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m. 求两个路灯之间的距离；当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？32、如图18-38点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BACBDCDAE。求证：BEADCDAEEADBC图18-38根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比。（只需写出与图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想。第三课时（图形与坐标）课标要求1、认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置。由点的位置写出它的坐标；2、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。3、在同一直角坐标坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化4、灵活运用不同的方式确定物体的位置。中招考点用两种坐标（即直角坐标和极坐标）来确定点的位置。图形的运动与坐标的变化关系两种坐标确定点的位置及图形的运动与坐标的变化关系在现实生活、生产、军事等方面的应用。典型例题图18-39光岳楼金凤广场湖心岛山陕会馆动物园例1如图18-39是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度）。请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置。光岳楼；金凤广场；动物园；湖心角；山陕会馆。解：用直角坐标思想的定位方式，选取光岳楼为原点。则光岳楼、金凤广场、动物园、湖心岛、山陕会馆的位置依次为（0，0）、（-2，-2）、（7，3）、（-，1）、（3，-1）评注：用点的坐标表示点的位置的关键是建立合适的直角坐标系，其次应明确方格图的单位长度，有时应注意实际距离与坐标平面上的单位长度间的关系。选择的坐标系不同，则点的坐标不同。小岛图18-4040敌方战舰B敌方战舰A敌方战舰C我方潜艇我方战舰2号我方战舰1号北例2如图18-40，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图。对我方潜艇来说：北偏东40方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有哪几艘？要确定每艘敌舰的位置，各需哪几个数据？解：对我方潜艇来说，在北偏东40有：敌舰B和小岛，要想确定敌舰B的位置，仅用北偏东40方向是不够的，还要知道敌舰B距我方潜艇的距离。距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有敌舰A和敌舰C。要确定每艘敌舰的位置，各需2个数据：距离和方位角。评注：用一个角度和一个距离确定点的位置，应以观测点为原点，建立直角坐标系，令正东方为x轴正方向。正北方向为y轴正方向。确定点的位置应说明方向和距离两个要素。例3如图18-41，是某乡的行政区域图，借助刻度尺，量角器解下列问题：建立直角坐标系，用坐标表示各村的位置；李家村幸福村康庄村绿树村红花村王马村乡政府图18-41YxO比例尺1：3000000北用方位角和距离表示各村与乡政府的位置关系。解：以乡政府所在地为原点，以正东方向为x轴正方向，以正北方向为y轴正方向，则各村坐标为：李家村（-0.2，1.2）王马村（1.3，1.1）、幸福村（-1.2，-0.4），康庄村（-0.3，-1.1），绿树村（2.6，-1.5），红花村（1.4，-0.3）。李家村在乡政府北偏西约10方向上，到乡政府距离约为3.6km；王马村在乡政府北偏东约51方向上，到乡政府距离约为5.1km；幸福村在乡政府南偏西约76方向上，到乡政府距离约为3.8km；康庄村在乡政府南偏西约15方向上，到乡政府距离约为3.4km；红花村在乡政府南偏东约80方向上，到乡政府距离约为4.3km；绿树村在乡政府南偏东约60方向上，到乡政府距离约为9km.评注：建立平面直角坐标系的关键是选取原点。本题以乡政府所在地为原点较合适。用极坐标思想表示位置，一般借助量角器、刻度尺来解决方位角和图上距离的具体数值。图18-42xA1CBAyC1例4将图18-42中的ABC作下列运动，指出三个顶点的坐标所发生的变化。沿x轴正方向平移2个单位；关于x轴对称；以B点为位似中心，放大到2倍，画出相应图形。分析：ABC沿x轴正方向平移2个单位，所有点的纵坐标不变，横坐标增加2个单位；图形关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数；以B点为位似中心，则其对应点仍是B。解：由图知，ABC的三个顶点坐标为A（0，-2）、B（3，-1）、C（2，1）沿x轴正方向平移2个单位之后的A1B1C1对应顶点是中A1（2，-2）、B1（5，-1）、C1（4，1）；关于x轴对称A2B2C2对应顶点是A2（0，2）、B2（3，-1）、C2（2，-1）.以B点为位似中心，放大到2倍的A3B3C3的对应点坐标为A3（-3，-3）、B3（3，-1）、C3（1，3）.评注：平移变换后图形坐标的特点：）图形沿x轴平移k个单位后，所得图形上的点的坐标与原图形上对应点的坐标之间的关系是：向左平移时纵坐标不变，横坐标减少k；向右平移时，纵坐标不变，横坐标增加k。反之也成立。）图形向上平移k个单位时，横坐标不变，纵坐标增加k；图形向下平移k个单位时，横坐标不变，纵坐标减少k。反之也成立。图形对称与坐标特点：）一个图形关于x轴对称，则对称前后两个图形的对应点坐标之间关系是：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。）一个图形关于y轴对称，则对称前后两个图形的对应点坐标之间的关系是：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。）一个图形关于原点对称，则对称前后两个图形的对应点坐标之间关系是：纵横坐标都变为原来的相反数。OyxP图18-43图形的放大或缩小与坐标：）以位似中心为坐标原点建立坐标系，把一个图形放大或缩小得到一个新图形，新得到的图形与原图形上的对应点坐标之间的关系是：如果新图形与原图形在同一象限内，对应点各坐标的比等于相似比。）当新图形与原图形不在同一象限内把一个图形放大或缩小时，则变换后的新图形与原图形上的对应点的坐标之间的关系可仿照上述方法，并结合图形求解。例5如图18-43所示，给中国象棋棋盘建一个平面直角坐标系，假设马的位置在图中的P点，如果马走了一步，请写出马下一步可能的坐标。如果马所在的位置为Q（x，y）,试写出马下一步位置的坐标。解：马的位置点P的坐标为（2，1），走一步后的坐标可能是P1 （3，3）、P2（1，3）P3（0，2）、P4（4，2）、P5（0，0）、P6（4，0）。若马的位置在点Q（x，y），马下一步位置的坐标为（x+x0，y+y0），这里x0，y0只能是1，-1，2，-2这四个数中的一个，且使x+x00，y+y00同时成立。评注：此题与实际生活有密切的联系，运用了图形变换与坐标的关系的有关知识，体现了数学应用价值和数形结合的思想。例6印刷一张矩形的张贴广告如图18-44，它的印刷面积是32dm2，上下空白各留1 dm，两边空白各0.5 dm，设印刷部分从上到下的长是x dm，四周空白处的面积为S dm2.求S与x的关系式；当要求四周空白处的面积为18dm2时，用来印刷这张广告的纸张长和宽各是多少？在问条件下，内外两个矩形是位似图形吗？说明理由印刷部分x0.50.511ABCDB/C/A/D/图18-44分析：根据题意，结合图形建立函数模型；O已知函数值S，求自变量x的值，可通过解方程求解；用位似图形的定义作出判断。解：由题意知，S=2x0.5+2 1+410.5=x+2；由S18得，x+ +218x2-16x+64=0. (x-8)2=0, x=8.即广告的长为x+2=10dm，宽为+15dm.是位似图形。因为外面矩形长宽之比为=2，内部矩形长宽之比为=2所以两矩形相似，又两矩形的中心重合，故它们是位似图形。强化训练一、填空题12123344556670图18-47小华母小明姐如图18-45，小明家在学校北偏东30方向，距离学校1000m，则学校在小明家的位置。011223344图18-46小明家学校30图18-451如图18-48，是小华画的一张脸，他对同学说：“如果我用（1，3）表示这张脸的左眼，用（3，3）表示右眼，”请说出这张脸上嘴的位置应用表示。1 2 3 4 5 6 7 8987654321图18-48ABDCA:巴士拉B:巴格达C:摩苏尔D:乌拜莱在一座共7层的商业大厦中，每层布局基本相同，小明的姐姐在5楼的摊位如图18-47所示，其位置可表示为（5，2，3），若小华的母亲在6楼，其摊位也可用上图表示，则小华母亲的摊位位置可以表示为。如图18-48是伊拉克地图。根据图形填空。若首都巴格达用（6，5）来表示，那么巴士拉和摩苏尔可分别表示为；由方格表能否看出巴士和摩苏尔关于成中心对称；如果从乌拜莱观察摩苏尔，摩苏尔位于乌拜莱的方位是； 元/股 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 123456星期 图18-49如果点A是伊拉克的一个军事要地，由A观察乌拜莱和巴格达的方向的角度是。如图18-49所示，是某公司一周的股票涨跌情况，试结合股市行情回答下列问题：若星期一的股市记作A（1，4.5），则星期二、星期三、星期四、星期五的股市