【导与练】高考数学 高校信息化课堂 大题冲关 专题四 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形 理.doc

第2讲三角恒等变换与解三角形【选题明细表】知识点、方法题号正、余弦定理的应用1、5、7、8、9、10、11正、余弦定理的实际应用3、13三角恒等变换2、4、15综合问题6、12、14、16、17基础把关1.在锐角abc中,角a,b的对边分别是a,b,若2asin b=3b,则角a等于(d)(a)12(b)6(c)4(d)3解析:由2asin b=3b得2sin asin b=3sin b,由于sin b0,故sin a=32,而a是锐角,所以a=3,故选d.2.(2014温州一模)已知sin 2=13,则cos2（-4）=(c)(a)13(b)-13(c)23(d)-23解析:cos2（-4）=1+cos(2-2)2=1+sin22=1+132=23.故选c.3.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩a,b(如图),要测算a,b两点距离,测量人员在岸边定出基线bc,测得bc=50 m,abc=105,bca=45,则a,b两点间距离为(a)(a)50 m(b)50 m(c)25 m(d)2522 m解析:由题意知,bac=30,又bc=50 m,bca=45,由正弦定理得ab=bcsin45sin30=502(m).故选a.4.(2014宁波二模)已知r,cos +3sin =5,则tan 2等于(a)(a)43(b)34(c)-34(d)-43解析:(cos +3sin )2=5,4sin2+3sin cos =2,4sin2+3sincossin2+cos2=2,4tan2+3tan1+tan2=2,解得tan =-2或tan =12,tan 2=43.故选a.5.在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且ab=3,则角c的值为(c)(a)45(b)60(c)90(d)120解析:b2+c2-bc=a2,b2+c2-a2=bc,cos a=b2+c2-a22bc=12,a=60.又ab=3,sinasinb=3,sin b=33sin a=12.ba,ba,b=30,c=180-a-b=90.故选c.6.在abc中,角a,b,c所对的边分别是a,b,c,已知点d是bc边的中点,且adbc=12(a2-ac),则角b的值为(b)(a)6(b)3(c)23(d) 56解析:由已知得ad=12(ab+ac),bc=ac-ab,所以adbc=12(ac2-ab2)=b2-c22=12(a2-ac),所以b2=c2+a2-ac,又b2=c2+a2-2accos b,所以cos b=12,又因为0b,所以b=3,故选b.7.(2014高考广东卷)在abc中,角a,b,c所对应的边分别为a,b,c,已知bcos c+ccos b=2b,则ab=.解析:根据正弦定理得a=2rsin a,b=2rsin b,c=2rsin c,代入已知式子中,可得sin bcos c+sin ccos b=2sin b,即sin a=2sin b,由此可知a=2b,即ab=2.答案:28.在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,若b-12c=acos c,则a=.解析:由b-12c=acos c及正弦定理得sin b-12sin c=sin acos c,又b=-(a+c),所以sin(a+c)-12sin c=sin acos c,即cos asin c-12sin c=0,又sin c0,所以cos a=12,又因为0a0,所以sin c=2ba,即sin c=2sinbsina,因此sin csin a=2sin(a+c),所以sin asin c=2sin acos c+2cos asin c,由于sin asin c0,故1=2coscsinc+2cosasina,故1tana+1tanc=12.答案:1215.(2013湖州模拟)设为锐角,若cos（+6）=45,则sin（2+12）的值为.解析:因为是锐角,cos（+6）=45,所以sin（+6）=35.所以sin（2+3）=2sin（+6）cos（+6）=2425.cos（2+3）=cos2（+6）-sin2（+6）=725,所以sin（2+12）=sin2（+6）-4=22sin(2+3)-cos(2+3)=17250.答案:1725016.(2014杭州二中)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x-12(0),其相邻两个零点间的距离为2.(1)求f(x)的解析式;(2)锐角abc中,f(a2+8)=12,ab=4,abc的面积为6,求bc的值.解:(1)f(x)=12sin 2x-12cos 2x=22sin(2x-4),由题意知,t2=2,t=,2=2t=1,f(x)=22sin(2x-4).(2)f(a2+8)=12,22sin a=12,sin a=22,sabc=12abacsin a=124ac22=2ac=6,ac=32,bc2=ab2+ac2-2abaccos a=16+18-243222=10,bc=10.17.(2014杭州外国语学校)如图所示,四边形oacb中,a,b,c为abc的内角a,b,c的对边,且满足sinb+sincsina=2-cosb-cosccosa.(1)证明:b+c=2a;(2)若b=c,aob=(0),oa=2ob=2,求四边形oacb面积的最大值.解:(1)sinb+sincsina=2-cosb-cosccosa,sin bcos a+sin ccos a=2sin a-cos bsin a-cos csin a,sin bcos a+cos bsin a+sin ccos a+cos csin a=2sin a,sin(a+b)+sin(a+c)=2sin a,sin c+sin b=2sin a,b+c=2a.(2)因为b+c=2a,b=c,所以a=b=c,所以abc为等边三角形,s四边形oacb=soab+s