三角恒等变换复习导引.doc

三角恒等变换常用的数学方法技巧1.角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形。2.函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。3.常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，如常数1的代换。4.幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂。5.公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。三角恒等变换复习导引山东 张玉宝本专题内容主要包括两角和、差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及和差化积、积化和差等，它不仅是解决三角恒等变换问题的基础，也是研究三角函数图像与性质的工具，同时也是新课标高考的重点考查内容之一，从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，分值约占5%,如2007年山东卷的第5题，海南、宁夏卷的第9题等，都是对三角恒等变换的考查，因此能否掌握好本部分的重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否,对于本专题的复习过程中应注意以下几点：三角恒等变换的技巧与与策略（1）公式的变形及应用运用三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（iii）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如:，。例1、求=_分析:将公式 变形为:即可得出答案,故原式等于（2）角的变换解决三角变换问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再确定如何利用已知条件,采用哪些公式,避免盲目处理相关角的三角函数式,以免造成不必要的麻烦,要整体地把握公式,认真考虑角的整体运用,这往往要用到常见角的变换,即拼角与拆角，常见的变换如下:如，等。例2、已知,其中,求的值分析:已知角,与所求角的关系是,要求,即求解: =（3）函数名的变换对于函数名的变换主要是用诱导公式六“函数名改变，符号看象限”即：就可实现函数名的改变，同时还要同时还要注意三个角的内在联系的作用，也是常用的三角变换。（4）常数“1”的变换及辅助角的引入（i）熟悉常数“1”的各种三角代换，常用的有=；，。 (ii)三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sincosx，sinxcosx，要熟练掌握这两个变换技巧，在解题中将起到事半公倍的效果，同时还要熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。例3、化简，（，2）分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 原式= （，2） 当时， 原式=当时， 原式= 原式=三角恒等变换题型剖析（1）三角函数中的求值问题三角函数的求值就是利用题中的已知条件，正确、合理地应用三角恒等变形公式，也即同角关系，诱导公式，两角和差、倍角公式等三角函数公式，把角变化为特殊角，或三角函数化为同名、同角三角函数进行合并与化简，最后求出三角函数（式）的值。掌握几种主要题形的思路与方法：给角求值、给值求值、给值求角等。知角求值问题是三角变换中的难点之一，常见问题中角多为非特殊角，那么要解决这类问题，首先认真观察角的特点；其次从函数名的角度去思考，如切化弦，化同名等手段也是解决问题的途径；第三，看其结构符合不符合我们学过的公式或公式变形。给值求值也就是条件求值问题，即由给出的一些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数，关键在于“变角”使“目标角”变换成“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用，变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用。给值求角实质也是转化为“”给值求值“关键也是变角，反所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合角的范围求得角。（2）三角函数中的化简化简是三角函数式求值与证明的基础，即通过一系列的恒等变形变异为同，化繁为简，以达到简化运算的目的，原则是形式简单，函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值，化简过程要注意角的范围，难点在于众多的三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，认真分析所化简式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活运用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。（3）三角恒等式的证明三角恒等式的证明的思路是利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式，常用的方法是：（i）从等式一边推出另一边；（ii）证明等式都等于同一个式（或值）也就是两边夹法则；（iii）比差法，即证明等式左、右两边之差为零。（iv）运用综合法、分析法证明。命题趋势及解答三角高考题的策略三角函数中的三角恒等变换涉及到的公式较多，表现形式灵活，所以它是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容，从近几年的高考新教材试题中，特别是07年各地实行新课标的地区来看，该部分内容不会出高难度题，而是以中档题为主，因此高考中的三角试题必须做到不失分，特别注意新课标对三角函数模型提高了要求，目的在于提高实践能力，在08年高考试题中极有可能在这方面有所体现。解答本部分题目时的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。总之“变”是本节的主线，变换主要体现在角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换以及三角函数式结构的变换等比比皆是，在强化训练中，应加强变换意识，掌握最基本的变换技巧，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解