Fuzzy关系方程的解.doc

皖西学院本科毕业论文（设计）Fuzzy关系方程的解 作 者 韩付功指导老师 岳芹摘要：本文分别在有限和无限论域上讨论了两类Fuzzy关系方程、的解，给出了论域为有限时，完备格上Fuzzy关系方程解的构成情况，并确定了其解集。进一步讨论了论域为无限时，Fuzzy关系方程解的求解方法。而对于型Fuzzy关系方程的研究，本文只给出了在最简单的0，1格上的有关结论，在完备格上还有待进一步研究。关键词：Fuzzy关系方程；关系方程；充要条件；最大解；极小解；解集solutions of fuzzy relation equationsAbstract：This article separately discussed solutions of two kind of Fuzzy relations equation 、 in limited and the infinite domains，it has given the Fuzzy relations equation solutions constitution situation in the complete lattice and has determined its solution collection when the domains is limited. And further discussed solution method of Fuzzy relations equation solution when the domains is infinite. But regarding Fuzzy relations equation research, this paper only deals with the related conclusion on Lattice 0, 1, also waits for in the complete standard further studying on complete lattice.Key words：Fuzzy relational equation；relational equation；necessary and sufficient condition；Maximal solution; Minimal solution;solution set1 引言设为一个分配格，用表示上所有矩阵组成之集。定义，称为A与B的复合。 而当为Brouwer格时，还可定义,称为A与B的（）复合。1976年,法国数学家E.Sanchez，根据医疗诊断的需要首先引入了分配格L上的矩阵方程 (1.1)并求出了当为Brouwer格时方程(1.1)的最大解。方程(1.1)被称为Fuzzy关系方程。Fuzzy关系方程是布尔矩阵方程的推广，在医疗诊断中，求解该问题相当于已知评判（诊断）结果和Fuzzy关系，而求原来专家的着眼点，即头脑中对各个因素的权重问题。求解这类矩阵方程在实际应用中十分重要,比如有限集合上的Fuzzy关系方程就是这类矩阵方程的特殊形式。在模糊推理系统中,当推理规则和顺序已知后，推理就是求解Fuzzy关系方程。从本质上说，它是人工智能中的“专家咨询系统”，是Fuzzy决策与Fuzzy综合评判中必然涉及到的问题。 为了将该类方程更好地应用于专家系统的推理机制上，1985年，A. Di. Nola等在格上又引入了另一种类型的矩阵方程 (1.2)并找到了方程的最小解，得到了方程有解的一个充要条件。即一个型矩阵方程有解当且仅当其有最小解。方程（1.2）实际上是方程（1.1）的推广和延伸，二者都属于Fuzzy关系方程，由于运算规则的不同写成了两种不同的形式。为了区别，我们习惯上把方程(1.1)称为Fuzzy关系方程，把方程（1.2）称为关系方程。1989年，A.Di Nola等又在线性格上讨论了关系方程，并构造出了其极大解。文4给出了0,1上该类型矩阵方程有最大解或最小解的充分条件。李裕梅在完备Brouwer格上对方程(1.2)的一些特殊情况作了探讨，得到一些重要结论。基于关系方程应用的广泛性,有必要对该类方程作进一步研究。本文分别在有限和无限论域上讨论了两类Fuzzy关系方程、的解，给出了论域为有限时，完备格上Fuzzy关系方程解的构成情况，并确定了其解集。进一步讨论了论域为无限时，Fuzzy关系方程解的求解方法。而对于型Fuzzy关系方程的研究，本文只给出了在最简单的0，1格上的有关结论，在完备格上还有待进一步研究。2 基本概念,基本引理定义2.1 设， ，定义：，。定义2.2 设，定义：当且仅当,当且仅当,；。定义2.3 ，记使成立的最大元为。 特别地，在0，1格上，定义2.4 如果格满足:任取,存在使成立的最大的元,则称为一个Brouwer格。如果格还是完备的,则称为一个完备Brouwer格。定义2.5 为一偏序集P的非空子集, ,若不存在使得，则称为的一个极大元。引理2.1 如果,其中是某个指标集,则 。引理2.2 任意的，（1） （2）若，则（3）（4）（5）（6）当且仅当 。注2.1 设（X为所讨论的关系方程的解集），由定义2.5知是X的极大元当且仅当，如果则，是X的极小元当且仅当，如果，则。引理2.3 如果则蕴含着引理2.4 且则当且仅当。引理2.5 若方程的解集非空，则b是其最大解。引理2.6 任取,则当且仅当。引理2.7 如果P为分配格，L为交既约元，且则定义2.6 设L为格，任取，如果蕴含或则称b为格L的交既约元。定义2.7 设L为完备格， ，如果任取，由可推出，则称为L的完全交既约元。注2.2 明显地,完全交既约元是交既约元的一个特例。定义2.8 设L为完备Brouwer格，任取，如果存在L中若干完全交既约元构成的集合使，则称有完全交既分解。进一步，如果任取，则称有不可约完全交既分解。推论2.1 对于方程，如果b有不可约完全交分解，则任取，存在使，且蕴含。对Fuzzy关系方程的研究主要是有限与无限论域上的研究，通常我们是从最简单的0，1格入手，进而推广到完备格，本文就一般的情况进行讨论。3 Fuzzy关系方程的解本节仅讨论在格L上方程(1.1)的如下特殊形式： (3.1)记.31 在论域为有限时，完备Brouwer格上型Fuzzy关系方程的求解问题由文6、7、8知，完备Brouwer格上Fuzzy关系方程的极小解具有良好的不变性，即由方程的一个极小解可构造出方程的其它的一些极小解。所以在研究完备Brouwer格上Fuzzy关系方程的解，我们首先从研究“方程的解是极小解的充要条件”开始。而当I与J均为有限指标集时，Fuzzy关系方程的解集完全由它的最大解和极小解决定，并且由引理2.5知，在方程解集非空时，b都为其最大解，由此，我们可以确定出方程(3.1)的解集。定理3.1.1 设，。若则。证明：因为，取定，即。定义如下：， 显然，若存在，且，即，。因时，所以时，从而。所以又，从而，所以。由注2.1可知。定理3.1.2 设，则方程有解的充要条件是。且若方程 有极小解则有最小解。证明：显然，若，则是方程的解。反之，若方程有解，显然。若方程有极小解，设是方程的一个极小解，则，即，从而，由y的任意性可知是最小解。引理3.1.1 如果，则（1）；（2）,。引理3.1.2 在完备格中，设，则X是中极小元的充要条件是，是中的极小元。定理3.1.3 设则X是中极小元的充要条件是,是中的最小元。证明：若，记，则由引理3.1.2可得是中的极小元，再由引理3.1.1和定理3.1.2的证明可得是的最小元。若，是中的最小元，则由引理3.1.2知。32 在论域为无限时，完备Brouwer格上型Fuzzy关系方程的求解问题事实上，由上面的证明我们可以看到，当I与J为任意指标集时，对于以上结论仍然成立。并且对于论域为无限时，完备格上的求解问题，文7、8、9、10中都做了详尽的研究。这里就不再赘述。4 Fuzzy关系方程的解在格L上方程（1.2）有如下特殊形式： （4.1）记。下面先对方程（4.1）进行讨论。4.1 在论域为有限时，完备Brouwer格上型Fuzzy关系方程的求解问题定义4.1.1 设L是一个Brouwer格, L, 我们记 , ,，, 首先，考虑格L上单个变元方程 (4.1.1)对于方程(4.1.1), 文5已有如下结论：引理4.1.1 格L上的方程可解当且仅当b是它的解，且可解时解集为。下面给出方程(4.1.1)解集的另一表达式。引理4.1.2 方程(4.1.1)的解集为。 从而当其解集非空时, 我们有=。证明：设是方程(4.1.1)的任一解，则有，从而 ，即。 若，则, 从而存在，使得并且。 于是, 这与相矛盾。 因此。反之，设，则有，并且。 于是，从而。若, 则有, 此时 ，这与相矛盾。 所以，即是方程（4.1.1）的解。引理4.1.3 (1)格L上的方程组； (4.1.2)可解的充要条件是是方程组的解，且是最大解；(2)当方程组(4.1.2)可解时，其解集为。证明： (1)充分性显然，下证必要性。设是方程组(4.1.2)的任一解，则有从而 于是 (4.1.3)因为每个方程(均有解, 由引理4.1.1可得 ,。 从而，于是 , 。 即 是方程组(4.1.2)的解。 由(4.1.3)知，是方程组(4.1.2)的最大解。(2) 现设方程组(4.1.2)有解, 则由(1)知，, 。 若是方程组(4.1.2)的任一解, 。 从而 (根据引理2.1)。 所以 (根据引理4.1.2)。反之，设, 由引理4.1.2, 我们有 。 再由引理2.2（3）, , 所以 , 从而(根据引理2.2（1）), 。 所以，是方程组(4.1.2)的解。引理4.1.4 分配格L上的方程可解的充要条件是. 而当该方程可解时，其解集是。首先, 我们讨论格L上的矩阵方程 （4.1.2）的解。其中，。定理4.1.1 当方程（4.1.2）可解时，其解集为。证明:设是方程(4.1.2)的任一解。令, 并取 则有=。由引理4.1.4，我们有。又因为,由引理4.1.2，我们有 。所以 .下证 中的元素都是方程(4.1.2)的解。设，则存在，使得，其中，由定义知，存在，使得 。 再由引理4.1.2与引理4.1.4知 并且, 。于是。即 是方程(4.1.2)的解。其次, 我们讨论格L上的矩阵方程 （4.1.4）的解。其中,。方程(4.1.4)实际上等价于方程组 , (4.1.4)定理4.1.2 (1)方程(4.1.4)，即方程组（4.1.4）可解的充要条件是：存在L上的矩阵满足条件(c)：, ，且 , ，这里 。(2)当方程组(4.1.4)有解时，其解集是， 其中 。 这里表示集合的卡氏积，即 若，则 , 。 ， 。证明： (1) 若方程组(4.1.4)可解。设 是其任一解。 取 , ；，并作矩阵。显然 。令 ， 则 (因为)。另一方面，(根据引理2.2(1)，所以 , 。于是S满足条件(c)。反之， 若L上存在矩阵 满足条件(c) ， 即：,； ,，这里. 则有,m, 从而 是方程组(4.1.4)的解。(2) 若方程组(4.1.4)可解， 设是方程组(4.1.4)的任一解。取 , ；，再令 ，则由(1)的证明知，S满足条件(c). 于是(根据引理2.1)。所以，(根据引理4.1.2)，即 。反之 ，则在L上存在矩阵 满足条件(c)，并使得 。 于是 =。 由引理4.1.3知， , ；。 再由条件(c)知，； . 所以 是原方程组的解。最后，考虑一般的型矩阵方程 (4.1.5)其中 , , .因为方程(4.1.5)由个无关的方程, .组成。 因此，利用定理4.1.2可求出方程(4.1.5)的解。4.2 在论域为无限时，格0，1上型Fuzzy关系方程的求解问题定义4.2.1 设，如果存在使则称为方程（4.1）的可达解，方程的所有可达解构成的集合记为；如果，则称方程的解为不可达解，方程的所有不可达解构成的集合记为。注4.2.1 由定义4.2.1知且。当时，若，则易得，并且时，对任意的均有。所以下面假设，显然，。定理4.2.1 当且仅当，进而，。证明：必要性显然，下证充分性。设，由引理2.2（1）知故，进一步，则由有，由引理2.2（6）知，即。引理4.2.1 I是无限集时，的充要条件是。证明：只需证明充分性即可。，由定理4.2.1有，即，从而对任意的，则一定存在使得。否则任意的，存在：（1）时，矛盾；（2）时，任意的，矛盾。定理4.2.3 的充要条件是。证明：（）设，由定义4.2.1有，对任意的，。若，则由定理4.2.2有，矛盾。所以。（）设，构造，其中时，；时，于是，因此，由定义4.2.1，显然。令，则有下面定理成立：定理4.2.4 设，的充要条件是。证明：（）设，由定义4.1.2有，对任意的，所以或。显然一定存在，使又，所以存在使。于是。（），又，所以时有，从而。因此，又，所以对都有，因此当时，所以，由定义4.2.1，显然。引理4.2.2 设且b为完全交既约元，则：（1），定义满足： （4.2.1）则是的极大元。（2）的所有极大元都具有（4.2.1）式的形式。证明：（1） 若，则由引理4.2.1知。又由引理2.6、引理2.2（2）、注2.2、推论1得。故。下证是的极大元。假设存在使得，由定义2.2，。不妨设，则，否则若，又当时，由知，这样就有，从而，矛盾。于是由（4.2.1）式、引理2.2（2）、引理2.6、注2.2、引理2.7知，所以，因此，进一步由注2.1，就是的极大元。（2）若，设为的 任意一极大元，于是，由注2.2及定义2.7知，存在使。定义如下：于是由引理2.5及定义2.2得，又由引理4.2.2（1）的证明知，再由注2.1知，故的所有极大元都具有（4.2.1）式的形式。定理4.2.5 如果，则的充要条件是：存在使得。证明：（）令，则必存在使得，定义，对于显然，由引理4.2.2知。（）任意的，存在，使得。则由引理4.2.2知存在，使得，所以，从而。定理4.2.6 在时，由引理4.2.1和定理4.2.3，我们知道必有下列两种情况之一成立：（1）；（2）。令，有下面定理成立。定理4.2.7 令，则。证明：显然，下面只需证即可。令，若不存在使得，那么由定理（4.2.4）、（4.2.5）有。由上面的讨论可知，若方程（4.1）的解集非空，则其解集有下面两种结构：（1）时，；（2），时，若，则，其中，。参考文献：1 E.Sanchez. Resolution of composite fuzzy relation equationsJ.Inform. and Control, 1976, 30, 38-48.2 A.Di Nola, W.Pedrycz and S.Sessa.Fuzzy relation equations and algorithms of inference mechanism in expect systems, in: Approximate Reasoning in Expert Systems. Amstermdam: Elsevier Science Publishers B.V., 1985, 335-367.3 A.Di Nola, S.Sessa, W.Pedrycz and E.Sanchez, Fuzzy relation equations and their applications to knowledge engineering. London: Kluwer Academic Publishers, 1989.4 熊天义. 型F关系方程的解法. 数学杂志, 1993, 13(2), 205-210.5 李裕梅.完备Brouwer格上-Fuzzy关系方程的一些研究进展.模糊系统与数学, 2002,16, 215-217. 6 王学平. 格0,1上求解Fuzzy关系方程的一种方法J高校应用数学学报A辑(中文版) , 2000,15-2：127-133.7 屈小兵, 王学平. 完备Brouwerian格上Fuzzy关系方程极小解的一些性质J. 四川师范大学学报(自然科学版) , 2006,29-1：92-958 王学平. 完备格上Fuzzy关系方程的解是极小元的一个充要条件J四川师范大学学报(自然科学版) , 2002,25-6：591-594. 9 王学平, 屈