正弦定理证明方法.doc

正弦定理证明方法 方法1:用三角形外接圆 证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D.连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 方法2:用直角三角形 证明：在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinBCH=bsinAasinB=bsinA得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinCa/sinA=b/sinB=c/sinC 在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。 方法3：用向量 证明：记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,ca+b+c=0则i(a+b+c)=ia+ib+ic =acos(180-(C-90)+0+ccos(90-A)=-asinC+csinA=0a/sinA=c/sinC(b与i垂直,ib=0) 方法4：用三角形面积公式 证明：在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CDAB垂足为点D，作BEAC垂足为点E，则CD=asinB，BE=csinA,由三角形面积公式得：ABCD=ACBE 即casinB=bcsinAa/sinA=b/sinB同理可得b/sinB=c/sinC a/sinA=b/sinB=c/sinC 用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2 COSc=(a2+b2-c2)/2ab SINc2=1-COSc2 SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2 =2(a2*b2+b2*c2+c2*a2)-a2-b2-c2/4a2*b2*c2 同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2 得证 正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC 证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便 例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到： 2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径) 角A=角D 得到：2RsinA=BC 同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB 这样就得到正弦定理了 2 一种是用三角证asinB=bsinA 用面积证 用几何法，画三角形的外接圆 听说能用向量证，咋么证呢? 三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b, 因为AB+BC+CA=0 即j*AB+J*BC+J*CA=0 |j|AB|cos90+|j|BC|cos(90-B)+|j|CA|cos(90+A)=0 所以asinB=bsinA 3 用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2 COSc=(a2+b2-c2)/2ab SINc2=1-COSc2 SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2 =2(a2*b2+b2*c2+c2*a2)-a2-b2-c2/4a2*b2*c2 同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2 得证用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2COSc=(a2+b2-c2)/2abSINc2=1-COSc2SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2=2(a2*b2+b2*c2+c2*a2)-a2-b2-c2/4a2*b2*c2同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2得证 4 满意答案好评率：100% 正弦定理 步骤1. 在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。 余弦定理 平面向量证法： 如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) cc=(a+b)(a+b) c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|Cos(-) (以上粗体字符表示向量) 又Cos(-)=-CosC c2=a2+b2-2|a|b|Cos(注意：这里用到了三角函数公式) 再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 平面几何证法： 在任意ABC中 做ADBC. C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*