微分和差分方程应用模型PPT课件.pptx

第五章微分和差分方程应用模型 背景 世界人口增长概况 中国人口增长概况 研究人口变化规律控制人口过快增长 5 1人口预测模型 一 指数增长模型 马尔萨斯提出 1798 常用的计算公式 x t 时刻t的人口 基本假设 人口 相对 增长率r是常数 今年人口x0 年增长率r k年后人口 马尔萨斯模型的一个显著特点 人口数量翻一番所需的时间是固定的 令人口数量翻一番所需的时间为T 则有 故 随着时间增加 人口按指数规律无限增长 几何级数的增长 Malthus模型实际上只有在人口总数不太大时才合理 用它不能预测较长期的人口增长过程 一般地 生物群体总数增大时 各成员之间由于有限的生存空间 有限的自然资源及食物等原因 就可能发生生存竞争等现象 所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数 它应当与人口数量有关 二 阻滞增长模型 Logistic模型 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r 固有增长率 x很小时 xm 人口容量 资源 环境能容纳的最大数量 x t S形曲线 x增加先快后慢 对式子求x导数 当x xm 2时 人口增速达到最大值 Malthus模型与Logistic模型都是为了研究种群数量的增长情况而建立的 但它们也可用来研究其他实际问题 只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可 一 独家耐用产品销售模型 一种耐用新产品进入市场后 一般会经过一个销售量先增加 然后下降的过程 称为产品的生命周期 简记为PLC PLC曲线可能有若干种情况 其中有一种为钟型 建立数学模型分析此现象 5 2产品销售模型 问题分析 假设商品信息传播有两个途径 消费者外部信息 广告 亲眼看到商品等 消费者内部信息 部分人使用并有所评价 使周围人了解到有关产品信息 由于是耐用消费品 所以一般不会重复购买 故产品累计销售量可以认为是购买者人数 建模 在 t t t 中 n由两部分组成 n1是由来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量 n2是由来自消费者内部传播的产品信息导致的购买者增量 n1应与未购买者人数成正比 即 设K为潜在的消费者总数 n t 为t时刻购买该产品的人数 n2应与已购买者人数 未购买者人数之积成正比 即 a b 0为比例系数 在 t t t 中 n总数为 所以销售量的数学模型为 其曲线即为PLC曲线 它的图形为钟型 二 两家竞争的销售模型 假设1 两家企业销售同一种商品 而市场容量是有限的 设t时刻的市场容量为M t 2 设N t 是t时刻市场的潜在销量 分别是甲厂和乙厂的销量 3 甲 乙两厂销量的变化率都与潜在的市场销量N t 成正比 建立模型 将 1 2 两式相除并两端积分 将上式代入 3 再代入 1 得 不妨假设市场容量函数为 解得 其中都是常数 由此可见 甲 乙两厂的销售模型是同一类型 同理 三 广告与销售速度模型 问题 研究销售速度在广告投入变化下的规律 由经济规律猜想 开始是由于广告宣传的影响 销售速度是增长的 但当市场趋于饱和了 销售速度应缓慢下降趋于稳定 假设 1 设S t 为t时刻的销售速度 A t 为t时刻的广告水平 S t 因A t 的增加而增加 但当市场趋于饱和时 设为时 S t 开始下降 2 设M表示销售速度的上限 是t时刻的销售率 则是潜在的销售速度上升率 3 随着时间的推移 销售速度会自然衰减 称为衰减因子 是单位时间S t 减少的量 建立模型 即 其中P称为响应因子 也就是影响系数 在上 随着而增加 但同时也会受的影响而减少 由假设1 当商品在市场上趋于饱和时 增加广告投入无法阻止销售速度下降 故广告策略应为 A为常数 设在内投入的总费用为a 则模型为 设初始条件为 求解模型得 为使销售速度是连续函数 取 得 差分的概念与性质 补充差分方程基本知识 类似地可定义三节差分 四阶差分 等等 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分 差分满足以下性质 解 差分方程针对要解决的目标 引入系统或过程中的离散变量 根据实际背景的规律 性质 平衡关系 建立离散变量所满足的平衡关系等式 从而建立差分方程 通过求出和分析方程的解 分析得到方程解的特别性质 平衡性 稳定性 渐近性 振动性 周期性等 把握这个离散变量的变化过程的规律 差分方程的概念 满足差分方程的函数称为该差分方程的解 差分方程的一般形式 差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差分方程的阶 例对于一阶差分方程 将代入方程 若均为常数 则称方程为n阶常系数线性差分方程 若 则方程变为 定理设n阶常系数非齐次线性差分方程为 则 1 的通解是 2 的通解与它自己本身的一个特解之和 即 1 的通解为 对应的齐次方程为 1 2 可用如下的代数方法求其通解 第一步先求解对应的特征方程 第二步根据特征根的不同情况 求齐次方程的通解 C1 Cn为任意常数 2020 2 4 34 第三步求非齐次方程的一个特解yt 若yt为非齐次方程特解 则非齐次方程 1 的通解为 在应用差分方程研究问题时 一般不需要求出方程的通解 在给定初值后 通常可用计算机迭代求解 但常常需要讨论解的稳定性 求非齐次方程 1 的特解一般要用到常数变易法 计算较繁 对特殊形式的y t 也可使用待定系数法 差分方程的平衡点及稳定性 一阶常系数线性差分方程的平衡点及稳定性 二阶常系数线性差分方程的平衡点及稳定性 考察二阶齐次线性差分方程 的平衡点稳定性 其通解为 当且仅当时 平衡点才是稳定的 与一阶线性差分方程一样 二阶线性非齐次差分方程 的平衡点的稳定性与齐次方程相同 即 二阶线性方程的上述结果可以推广到n阶线性方程 n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根都满足 当且仅当时 平衡点才是稳定的 稳定性结论 问题 供大于求 现象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡 5 5市场经济中的蛛网模型 模型分析 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 消费者的需求关系 生产者的供应关系 减函数 增函数 f与g的交点P0 x0 y0 平衡点 一旦xk x0 则yk y0 价格与产量趋于稳定 设x1偏离x0 x1 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 曲线斜率 蛛网模型 x1 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方程模型 方程模型与蛛网模型一致 商品数量减少1单位 价格上涨幅度 价格上涨1单位 下时段 供应的增量 考察 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度 小 有利于经济稳定 小 有利于经济稳定 结果解释 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 结果解释 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量 提高生产者管理水平 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定 即k xk x0的条件 齐次方程通解 c1 c2由初始条件确定 1 2 特征根 即方程的根 平衡点稳定 即k xk x0的条件 平衡点稳定条件 比原来的条件放宽了 当有两个共轭复根 经济不稳定时政府的干预办法 1 使 尽量小 极端情况 0 以行政手段控制价格不变 2 使 尽量小 极端情况 0 靠经济实力控制数量不变 商业银行的贷款还贷方式常见的主要有三种形式 1 一次性还本付息法 只适用于一年期的贷款 2 等额本息还款法 每月以相等的额度平均偿还贷款本息 直至期满还清 由于每月的还款额固定 便于每个家庭根据自己的收入情况 确定还贷能力 3 等额本金还款法 也称等本不等息递减还款法 是每月偿还贷款本金相同 而利息随本金的减少而逐月递减 直至期满还清 5 6贷款偿还模型 消费者在进行贷款时 应事先对各种贷款方案的还贷方式有所了解 根据将来的预期收入 选择适当的贷款方案 以减少风险 本节建立还贷问题的数学模型 变量假设A0 贷款总额n 贷款时间 月 R 贷款年利率r 贷款月利率r R 12xt 第t月还款数Ak 贷款后第k个月时欠款余数 模型建立 建模及求解 贷款第t月还款后 尚欠银行的金额为At元 xt是t月的还款额 从第t 1月到t月 欠款本金为At 1 利息为rAt 1 于是尚欠银行的金额为 这是一个一阶差分方程 其中A0为贷款总额 n为贷款时间 月 问题的数学模型为 容易求出该模型的显式解为 逐月还款额的本利和 贷款本金本息和 等额本息还款即每月还款额固定 直至还清贷款本息 设每月还款额为x 即 一 等额本息还款方式 第t月的利息为 设贷款人在T月还清全部本息 则 即 由上式 给定还款期限 可计算每月的还款金额 或者给定每月的还款金额 计算还款期限 若银行指定还款期限T 从上式解出x 则每月固定还款额为 总利息为 或 若贷款人每月还款x元 则还清贷款的期限为 例如果向商业银行贷款1万元 即A0 10000元 贷款两年 即n 24 根据最新商业贷款年利率R 6 48 则求得月利率r R 12 6 48 12 5 4 将这些数据代入公式得到月还款额 每月还款445 37元 两年后还清 共计还款445 37 24 10688 93元两年的利息共计688 93元 由公式可以制定出商业贷款等额本息还款表 商业贷款等额本息还款表 如果贷款20万 期限20年 则每月还款76 5724 20 1531 45元共计还款18377 3781 20 367547 56元 利息共计167547 56元 等额本金还款方式是每月偿还固定金额的本金和相应的利息 由于本金在逐月定额减少 每月产生的利息也在逐步减少 因此 每月的实际还款额是变化的 假设在T月末还清贷款 每月固定偿还本金额为x 则每月固定偿还本金额为 第二月利息为 二 等额本金还款方式 第三月利息为 以此类推在第t月末 每月利息为 尚欠银行余额为 每月实际还款额为 可以看到 每月的利息和实际还款额是时间t的线性递减函数 累积还款总额为 例假设某人贷款一万元 期限两年 并计划按照等额本金还款方式进行还款 试建立一张还款计划表 解已知商业贷款1 5年的利率为R 6 48 贷款总额10000元 贷款时间n 24个月 根据计算公式编写出每个月还贷的计算程序 商业贷款等额本金还款表 2年贷款1万元 两年后该贷款人还款总额为10672元 所还利息为672元 例某人为了购房 拟向银行贷款20万元 贷款月利率是0 554625 计划在25年内还清本息 1 贷款人用等额本息还款方式 2 贷款人用等额本金还款的方式 问贷款人每月的还款额和总利息 解本金A0 200000元 月息r 0 00554626 还款月数T 25年 300月 即A300 0 此时 本息和约为410974 38元 贷款人用等额本息还款方式 则每月需还款为 利息总额为 贷款人用等额本金还款方式 则每月定额偿还本金为 利息总额为 和1比较 在贷款年限和还款时间都相同的情况下 定额本金还款总利息相对较少 显然等额本金还款法较等额本息还款法而言同期较多地归还贷款本金 因此以后各期确定贷款利息时作为计算利息的基数变小 所归还的总利息相对就少 每月实际还款额不等 累积还款总额为 1 计算方法不同等额本