中考数学总复习 第三章 第五节 二次函数的应用课件.ppt

第一部分教材知识梳理 第三章函数第五节二次函数的应用 中招考点清单考点一二次函数的实际应用1 解题步骤 1 先分析问题中的数量关系 列出函数关系式 2 研究自变量的取值范围 3 研究所得的函数 4 检验x的取值是否在自变量的取值范围内 并求相关的值 5 解决提出的实际问题 2 主要考查方向有 1 和实际生活相结合的最大 小 值问题 2 结合动点计算几何图形的长度和面积的考题 3 和其他函数相结合的考题 4 其他类型 温馨提示 二次函数应用关键在于建立二次函数的数学模型 这就需要认真审题 理解题意 利用二次函数解决实际问题 应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润 最节省方案等问题 考点二二次函数与几何图形的综合 高频考点 考情总结 近7年每年必考 且均在解答题的第23题考查 常与三角形或四边形及动点结合 涉及分类讨论思想 2008年是以一次函数为背景考查 但涉及到列二次函数关系式及二次函数求最值的问题 函数与几何知识的综合应用题型很多 最常见的类型有存在性问题 动点问题 动手操作问题 涉及的内容有方程 函数 等腰三角形 直角三角形 相似三角形 平行四边形 特殊的平行四边形等多种知识 解决这类综合应用问题 关键是要善于借助题中所隐含的数形结合 转化 方程等重要的数学思想建立函数模型 通常情况下 它们的应对策略如下 1 对存在性问题 注意灵活运用数形结合思想 可先假设存在 然后再借助已知条件求解 如果有解 求出的结果符合题目要求 则假设成立 即存在 如果无解 推出矛盾或求出的结果不符合题目要求 则假设不成立 即不存在 2 对动点问题 通常利用数形结合 分类和转化思想 借助图形 切实把握图形运动的全过程 动中取静 选取某一时刻作为研究对象 然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解 3 对于特殊图形判断题 首先把握特殊图形的特点 如等腰三角形按三边分别相等分类 直角三角形按三个内角分别为直角进行分类 再代入函数关系式中 利用方程思想来求解 失分点8用坐标表示线段长不注意取绝对值由于线段长恒为非负数 学生在利用两点坐标相减时不取绝对值造成失分 1 若线段平行y轴 则线段的长即上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标 2 若线段平行x轴 则线段的长即右端点的横坐标减去左端点的横坐标 3 x轴上的动点与x轴上一个定点之间的距离 把动点的横坐标减去定点的横坐标 再放进绝对值中 然后按动点在定点左或者右分类讨论 常考类型剖析类型一二次函数实际应用题例1 14常州 某小商场以每件20元的价格购进一种服装 先试销一周 试销期间每天的销量t 件 与每件的销售价x 元 件 如下表所示 假定试销中每天的销售量t 件 与销售价x 元 件 之间满足一次函数 1 试求t与x之间的函数关系式 思路分析 根据表格中的对应值 运用待定系数法求出一次函数的解析式 2 在商品不积压且不考虑其他因素的条件下 每件服装的销售定价为多少时 该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大 每天的最大毛利润是多少 注 每件服装销售的毛利润 每件服装的销售价 每件服装的进货价 思路分析 根据题意列出函数关系式 运用二次函数的最值解决问题 解 设每天的毛利润为w元 每件衣服销售的毛利润为 x 20 元 每天售出 80 2x 件 则w x 20 80 2x 2x2 120 x 1600 2 x 30 2 200 当x 30时 获得的毛利润最大 最大毛利润为200元 方法指导 对于二次函数的实际应用的题目 通常的方法是根据题中数量间的相等关系列出函数关系式 即建立二次函数模型 然后运用二次函数的性质解决问题 类型二二次函数与几何图形结合问题例2 14昆明 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y ax2 bx 3 a 0 与x轴交于点a 2 0 b 4 0 两点 与y轴交于点c 1 求抛物线的解析式 思路分析 用待定系数法求出抛物线的解析式 把点a b代入抛物线解析式联立方程组 求出系数a b 即可求出抛物线的解析式 2 点p从a点出发 在线段ab上以每秒3个单位长度的速度向b点运动 同时点q从b点出发 在线段bc上以每秒1个单位长度的速度向c点运动 其中一个点到达终点时 另一个点也停止运动 当 pbq存在时 求运动多少秒使 pbq的面积最大 最大面积是多少 思路分析 求这个三角形的面积 首先想到的是用三角形面积的基本公式 作pb边上的高qh 然后证 bhq boc 利用相似三角形的性质求出高 当 pbq存在时 设运动时间为t秒 用t表示出s pbq的面积 得到一元二次函数的解析式 当t 时 s pbq最大 解 设运动时间为t秒 则ap 3t bq t pb 6 3t 由题意得 c点坐标为 0 3 在rt boc中 bc 5 如解图 过q点作qh ab 垂足为h qh co h 例2题解图 bhq boc hq t s pbq pb qh 6 3t t 当 pbq存在时 0 t 2 当时 s pbq最大 s pbq最大 当运动时间为1秒时 pbq面积最大 最大面积为 3 当 pbq的面积最大时 在bc下方的抛物线上存在点k 使s cbk s pbq 5 2 求k点坐标 思路分析 如解图 过点k作ke y轴 交bc于点e 求 bck的面积最简单的方法是用含ek的代数式来表示三角形的面积 设点k的坐标 m 即可得到ek与m的关系 再由s cbk s cek s bek可求出点k的坐标 解 设直线bc的解析式为y kx c k 0 把b 4 0 c 0 3 代入y kx c得 解得 直线bc的解析式为y x 3 点k在抛物线上 4k c 0c 3 k c 3 设k点坐标为 m 0 m 4 过点k作ke y轴 交bc于点e 如解图 则e点坐标为 m m 3 ek m 3 当 pbq的面积最大时 s cbk s pbq 5 2 s pbq s cbk 又 s cbk s cek s bek ek m ek 4 m 4 ek 2 m2 3m m2 3m 解得 m1 1 m2 3 k1 1 k2 3 方法指导 探究最值的存在性问题的基本步骤 第一步 首先要确定所求三角形或四边形面积最值 可设动点运动的时间t或动点的坐标 t at2 bt c 第二步 1 求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高 此时就应先证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似 从而求得用含t的代数式表示的底和高 2 求四边形的面积最值时 常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形 从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段 第三步 用含有未知数的代数式表示出图形面积 第四步 用二次函数的知识来求最大值或者最小值 拓展题如图 二次函数y x2 bx 的图象与x轴交于点a 3 0 和点b 以ab为边在x轴上方作正方形abcd 点p是x轴上一动点 连接dp 过点p作dp的垂线与y轴交于点e 1 求b 并直接写出点d的坐标 2 当点p在线段ao 点p不与a o重合 上运动至何处时 线段oe的长有最大值 求出这个最大值 3 是否存在这样的点p 使 ped是等腰三角形 若存在 请求出点p的坐标及此时 ped与正方形abcd重叠部分的面积 若不存在 请说明理由 d 3 4 思路分析 1 利用待定系数法求出二次函数的表达式 令y 0 求出点b的坐标 则ab即为正方形的边长 则可确定点d的坐标 2 利用 dap poe 求出线段oe与t的二次函数 再利用配方法化成顶点式 最后确定oe的最大值 3 分两种情况进行讨论 当p点在y轴左侧 当p点在y轴右侧 解 1 b 1 d 3 4 解法提示 将点a 3 0 代入二次函数y x2 bx 得 9 3b 0 解得b 1 则二次函数解析式为y x2 x 令y 0 得x2 x 0 解得x1 3 x2 1 则点b坐标为 1 0 即正方形abcd的边长为4 所以点d的坐标为 3 4 解 2 设pa t oe l 由 dap poe dpe 90 得 dap poe l 当t 时 l有最大值为 即p为oa中点时 oe的最大值为 解 3 存在 当p点在y轴左侧时 如解图 p点的坐标为 4 0 由 dap poe得oe pa 1 op oa pa 4 adg oeg ag go ad oe 4 1 ag ao 重叠部分的面积 4 当p点在y轴右侧时 p点的坐标为 4 0 仿照 的步骤 此时重叠部分的面积为 第3题解图 方法指导 此题是一个难度适中的动点问题 在给出动态的运动情况时 首先根据条件找出运动过程中有可能出现的几种情况 采用 以静制动 的方法 将动态问题静止化 然后寻找各量与变量之