热传导方程.pdf

第二章热传导方程 齐海涛 山东大学威海分校 数学与统计学院 Email htqisdu September 28 2011 目录 1热传导方程及其定解问题的导出2 2初边值问题的分离变量法4 3柯西问题7 4极值原理 定解问题解的唯一性和稳定性10 5解的渐近性态12 1 1热传导方程及其定解问题的导出 例 1 1 一均匀细杆直径为 l 假设它在同一截面上的温度是相同的 杆的表面和周围介质发 生热交换 并服从规律 dQ k1 u u1 dSdt 假设杆的密度为 比热为 c 热传导系数为 k 试导出此时温度 u 满足的方程 解 取杆轴为 x 轴 考察杆位于 x x x 的微段的热量平衡 单位时间从侧面流入的热 量为 dQ1 k1 u u1 l x 单位时间从 x 处 x x 处流入的热量为 dQ2 k x u x x t l2 4 dQ3 k x x u x x x t l2 4 故单位时间流入 x x x 的热量为 dQ dQ1 dQ2 dQ3 x k x u x x l2 4 x k1 u u1 l x 综上 从时刻 t1到 t2流入位于 x1 x2 杆段的热量为 t2 t1 x2 x1 x k x u x l2 4 k1 u u1 l dxdt 而在这段时间内 x1 x2 杆段内各点温度从 u x t1 变到 u x t2 其吸收热量为 x2 x1 c u x t2 u x t1 l 2 4 dx t2 t1 x2 x1 l2 4 c u t dxdt 根据热量守恒 并注意到 x1 x2 t1 t2的任意性 得所求方程为 u t 1 c x k x u x 4k1 c l u u1 例 1 2 试直接推导扩散过程所满足的微分方程 解 设 N x y z t 表示在时刻 t x y z 点处扩散物质的浓度 D x y z 为扩散系数 在 无穷小时间段 dt 内 通过无穷小曲面块 dS 的质量为 dm D x y z N n dSdt 因此从时刻 t1到 t2流入区域 为 的表面 的质量为 t2 t1 D x y z N n dSdt t2 t1 div DgradN dxdydzdt 另外 从时刻 t1到 t2 中该物质的增加为 N x y z t 2 N x y z t1 dxdydz t2 t1 N t dtdxdydz 根据质量守恒 并注意到 t1 t2的任意性 得所求方程为 N t x D N x y D N y z D N z 2 例 1 3 砼 混泥土 内部储藏着热量 称为水化热 在它浇筑后逐渐放出 放热速度和它所 储藏的水花热成正比 以 Q t 表示它在单位体积中所储的热量 Q0为初始时刻所储的热 量 则 dQ dt Q 其中 为正常数 又假设砼的比热为 c 密度为 热传导系数为 k 求它在浇筑后温度 u 满足的方程 解 设砼内点 x y z 在时刻 t 的温度为 u x y z t 显然 dQ dt Q Q 0 Q0 Q t Q0e t 易知 t1到 t2时刻 砼内任一区域 中的热量的增加等于从 外部流入 的热量及砼 中的水化热之和 即 t2 t1 c u t dtdxdydz Q t1 Q t2 dxdydz t2 t1 x k u x y k u y z k u z dxdydzdt t2 t1 dQ dt dtdxdydz t2 t1 x k u x y k u y z k u z dxdydzdt 注意到 t1 t2及 的任意性 有 u t 1 c x k u x y k u y z k u z c Q0e t 例 1 4 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u0的介质中 试证 在常电流作用下导线的 温度满足微分方程 u t k c 2u x2 k1P c u u0 0 24i2r c 其中 i 及 r 分别表示导体的电流及电阻 P 表示横截面的周长 表示横截面的面积 而 k1表示导线对于介质的热交换系数 解 与第1题类似 取导线轴为 x 轴 在时刻 t1到 t2介于 x1 x2 的导线段的热量增加 为 从导线的其它部分流入的热量 从侧面流入的热量以及电流通过 x1 x2 这段产生的热 量之和 即 t2 t1 x2 x1 x k u x dxdt t2 t1 x2 x1 k1P u u0 dxdt x2 x1 t2 t1 0 24i 2r dxdt 因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为 u t k c 2u x2 k1P c u u0 0 24i2r c 例 1 5 设物体表面的绝对温度为 u 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩 玻耳兹曼 Stefan Boltzmann 定律正比于 u4 即 dQ u4dSdt 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导 又假设物体周围介质的绝对温度为已知 函数 f x y z t 求此时该物体热传导问题的边界条件 3 解 考察边界上的面积微元 dS 在 dt 时间内 经边界微元流出的热量为 k 为热传导系 数 k u ndSdt 由该微元辐射到外部介质的热量为 u4dSdt 外部介质通过该微元辐射到物体表面的热量为 f4dSdt 根据热量平衡有 k u ndSdt u 4dSdt f4dSdt 故所求边界条件为 k u n u4 f4 2初边值问题的分离变量法 例 2 1 用分离变量法求下列定解问题的解 ut a2uxx t 0 0 x 0 u x 0 f x 0 x 0 0 x 1 u x 0 x 0 x 1 2 1 x 1 2 x 0 4 解 u x t k 1 Cke k 2 2t sink x Ck 2 1 2 0 sink d 1 1 2 1 sink d 4 k2 2 sin k 2 0 k 2n 4 1 n 2n 1 2 2 k 2n 1 n 0 1 2 u x t n 0 4 1 n 2n 1 2 2 e 2n 1 2 2t sin 2n 1 x 例 2 3 如果有一长度为 l 的均匀细棒 其周围以及两端 x 0 x l 均为绝热 初始温度 分别为 u x 0 f x 问以后时刻的温度分布如何 且证明当 f x 等于常数 u0时 恒 有 u x t u0 解 ut a2uxx ux x 0 ux x l 0 u t 0 f x u x t k 0 Ckexp k 2 2 l2 a2t cos k l x C0 1 l l 0 f d Ck 2 l l 0 f cos k l d k 0 f x u0 C0 u0 Ck 0 k 0 u x t u0 例 2 4 在区域 t 0 0 x l 中求解如下的定解问题 ut a2uxx u u0 u 0 t u l t u0 u x 0 f x 其中 u0均为常数 f x 为已知函数 解 令 u u0 v x t e t 则得关于 v 的如下定解问题 vt a2vxx v 0 t v l t 0 v x 0 f x u0 解得 v x t k 1 Ckexp k 2 2a2 l2 t sin k l x 其中 Ck 2 l l 0 f u0 sin k l d fk 2u0 k 1 k 1 fk 2 l l 0 f sin k l d 5 故有 u x t u0 k 1 fkexp k 2 2a2 l2 t t sin k l x k 0 4u0 2k 1 exp 2k 1 2 2a2 l2 t t sin 2k 1 l x 例 2 5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0 C 端点 x 0 保持常温 u0 而在 x l 和 侧面上 热量可以发散到周围的 介质中去 介质的温度为 0 C 此时杆上的温度分布函数 u x t 满足下述定解问题 ut a2uxx b2u u 0 t u0 ux Hu x l 0 u x 0 0 试求出 u x t 解 令 u x t e b 2tv x t x 则当 x 满足 b2 a2 0 0 u0 H x l 0 时 v x t 满足 vt a2vxx v x 0 vx Hv x l 0 v x 0 x 易知 x bch b l x a aHsh b l x a bch bl a aHsh bl a u0 而关于 v x t 的定解问题可参照教材P49用分离变量法求解 例 2 6 半径为 a 的半圆型平板 其表面绝热 在板的圆周边界上保持常温 u0 而在直径边 界上保持常温 u1 求圆板稳恒状态 即与时间 t 无关的状态 的温度分布 解 此定解问题为 2u r2 1 r u r 1 r2 2u 2 0 u a u0 0 u r 0 u r u1 0 r a 作变换 u r v r u1 则 v 满足 2v r2 1 r v r 1 r2 2v 2 0 v a u0 u1 0 0 2 e a x a 0 3 x a2 x2 k 1 a2 x2 k a 0 k为自然数 解 1 F e x 2 e x 2e i xdx e 2 4 e x i 2 2dx e 2 4 2 F e a x e a x cos xdx i e a x sin xdx 2 0 e axcos xdx 2a 2 a2 3 利用留数定理和如下 Fourier 变换的性质计算 F ixf x d d F f 例 3 2 证明 当 f x 在 上绝对可积时 F f 为连续函数 7 解 记 e f F f x 则 ef h e f e ihx 1 e i xf x dx e ihx 1 f x dx 2 f x dx 由于对任意的 x R 有 lim h 0 e ihx 1 0 故 lim h 0 ef h e f lim h 0 e ihx 1 f x dx 0 例 3 3 用傅里叶变换法求解三维热传导方程的柯西问题 ut a2 uxx uyy uzz u t 0 x y z 解 对方程和初始条件进行 Fourier 变换 见教材P56 记 e u 1 2 3 t F u x y z t e 1 2 3 F x y z 得 de u dt a2 2 1 2 2 2 3 e u e u t 0 e 解上述 ODE 得 e u e 1 2 3 e a 2 2 1 2 2 2 3 t 取 Fourier 逆变换得 u x y z t x y z F 1 e a 2 2 1 2 2 2 3 t 而 F 1 e a 2 2 1 2 2 2 3 t 1 2 3 R3 e a 2 2 1 2 2 2 3 tei 1x 2y 3z d 1d 2d 3 1 2a t 3exp x2 y2 z2 4a2t 故 u x y z t 1 2a t 3 R3 e x 2 y 2 z 2 4a2t d d d 例 3 4 证明 3 29 所表示的函数满足非齐次方程 3 15 以及初始条件 3 16 解 类似教材证明积分的一致收敛性 例 3 5 求解热传导方程 3 17 的柯西问题 已知 1 u t 0 sin x 2 用延拓法求解半 有界直线上的热传导方程 3 17 假设 u x 0 x 0 x u 0 t 0 8 解 1 u x t 1 2a t e x 2 4a2td 1 x 2a t e 2d 1 sin x 2a t e 2d e a2t sin x 2 对 x 作奇延拓 即 x x x 0 x x 0 u x t 1 2a t e x 2 4a2td 1 2a t 0 e x 2 4a2td 0 e x 2 4a2td 1 a t 0 e x2 2 4a2tsh x 2a2t d 例 3 6 证明函数 v x y t 1 4 a2 t e x 2 y 2 4a2 t 对于变量 x y t 满足方程 vt a2 vxx vyy 而对于变量 满足方程 v a2 v v 0 解 直接对表达式求偏导即可验证 例 3 7 证明 如果 u1 x t u2 y t 分别是下述两个定解问题的解 u1 t a2 2u1 x2 u1 t 0 1 x u2 t a2 2u2 y2 u2 t 0 2 y 则 u x y t u1 x t u2 y t 是定解问题 u t a2 2u x2 2u y2 u t 0 1 x 2 y 的解 解 u t u1 t u2 u1 u2 t a2 2u 1 x2 u1 2u2 y2 a2 2 u 1u2 x2 2 u1u2 y2 a2 2u x2 2u y2 u t 0 u1u2 t 0 1 x 2 y 9 例 3 8 导出下列热传导方程柯西问题解的表达式 u t a2 2u x2 2u y2 u t 0 n i 1 i x i y 解 由叠加原理与上题结果或直接应用 Fourier 变换可得解为 u x y t 1 4a2 t n i 1 i i exp x 2 y 2 4a2t d d 例 3 9 验证二维热传导方程柯西问题 u t a2 2u x2 2u y2 u t 0 x y 解的表达式为 u x y t 1 4 a2t e x 2 y 2 4a2t d d 解 仿照教材P58 59的证明方法进行验证 4极值原理 定解问题解的唯一性和稳定性 例 4 1 证明方程 ut a2uxx cu c 0 具狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性和稳 定性 解 作变换 v x t u x t e ct 则 v x t 满足方程 vt a2vxx 且有 v x ue ct x B v x ue ct x B v t 0 u t 0 M 根据热传导方程的极值原理有 v x t max M B 而对任何 t 0 u x t v x t ect max Mect Bect 为证唯一性只要证明问题 ut a2uxx cu u x u x 0 u t 0 0 只有零解 事实上 此时 M B 0 因此 u x t 0 即 u x t 0 为证稳定性 只要证明问题 ut a2uxx cu u x 1 t u x 2 t u t 0 x 当 1 t 2 t 和 x 微小时 解亦微小 设当 t T 时 1 t 2 t max x m 作辅助函数 v x y u x y M m 4R2 x x0 2 y y0 2 其中 R 是以原点为中心 包含区域 的一个圆的半径 此时有 v x0 y0 u x0 y0 M 而 v u M m 4R2 x x0 2 y y0 2 0 导致矛盾 因此应有 M m 例 4 3 证明初边值问题 ut a2uxx f x t u x 0 1 t ux hu x l 2 t h 0 u t 0 x 的解 u x t 在 Rt1 0 t t1 0 x l 中满足 u x t e t1max 0 max 0 x l x max 0 t t1 e t 1 t e t 2 t h 1 max Rt1 e tf 其中 为任意正常数 解 作变换 v x t e tu 其中 为任意正常数 由 u 的初边值问题易知 v 满足 vt a2vxx v e tf x t v x 0 e t 1 t v n hv x l e t 2 t v t 0 x 11 考虑 v 在 Rt1上